河北省保定市定州中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积的定义求解.
【详解】，与的夹角为，
所以.
故选：C
2. 下列结论正确的是（ ）
A. 平行向量不一定是共线向量
B. 单位向量都相等
C. 零向量与任一向量的数量积为0
D. 两个单位向量之和不可能是单位向量
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的定义和运算，对选项
【详解】对A，平行向量又叫共线向量，A选项错误；
对B，单位向量长度相等，但方向不一定相同，B选项错误；
对C，零向量与任一向量的数量积为0，C选项正确；
对D，两个单位向量夹角为时，两个单位向量之和也是单位向量，D选项错误.
故选：C
3. 在中，内角所对的边分别为，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析题意，利用三角形内角和定理求A，再用正弦定理求边长即可.
【详解】易知，由正弦定理得，
化简得.
故选：B
4. 已知平面向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标运算，向量模的坐标运算，结合投影向量的公式计算.
【详解】平面向量，，，
所以向量在上的投影向量为.
故选：D
5. 已知向量满足，且，则（ ）
A 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据得，进而得，即可得.
【详解】因为，所以，
故.
故选：B
6. 若某锐角三角形的三边长分别为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形是锐角三角形，利用余弦定理，求解的范围
【详解】由题意可得解得.
故选：D
7. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）

A. 1B. 2C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可.
【详解】因为是的中点，且，
所以.
因为三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
8. 十七世纪法国数学家､被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知分别是的内角的对边，且，若为的费马点，则（ ）
A. -1B. -2C. -3D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先分析题意，根据两角和的三角函数公式进行化简，下一步依据三角函数的同角关系，余弦定理，结合向量数量积的定义进行求解即可.
【详解】因为， ，
所以，
即.因为，所以.
因，所以.
由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部.
由余弦定理可得3，
解得，
所以，
所以.
故选：D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知条件，利用正弦定理角三角形，根据结果判断解的个数.
【详解】由正弦定理，，得，
若，，无解，A选项错误；
若，，得，恰有一个解，B选项正确；
若，，，有两解，有两个解，C选项错误；
若，，，恰有一个解，D选项正确.
故选：BD
10. 如图，在中，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（ ）

A. 若为线段的中点，则
B. 若为线段的中点，则
C.
D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量积运算，逐项判断即可.
【详解】易知：，，.
对A：，且，两式相加得，故A正确；
对B：.故B错误；
对C：设为线段的中点，
，故C正确；
对D：，
又，所以.故D正确.
故选：ACD
11. 在中，内角所对的边分别为，若的面积为16，则下列结论正确的是（ ）
A. 是直角三角形
B. 是等腰三角形
C. 的周长为32
D. 的周长为
【答案】AD
【解析】
【分析】由，，可得，再由面积为16，求出，求出，进而判断选项.
【详解】因为，所以，
所以.因为，所以.因为，
所以.因为16，所以，可得，则，
即.又因为，所以，A正确.
由上知，可得，B错误.
的周长为，C错误，D正确.
故选：AD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设，，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为、是两个不共线的单位向量，，，若与是共线向量，
设，，则，
所以，解得.
故答案为：.
13. 普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量点与，现测得米，在点测得塔顶的仰角为，则该塔的总高度约为__________米.取）

【答案】
【解析】
【分析】设米，由锐角三角函数得到，再中由正弦定理计算可得.
【详解】设米，则，
又，，所以
在中由正弦定理，
即，解得(米).
故答案为：
14. 已知正六边形边上任意一点，且，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】依题意建立平面直角坐标系，得到的坐标表示，再利用正六边形的对称性，分类讨论四种情形，从而分析得满足要求的点的坐标，由此得解.
【详解】依题意，以正六边形的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设分别交轴于点，

则，
设，则，
则，
根据正六边形的对称性，不妨只研究点位于轴的左半部分的情况，分以下四种情形：
①当点在上时，则，则，不满足；
②当点在上时，则，则，不满足；
③当点在上时，易得直线的方程为，
则，，
因为，所以，解得或（舍去），；
④当点在上时，易得直线的方程为，
则，
因为，所以，不满足.
综上，当时，，
则，，
故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用正六边形的对称性，建立平面直角坐标系与减少分类讨论的情况，再利用向量数量积的坐标表示将问题转化为关于的表达式，从而得解.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算的坐标表示，进行计算即可；
（2）根据向量垂直数量积等于零求得的值，再利用向量夹角余弦值的坐标表示进行计算即可.
【小问1详解】
因为，
所以.
因为，所以，
解得，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
即，
解得，所以，
故.
16. 在中，已知，为上一点，，且.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【答案】（1）2； （2）.
【解析】
【分析】（1）中，由正弦定理得，在中，，可求的值；
（2）中，由余弦定理解得，勾股定理求出，由求的面积.
【小问1详解】
，，则，
在中，，所以.
在中，，，所以.
故.
【小问2详解】
在中，由余弦定理可得，
即，
解得，，
则.
故的面积为.
17. 如图，在中，点在线段上，且.

（1）用向量表示；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）用为基底和 表达出；
（2）计算得到，即可得到.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
因为，所以，
则，即，所以.
18. 已知的内角的对边分别为，且向量共线.
（1）求；
（2）求；
（3）若为的内心，求.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由已知的向量共线，有，正弦定理得，可求；
（2）由已知的向量共线，有，由余弦定理得，正弦定理边化角，由，利用两角和与差的正弦公式化简得，可求；
（3）延长，交于点，体积法求内切圆半径，得，利用图形中的角度和边长，结合向量的线性运算和数量积求.
【小问1详解】
因为向量共线，所以.
由，根据正弦定理可得.
又，所以.
【小问2详解】
由，可得，则，
所以.
由正弦定理可得，则，
可得，
则或（舍去），所以.
【小问3详解】
延长，交于点，则，且为的中点.
，，，
设内切圆的半径为，则.
，解得，
则.
（解法一）.
，
所以.
（解法二）设的中点为，连接.
在中，，
，
所以，
则.
19. 某农户有一块半径为20米的圆形菜地，为防止菜地被小鸟破坏，准备在菜地中扎两个稻草人.设该圆形菜地的圆心为两点为稻草人，为该圆形菜地边缘上任意一点，要求为的中点.
（1）若，求；
（2）设，试将表示为的函数；
（3）若同时要求该农户在该菜地边缘上任意一点处观察稻草人时，观察角度的最大值不小于，试求两个稻草人之间的距离的最小值.
【答案】（1）10米；
（2）；
（3）米.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理解答即可.
（2）利用余弦定理进行求解，根据已知条件，得出关系式.
（3）首先找出观察角度最大时，取得最小值.利用余弦定理进行下一步计算.
【小问1详解】

在中，由正弦定理得，
则，所以米.
【小问2详解】
在中，由余弦定理得.
在中，由余弦定理得.
因为，所以，即，
故所求关系式为.
【小问3详解】
当观察角度最大时，取得最小值.
在中，由余弦定理可得.
因为的最大值不小于，所以，解得，
即.故两个稻草人之间的距离的最小值为米.