福建省龙岩市2024届高中毕业班三月质量检测数学试卷(含答案)

这是一份福建省龙岩市2024届高中毕业班三月质量检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，则( )
A.B.C.-8D.8
3．已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足，，则( )
A.B.C.D.
4．已知向量，，则( )
A.B.C.D.
5．的展开式中的系数为( )
A.B.C.14D.49
6．已知，，，则的值为( )
A.B.C.D.2
7．已知直线与抛物线相交于A，B两点，以为直径的圆与抛物线C的准线相切于点，则( )
A.4B.C.5D.6
8．已知函数的定义域为R，且，，则( )
A.B.为奇函数
C.D.的周期为3
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
10．已知点与圆是圆C上的动点，则( )
A.的最大值为
B.过点B的直线被圆C截得的最短弦长为
C.
D.，的最小值为
11．如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，点Q满足，，下列说法正确的是( )
A.不存在使得
B.若Q，M，N，P四点共面，则
C.若，点F在侧面内，且平面，则点F的轨迹长度为
D.若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为
三、填空题
12．定义在R上的函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为_________.
13．在中，，，，D为上一点，为的角平分线，则_________.
14．斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，点T是椭圆上的一点，且满足，点P，Q分别是，的重心，点R是的外心.记直线，，的斜率分别为，，，若，则椭圆C的离心率为_________.
四、解答题
15．2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人.某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
（1）试根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：.
16．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，,设平面平面.
（1）作出l（不要求写作法）；
（2）线段上是否存在一点E，使平面？请说明理由；
（3）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
17．设等差数列的公差为，令，记，分别为数列，的前n项和.
（1）若，，求数列的通项公式；
（2）若数列是公比为正数的等比数列，，，，求数列的前n项和.
18．已知函数，m是大于0的常数，记曲线在点处的切线为l，l在x轴上的截距为，.
（1）若函数，，求的单调区间；
（2）当时，求的取值范围.
19．已知双曲线是双曲线C的左顶点，直线.
（1）设直线l过定点，且交双曲线C于E，F两点，求证：直线与的斜率之积为定值；
（2）设直线l与双曲线C有唯一的公共点M.
（i）已知直线l与双曲线C的两条渐近线相交于两点R，S，求证：；
（ii）过点M且与l垂直的直线分别交x轴､y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程.
参考答案
1．答案：B
解析：，，
则，
故选：B.
2．答案：A
解析：，则，
故选：A.
3．答案：C
解析：由题意知，，，.故选C.
4．答案：C
解析：，
因为，所以两向量垂直，则，
故选：C.
5．答案：D
解析：的展开式的通项为，
则，，
则展开式中的系数为，
故选：D.
6．答案：A
解析：，
，
，分子分母同时除以得：
①，
由于，所以，所以，
所以，
所以，即，
分子分母同时除以得：
即，，代入①得：
，解得.
故选：A.
7．答案：C
解析：由题意知，抛物线C的准线为，即，解得，
因为，所以抛物线C的方程为：，其焦点为，
又直线，所以直线l恒过抛物线的焦点，
设点，，因为A，B两点在抛物线C上，
联立方程，两式相减可得，，
设的中点为，则，因为点在直线l上，
解得可得，所以点是以为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆Q的半径，
因为，所以，
解得，则，则.
故选：C.
8．答案：C
解析：令，得得或，
当时，令得不合题意，故，所以A错误；
令得，且的定义域为R，故为偶函数，所以B错误；
令，得，所以，
所以，则，则，
所以的周期为6，所以D错误；
令，得，因为，
所以，所以，故C正确.
故选：C.
9．答案：AC
解析：对A，因为，则两边同乘a得，两边同乘b得，
则，故A正确；
对B，当时，，故B错误；
对C，因为，则，又因为，所以，故C正确；
对D，举例，，则，而，
此时两者相等，故D错误.
故选：AC.
10．答案：ACD
解析：对A，圆的圆心坐标，半径，
将原点代入圆的方程有，则原点在圆外，
则，则，故A正确；
对B，将代入圆方程得，则点B在圆内，
设圆心到过点B的直线距离为d，则,
而被截的弦长为，
则弦长最短为，故B错误；
对C，作出在上投影向量，
则，因为，
即，
则，故C正确；
对D，对，与共线，则的最小值为点C到直线的距离，
易知直线的方程为，则点C到直线的距离，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：正方体中，由，故中，不可能是直角三角形的斜边，
即不存在使得，A选项正确；
R，S分别是棱，的中点，点Q为中点时，平面在正方体上的截面为正六边形，
则Q，M，N，P四点共面，有，B选项错误；
若，则Q为上靠近C点的三等分点，
取上靠近的三等分点G，的中点H，连接，，，
则在正方形中，可得，
平面，平面，则有平面，
同理可由，证明平面，
，平面，，所以平面平面，
点F在侧面内，且平面，所以即为点F的轨迹，
，C选项正确；
若，则Q为的中点，平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，
平面在正方体上的截面为正六边形，
某球能够被整体放入或，该球的表面积最大时，是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球，
正六边形的边长为，面积为，
正六棱锥，侧棱长，每个侧面面积为，棱锥的高为，
设该球的半径为R，由体积法可得，
解得，所以该球的表面积为，D选项正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：因为函数满足，则关于直线对称，
又因为在上单调递减，则在上单调递增，
则由得，
即，解得，则解集为，
故答案为：.
13．答案：
解析：由得，，
解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：取，的中点C，D，依题意，点R是中点，点P，Q分别在，上，
设，，由两式相减得，
直线斜率，直线斜率，则，
直线，的斜率分别为，，同理，，又，
因此，解得，
所以椭圆C的离心率.
故答案为：.
15．答案：（1）有关
（2）分布列见解析；
解析：（1）假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）由已知得，，，1，2，3，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为：
所以.
16．答案：（1）作图见解析
（2）E为线段的中点，理由见解析
（3）
解析：（1）延长，交于点Q，经过点P，Q画直线，则直线即为所作直线l，如图：
，平面，则平面，同理平面，又平面，平面，
因此平面平面，即平面平面，
所以直线即为所作直线.
（2）点E为的中点，使平面.
由，得，而，则，即A为的中点，
又E为的中点，于是，而平面，平面，
因此平面，所以线段的中点E，使平面.
（3）分别取，中点O，M，连接，，则，而，则有，
又，，，l，平面，于是平面，
即平面，而平面，则，由，O为中点，得，
以O为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
设向量为平面的法向量，则，取，得，
又为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1），，，
即，，
，，，
又，，
，
，解得:或，
又，，.
（2）设数列公比为，
，，
，，又，
，
，，，
.
，①
，②
①②:，
，
.
18．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，由，得，由，得，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，的减区间为，增区间为.
（2）函数，求导得，切线l方程为：，
令，得，由，得，
又，，，又由，得，
即，令，，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在区间单调递增，在区间单调递减，
而，则由，得，
所以的取值范围是.
19．答案：（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）
解析：（1）因为直线l过定点，所以，
由消去x，得，，，
设，，则，，
直线的斜率，，
所以
.
即直线与的斜率之积为定值.
（2）因为直线与双曲线C有唯一的公共点M，
所以直线l与双曲线C相切.
由，消去x，得.
由题意得，，化简得.
记切点，则，，
代入直线l得，故.
（i）双曲线的两条渐近线方程为，
由，得，由得，
故，，
所以，所以.
（ii）过点M且与l垂直的直线方程为.
令，得，令，得，
所以.因为，，
所以，，
所以，化简得，
因为，，，，
，
所以点的轨迹方程为.
有慢性疾病
没有慢性疾病
未感染支原体肺炎
60
80
感染支原体肺炎
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P