2024年山东省菏泽市郓城县中考数学一模试卷(含解析）

这是一份2024年山东省菏泽市郓城县中考数学一模试卷(含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−66的相反数是( )
A. −66B. 66C. 166D. −166
2.据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约16万吨，将16万吨用科学记数法表示为( )
A. 1.6×103吨B. 1.6×104吨C. 1.6×105吨D. 1.6×106吨
3.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB/​/CD，∠EBA=80°，则∠E+∠D的度数为( )
A. 60°
B. 30°
C. 90°
D. 80°
5.下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.下列说法：
① 2−1的相反数是− 2−1；
②算术平方根等于它本身的数只有零；
③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；
④若a，b都是无理数，则|a|+|b|一定是无理数．其中正确的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
7.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 150(1−x2)=96B. 150(1−x)=96
C. 150(1−x)2=96D. 150(1−2x)=96
8.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为( )
A. 2π
B. 4π
C. 33π
D. 2 33π
9.如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树CD的高度是( )
A. 8(3− 3)mB. 8(3+ 3)mC. 6(3− 3)mD. 6(3+ 3)m
10.如图，抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标A(−1,3)，与x轴的一个交点B(−4,0)，直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a−b=0；②抛物线与x轴的另一个交点坐标是(2,0)；③7a+c>0；④方程ax2+bx+c−2=0有两个不相等的实数根；⑤当−4A. 2B. 3C. 4D. 5
11.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是40m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A. 20mB. 203 3mC. 403 3mD. 20 3m
12.如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2−1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为_____cm2．
14.如图，电线杆的顶上有一盏高为6m的路灯，电线杆底部为A，身高1.5m的男孩站在与点A相距6m的点B处，若男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子，BC扫过的面积为______m2．
15.如图，点B是反比例函数y=kx(x>0)图象上一点，过点B作x轴的平行线，交y轴于点A，点C是x轴上一点，△ABC的面积是2，则k=______．
16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为(2,1)，(6,1)，∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P.若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为______．
17.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE.下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD=4S△OCF；③AC：BD= 21：7；④FB2=OF⋅DF.其中正确的结论有______(填写所有正确结论的序号)
18.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x−1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1…、正方形AnBnCnCn−1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B2020的坐标是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
①解不等式组：4(x−1)≥x+22x+13>x−1；
②先化简，再求值：x−1x2+2x+1÷(1−2x+1)，其中x= 3−1．
20.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=nx(n为常数，且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
(3)直接写出不等式kx+b≤nx的解集．
21.(本小题8分)
2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有______人；
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为______；
(3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22.(本小题8分)
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求出y与x之间的函数表达式；(不需要求自变量x的取值范围)
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
23.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE=2∠E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若tanE=13，BD=1，求AB的长．
24.(本小题8分)
如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证：CD=2BF+DE．
25.(本小题8分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C，且过点D(2,−3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值;
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−66的相反数是66．
故选：B．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：将16万吨用科学记数法表示为：1.6×105吨．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：∵AB/​/CD，∠EBA=80°，
∴∠CFE=∠EBA=80°，
∵∠CFE是△DEF的外角，
∴∠E+∠D=∠CFE=80°．
故选：D．
由平行线的性质可得∠CFE=∠EBA=80°，再由三角形的外角性质可得∠CFE=∠E+∠D，从而得解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：第一个是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第四个是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：① 2−1的相反数是− 2+1，故原题说法错误；
②算术平方根等于它本身的数是零和1，故原题说法错误；
③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数，故原题说法正确；
④若a，b都是无理数，则|a|+|b|一定是无理数，故原题说法正确．
其中正确的有2个，
故选：C．
根据实数包括无理数和有理数，相反数定义和算术平方根的性质进行分析即可．
此题主要考查了实数，关键是掌握相反数的概念，掌握实数与数轴上点是一一对应关系．
7.【答案】C
【解析】解：第一次降价后的价格为150×(1−x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为150×(1−x)×(1−x)，
则列出的方程是150(1−x)2=96．
故选：C．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=96，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
8.【答案】A
【解析】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB=BC=2，∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=12×(180°−120°)=30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=CH，BH=12AB=12×2=1，
在Rt△ABH中，
AH= AB2−BH2= 22−12= 3，
∴AC=2 3，
同理可证，∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°，
∴S扇形CAE=60π⋅(2 3)2360=2π，
∴图中阴影部分的面积为2π，
故选：A．
由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB=BC=2，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°角直角三角形的性质得到AH=CH，BH=1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH= 3，得到AC=2 3，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
设AD=x米，则BD=(16−x)米，在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后在Rt△CDB中，利用锐角三角函数列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【解答】
解：设AD=x米，
∵AB=16米，
∴BD=AB−AD=(16−x)米，
在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD⋅tan45°=x(米)，
在Rt△CDB中，∠B=60°，
∴tan60°=CDBD=x16−x= 3，
∴x=24−8 3，
经检验：x=24−8 3是原方程的根，
∴CD=(24−8 3)米，
∴这棵树CD的高度是(24−8 3)米，
故选：A．
10.【答案】D
【解析】解：①由抛物线对称轴知，x=−b2a=−1，
∴2a−b=0，则此小题结论正确；
②设抛物线与x轴的另一个交点坐标是(m,0)，根据题意得，−4+m2=−1，
∴m=2，则此小题结论正确；
③把(2,0)代入y=ax2+bx+c得，4a+2b+c=0，
∵x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∴4a+2×2a+c=0，
∴8a+c=0，
∴7a+c=−a>0，则此小题结论正确；
④由函数图象可知，直线y=2与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，
∴ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，即ax2+bx+c−2=0有两个不相等的实数根，则此小题结论正确；
⑤由函数图象可知，当−4故选：D．
①利用对称轴方程进行解答；
②利用抛物线的对称性质求解便可；
③把(2,0)代入二次函数解析式，并把b换成a的对称代数式便可；
④根据抛物线抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=2的交点情况解答；
⑤根据两函数图象的位置关系解答．
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】A
【解析】解：过C作CE⊥直线AB于E，则∠CEB=90°，CE=h，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=30°，
∵BC=40m，
∴h=CE=12BC=20m，
故选：A．
过C作CE⊥直线AB于E，求出∠CBE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出CE=12BC，代入求出即可．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出CE=12BC是解此题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：如图，过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，
∵△ABC是等边三角形，BH⊥AC，
∴AH=2=CH，
∵∠BED=∠BHD=90°，
∴点B，点D，点H，点E四点共圆，
∴∠BHE=∠BDE=45°，
∴点E在∠AHB的角平分线上运动，
∴当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，
∵∠AHE=45°，
∴AH= 2AE=2，
∴AE的最小值为 2，
故选：B．
过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，可证点B，点D，点H，点E四点共圆，可得∠BHE=∠BDE=45°，则点E在∠AHB的角平分线上运动，即当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，垂线段最短，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】2.8
【解析】【分析】
本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可．
【解答】
解：∵正方形二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为4cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，
∴黑色部分的面积约为：4×70%=2.8cm2，
故答案为2.8．
14.【答案】28π
【解析】解：如图所示，∵AE/​/BD，
∴△CBD∽△CAE，
∴CBCA=BDAE，
即CBCB+6=1.56，
解得CB=2，
∴AC=8，
∴男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，他在路灯下的影子BC扫过的面积为π×82−π×62=28πm2．
故答案为：28π．
根据△CBD∽△CAE，即可得到CB=2，AC=8，再根据男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，即可得出他在路灯下的影子BC扫过的面积．
本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：连接OB，
∵AB/​/x轴，
∴S△AOB=S△ACB=2，
根据题意可知：S△AOB=12|k|=2，
又反比例函数的图象位于第一象限，k>0，
则k=4．
故答案为4．
根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|=2，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
16.【答案】(−2,−3)
【解析】解：如图，过A作AD⊥BC，
点B，C的坐标为(2,1)，(6,1)，得
BC=4．
由∠BAC=90°，AB=AC，
得AB=2 2，∠ABD=45°，
∴BD=AD=2，
A(4,3)，
设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得
2k+b=14k+b=3，
解得k=1b=−1，
AB的解析式为y=x−1，
当y=0时，x=1，即P(1,0)，
由中点坐标公式，得
xA′=2xP−xA=2−4=−2，
yA′=2yP−yA=0−3=−3，
A′(−2,−3)．
故答案为：(−2,−3)．
根据等腰直角三角形，可得AB的长，再根据锐角三角函数，可得AD，BD的长，再根据待定系数法，可得函数解析式，令y=0，可得P点坐标，根据中心对称性的性质，可得答案．
本题考查了中心对称性的性质，利用等腰直角三角形得出AB的长是解题关键．
17.【答案】①③④
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于填空题中的压轴题．
①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．
②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．
③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断．
④正确．求出BF，OF，DF(用a表示)，通过计算证明即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD/​/AB，OD=OB，OA=OC，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∵EC平分∠DCB，
∴∠ECB=12∠DCB=60°，
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，
∴△ECB是等边三角形，
∴EB=BC，
∵AB=2BC，
∴EA=EB=EC，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，EA=EB，
∴OE/​/BC，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴EO⊥AC，故①正确，
∵OE/​/BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴OEBC=OFFB=12，
∴OF=13OB，
∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误，
设BC=BE=EC=a，则AB=2a，AC= 3a，OD=OB= a2+( 32a)2= 72a，
∴BD= 7a，
∴AC：BD= 3a： 7a= 21：7，故③正确，
∵OF=13OB= 76a，
∴BF= 73a，
∴BF2=79a2，OF⋅DF= 76a⋅( 72a+ 76a)=79a2，
∴BF2=OF⋅DF，故④正确，
故答案为①③④．
18.【答案】(22019,22020−1)．
【解析】解：当y=0时，有x−1=0，
解得：x=1，
∴点A1的坐标为(1,0)．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为(1,1)．
同理，可得出：A2(2,1)，A3(4,3)，A4(8,7)，A5(16,15)，…，
∴B2(2,3)，B3(4,7)，B4(8,15)，B5(16,31)，…，
∴Bn(2n−1,2n−1)(n为正整数)，
∴点B2020的坐标是(22019,22020−1)．
故答案为：(22019,22020−1)．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn(2n−1,2n−1)(n为正整数)”，依此规律代入n=2020即可得出点B2020的横坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn(2n−1,2n−1)(n为正整数)”是解题的关键．
19.【答案】解：①4(x−1)≥x+2①2x+13>x−1②，
由①得：4x−4≥x+2，
解得：x≥2，
由②得：2x+1>3x−3，
解得：x<4，
∴不等式组的解集为：2≤x<4；
②原式=x−1(x+1)2÷x−1x+1
=x−1(x+1)2⋅x+1x−1
=1x+1，
当x= 3−1时，
原式=1 3−1+1
= 33．
【解析】(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
(2)先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序．
20.【答案】解：(1)由已知，OA=6，OB=12，OD=4
∵CD⊥x轴
∴OB/​/CD
∴△ABO∽△ACD
∴OAAD=OBCD
∴610=12CD
∴CD=20
∴点C坐标为(−4,20)
∴n=xy=−80
∴反比例函数解析式为：y=−80x
把点A(6,0)，B(0,12)代入y=kx+b得：
0=6k+bb=12
解得：k=−2b=12
∴一次函数解析式为y=−2x+12
(2)当−80x=−2x+12时，解得
x1=10，x2=−4
当x=10时，y=−8
∴点E坐标为(10,−8)
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=12×20×10+12×8×10=140
(3)不等式kx+b≤nx，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10或−4≤x<0
【解析】(1)根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
(2)联立解析式，可求交点坐标；
(3)根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．
21.【答案】解：(1)180；
(2)126°；
(3)列表如下：
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P(选中甲、乙)=212=16，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为16．
【解析】【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
(2)用360°乘以篮球的学生所占的百分比即可；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：(1)根据题意得：
54÷30%=180(人)，
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；
(2)根据题意得：
360°×(1−20%−15%−30%)=126°，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，
故答案为：126°；
(3)见答案．
22.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
60k+b=140065k+b=1300，
解得，k=−20b=2600，
即y与x之间的函数表达式是y=−20x+2600；
(2)(x−50)(−20x+2600)=24000，
解得，x1=70，x2=110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
(3)由题意可得，
w=(x−50)(−20x+2600)=−20(x−90)2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，(x−50)÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x=65时，w取得最大值，此时w=19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
(2)根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
(3)根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
23.【答案】(1)证明：连接OC，
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE，
∴∠BOC=2∠E，
∵∠ABE=2∠E
∴∠ABE=∠BOC，
∴AB/​/OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∴∠OCE+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠OCE，
∴∠BCD=∠E，
∵∠A=∠E，tanE=13，BD=1，
∴CDAD=BDCD=13，
∴AD=9，
∴AB=8．
【解析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE=∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
(2)连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE=90°，推出∠BCD=∠OCE，得到∠BCD=∠E，根据三角函数的定义得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
即△ABC≌△ADE；
(2)∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由(1)知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
(3)延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
BF=GF∠AFB=∠AFGAF=AF，
∴△AFB≌△AFG(SAS)，
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45°，
在△CGA和△CDA中，
∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDAAG=AD，
∴△CGA≌△CDA(AAS)，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
(1)根据题意和题目中的条件可以找出△BAC≌△DAE的条件；
(2)根据(1)中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
(3)根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
25.【答案】解：(1)设函数的表达式为y=a(x+1)(x−3)，将点D坐标代入上式并解得a=1，
故抛物线的表达式为y=x2−2x−3…①．
(2)如图1，设直线PD与y轴交于点G，设点P(m,m2−2m−3)，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式y=sx+t并解得
直线PD的表达式为y=mx−3−2m，则OG=3+2m>0，
S△POD=12×OG(xD−xP)=12(3+2m)(2−m)=−m2+12m+3，其中xD、xP分别为点D、P的横坐标，
∵−1<0，故S△POD有最大值，当m=14时，其最大值为4916．
(3)如图2，∵OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠ABC=∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB=∠BOQ时，
AB=4，BC=3 2，AC= 10，
过点A作AH⊥BC与点H，
S△ABC=12×AH×BC=12AB×OC，解得AH=2 2，
则sin∠ACB=AHAC=2 5，则tan∠ACB=tan∠BOQ=2，
则直线OQ的表达式为y=−2x…②，
联立①②并解得x=± 3(舍去负值)，
故点Q( 3,−2 3)
②∠BAC=∠BOQ时，
tan∠BAC=OCOA=31=3=tan∠BOQ，
则直线OQ的表达式为y=−3x…③，
联立①③并解得x=−1+ 132，
故点Q(−1+ 132,3−3 132)，
综上，点Q( 3,−2 3)或(−1+ 132,3−3 132).
【解析】(1)设函数的表达式为y=a(x+1)(x−3)，将点D坐标代入上式，即可求解；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点P(m,m2−2m−3)，将点P、D的坐标代入一次函数表达式y=sx+t并解得直线PD的表达式，由S△POD=12×OG(xD−xP)=12(3+2m)(2−m)=−m2+12m+3可求解；
(3)分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、锐角三角函数、三角形相似的性质、三角形面积的计算等，其中(3)要注意分类求解，避免遗漏．售价x(元/件)
60
65
70
销售量y(件)
1400
1300
1200
甲
乙
丙
丁
甲
一
(乙，甲)
(丙，甲)
(丁，甲)
乙
(甲，乙)
一
(丙，乙)
(丁，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
一
(丁，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
(丙，丁)
一