福建省永定第一中学2022-2023学年高一下学期第一次阶段考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省永定第一中学2022-2023学年高一下学期第一次阶段考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B.两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C.两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D.若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
2．对于向量、，“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．如图，在矩形中，M是的中点，若，则( )
A.B.1C.D.2
4．已知O为正三角形ABC的中心，则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5．如图，A，B两船相距10海里，B船在A船南偏西45°方向上，B船向正南方向行驶，A船以B船速度的倍追赶B船，A船若用最短的时间追上B船，A船行驶的角度为( )
A.南偏西B.南偏西C.南偏东D.南偏东
6．中，角A，B的对边分别为a，b，且，，，那么满足条件的三角形的个数有( )
A.0个B.1个C.2个D.无数个
7．如图，满足，，，则( )
A.B.C.D.
8．已知是边长为的正三角形，为该三角形内切圆的一条弦，且.若点P在的三边上运动，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是( )
A.B.若，则
C.D.若，，则
10．设向量，，则下列叙述正确的是( )
A.若，则与的夹角为钝角B.的最小值为2
C.与垂直的单位向量只能为D.若，则
11．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有( )
A.若，则一定是等边三角形
B.若，则一定是等腰三角形
C.是成立的充要条件
D.若，则一定是锐角三角形
12．已知点P在所在平面内，则( )
A.满足时，P是的外心
B.满足时，P是的重心
C.满足时，P是的内心
D.满足时，P是的垂心
三、填空题
13．若向量，，且与垂直，则实数_______.
14．若，设，则的值为___________.
15．已知向量，满足：，，，则__________.
16．如图，某城市准备在由和以C为直角顶点的等腰直角三角形区域内修建公园，其中是一条观赏道路，已知，，则观赏道路长度的最大值为______.
四、解答题
17．如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、.
(1)写出向量，的坐标；
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足.
（1）求角B的大小；
（2）若，求的面积的最大值.
19．如图所示，在矩形中，，，E为的中点，.
（1）求的值；
（2）设相交于点G，且，求的值.
20．如图，在中，，点E为中点，点F为上的三等分点，且靠近点C，设，.
（1）用，表示，；
（2）如果，，且，求.
21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若，求的取值范围.
22．某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.
（1）已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；
（2）设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？
参考答案
1．答案：A
解析：两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
故选：A.
2．答案：B
解析：因为时一定有，
所以“”是“”的必要条件，
但时，两个向量，不一定相等，
如零向量与任意非零向量都平行，但不相等，
所以“”是“”的不充分条件.
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
3．答案：C
解析：，，，，故选C.
4．答案：C
解析：取AB中点D，连接OD，因为O为正三角形ABC的中心，故，则向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
5．答案：B
解析：设B船的速度为v，A船的速度为，经过t时，A船在C点追上B船，
则，，，如图所示：
在中，由正弦定理得：，
所以.
因为，所以，
则A船行驶的角度为南偏西.
故选：B.
6．答案：C
解析：因为在中，，，，由余弦定理可得：
，所以，也即，
解得：，所以满足条件的三角形的个数有2个，
故选：C.
7．答案：A
解析：在三角形BCD中，由余弦定理得：，
因为，所以角C为锐角，所以，
在三角形ABC中，.
故选：A.
8．答案：B
解析：如图所示，在中，内切圆的半径，
在中，，，
，，
取的中点G，连结，
.
当，分别取最大值时，取得最大值，
当点P运动到三角形的顶点，且顶点与O的连线垂直于时，，分别取最大值时，
.
故选：B.
9．答案：AB
解析：，故A正确；
可得，
，则，故B正确；
表示与共线的向量，表示与共线的向量，原等式两边不一定相等，故C错误；
当，均与垂直时，此时，但与不一定相等，故D错误.
故选：AB.
10．答案：AB
解析：当时，，所以，所以与的夹角为钝角，所以A正确；
，所以的最小值为2，所以B正确；
与共线的单位向量为或所以C不正确；
若，可得：，解得则或，所以D不正确；
故选：AB.
11．答案：AC
解析：对于A，由正弦定理可得，
故，而A，B，C为三角形内角，故，
故三角形为等边三角形，故A正确.
对于B，由正弦定理可得，
故，故，或，，
而A，B，，
故或即或，
故三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误.
对于C，等价于，而后者等价于，即，
其中R为三角形外接圆半径，故的充要条件为，故C正确.
对于D，由可得，故C为锐角，
但不能保证三角形为锐角三角形，故D错误.
故选：AC.
12．答案：BC
解析：A.根据向量数量积的运算律变形，利用数量积的性质，即可判断选项:B.利用向量加法的运算公式，结合三角形重心的性质，即可判断选项;C.结合正弦定理，以及转化向量，变形为，即可判断选项;D.构造特殊三角形，即可判断选项.
13．答案：
解析：由题可知，得，解得.
故答案为：.
14．答案：2
解析：因，则，
，
而，于是有，，
所以的值为2.
故答案为：2.
15．答案：
解析：由，得，得，
得，得，
.
故答案为：.
16．答案：
解析：设，
在中，由正弦定理得，则，
由余弦定理得，
在中，，
，当时等号成立.
∴长度的最大值为.
17．答案：(1)，
(2)
解析：(1)，
.
(2)设，所以，
四边形ABCD是平行四边形，
所以，所以解得，
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
由余弦定理得，又，所以.
（2）因为，
由（1）得，当且仅当时取等号，
所以，
面积，
所以三角形面积的最大值为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1），，
，，，
.
（2），
、G、E三点共线，，
得，
由平面向量基本定理得，
.
20．答案：（1），
（2）
解析：（1）因为，点E为中点，点F为的三等分点，且靠近点C，
所以，
.
（2）由（1）可知，，
所以，由，可得，
所以
.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理可变形为
，
，
，即，又，
.
（2）由正弦定理，
，，
，
又，，
所以，
即的取值范围是.
22．答案：（1）6
（2）的长度至少2分米
解析：（1）设两颗粒子在P点相撞，在中，
由余弦定理得，
即，
，
，
即，，
当且仅当时，等号成立，
所以两颗粒子运动路程和的最大值为6.
（2）过P作，垂足为Q，
设，则，，
由余弦定理可得，
，，，
，，
当即时，即取得最大值2，
易知恒成立，
，
的长度至少为分米，才能确保对任意的，总可以通过调整乙粒子的释放角度，使两颗粒子成功碰撞.