2024年贵州省铜仁市万山区第一次模拟考试中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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（全卷总分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上；
2.答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上；
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；
4.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 在，，0，四个数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，正数大于0大于负数，从小到大的排序为：，故可直接得到答案．
【详解】解：∵，
∴四个数中，最大的数是，
故选：C．
2. 根据《全国文化文物和旅游统计调查制度》，结合第三方抽样调查结果初步测算，贵州省2023年国庆偎期累计接待旅客4708万人次，实现旅游收入亿元，请将4708万用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法；
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：4708万用科学计数法表示为，
故选：D．
3. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（ ）
A. 传B. 承C. 文D. 色
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方体的展开图形，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形求解即可．
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“承”字相对的面上的汉字是“色”．
故选：D．
4. 既要金山银山，又要绿水青山，贵阳市深入践行习近平总书记重要指示精神，在抓经济大开发的同时，非常重视环境保护，经过多年的不懈努力，2023年十月贵阳市的空气质量在全国省会城市排名第六名，下面是贵阳市2023年10月份某5天的空气质量指数：43，39，20，19，32，则这组数据的中位数是（ ）
A. 32B. 20C. 39D. 34
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中位数的知识，根据中位数的求法，将5个数字从大到小排列，找出中间的数即为中位数，解题的关键是了解中位数的定义．
【详解】将5个数字从大到小排列为43、39、32、20、19，最中间为32，
∴中位数为32．
故选：A．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查积的乘方、合并同类项、完全平方公式和平方差公式，分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可．
【详解】解：A． ，原计算正确，故该选项符合题意；
B． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
C． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
D．,原计算错误，故该选项不符合题意；
故选：A．
6. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7. 计算的结果是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同分母分式的加法法则，即可求解．
【详解】解：原式=，
故选C．
【点睛】本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．
8. 为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积，再根据投中“免一次作业”的概率免一次作业对应区域的面积大圆面积进行求解即可.
【详解】解：由题意得，大圆面积为，
免一次作业对应区域的面积为，
∴投中“免一次作业”的概率是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键．
9. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
【详解】根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，，
此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变；
当铁块逐渐露出水面的过程中，，
此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大；
当铁块完全露出水面之后，，
此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变．
综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变．
观察四个选项可知，只有选项A符合题意．
故选：A
10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长尺，根据题意得，
，
故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
11. 如图，是的外接圆，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后利用半径相等得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
12. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确．
【详解】①∵抛物线的开口向上，
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
由得，，
，
故①正确；
②抛物线的对称轴为，
，
，
，故②正确；
③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等．
由图知时，，
∴时，．
即．
故③错误；
④由图知时二次函数有最小值，
，
，
，
故④错误；
⑤由抛物线的对称轴为可得，
，
∴，
当时，．
由图知时
故⑤正确．
综上所述：正确的是①②⑤，有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 因式分解：a2﹣3a=_______．
【答案】a（a﹣3）
【解析】
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【详解】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为a（a﹣3）．
14. 若点、都在反比例函数的图象上，则______（选填“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，先根据反比例函数解析式得到反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点、都在反比例函数的图象上，，
∴，
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
16. 在平面直角坐标系中，点、、、…在x轴的正半轴上，点、、…在直线上．若点的坐标为，且、、…均为等边三角形．则点的纵坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的长，即可得点的纵坐标，同样的方法分别求出点的纵坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，

，
，
当时，，即，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，即点纵坐标为，
同理可得：点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
归纳类推得：点的纵坐标为（为正整数），
则点的纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再加减运算即可求解；
（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解；
【详解】解：（1）
；
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
18. 2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓．引导学生爱该书．读好书，善读书，贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查．将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
每个等级人数扇形统计图
（1）求统计图表中______，______．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为______．
（3）请写出一条你对读书的建议．
【答案】（1）6，40
（2）1120 （3）全校学生一周内平均读书时间(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图，样本估计总体等知识．
（1）由等级得到学生总数，即可得出a，再求C等级的占比即可；
（2）用样本估计总体即可得出结果；
（3）根据表格可题建议合理即可．
【小问1详解】
解：由等级D得到学生总数人，
∴，
，，
故答案为：6，40．
【小问2详解】
人，
故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人．
故答案为：1120．
小问3详解】
根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间．
19. 近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题备受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．
(1)求A种、B种设备每台各多少万元？
(2)根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？
【答案】（1）每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元；（2）13．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.7）万元，根据数量=总价÷单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台，根据总价=单价×数量结合总费用不高于15万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可．
试题解析：（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.7）万元，
根据题意得： ，
解得：x=0.5．
经检验，x=0.5是原方程的解，
∴x+0.7=1.2．
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元．
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台，
根据题意得：0.5m+1.2（20﹣m）≤15，
解得：m≥ ．
∵m为整数，
∴m≥13．
答：A种设备至少要购买13台．
20. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
21. 在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．

（1）求的值．
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【小问1详解】
∵点的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
【小问2详解】
如图所示，

由题意可得，，，
∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22. 莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）

【答案】座板距地面的最大高度为．
【解析】
【分析】过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，利用和的余弦值求出，，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，

由题意可得，四边形和四边形是矩形，
∴，，
∵秋千链子的长度为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴座板距地面的最大高度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
23. 如图，内接于是⊙O的直径，过点C作的切线交AB的延长线于点，，的延长线交于交于点，.
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）的半径为2
【解析】
【分析】本题考查的是圆的综合题
（1）由切线的性质可得，由，可证，可得；
（2）由是的直径，可知，又因为，可知，为等边三角形，即可求出答案.
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
即的半径为2.
24. 排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
【答案】（1）；
（2）最大高度未达到要求，理由见解析；
（3）米．
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线表达式化为顶点式，得到顶点坐标，求出实际最大高度，即可得到答案；
（3）由（1）可知，，得到抛物线表达式为，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出，再根据点的横坐标为，得到，求出的最小值即可得到答案．
【小问1详解】
解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
【小问2详解】
解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
【小问3详解】
解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
25. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明．
【拓展运用】
（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【答案】（1）证明如下（2）（3）当点在射线上时，，当点在延长线上时，
【解析】
【分析】（1）由题意可证,可得 ，即可求解；
（2）先证出和是等腰直角三角形，可得，，可求，通过证明,可求，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：连接,
,
,
,
,
，
,
,
,
（2），理由如下：
过点作于，于，
,
,
,
和是等腰直角三角形，
,
，
,
设,
,
,
,
四边形是矩形，
,
,
又，
，
,
（3）如图，当点在射线上时，过点作于于，

,
,
和是等腰直角三角形，
，
，
,
设,
,
，
四边形是矩形，
，
又,
，
,

当点在的延长线上时，如图
,
,
和是等腰直角三角形，
，
，
,
设,
，
，
，
四边形矩形，
，
又，
，
，

综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．等级
周平均读书时间t（单位：小时）
人数
A
4
B
a
C
20
D
15
E
5