天津和平区2024届高三一模数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题共45分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
球的表面积公式，其中R表示球的半径.
如果事件A、B互斥，则.
如果事件A、B相互独立，则.
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 函数的图象大致是（ ）
A B.
C. D.
3. 已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
5. 某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ）

①估计居民月均用水量低于的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取4人.
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 设，则有（ ）
A. B.
C. D.
7. 己知函数是的导数，则以下结论中正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数与的值域相同
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在区间上单调递增
8. 若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球的表面上，，则三棱台的高为（ ）
A. B. 8C. 6或8D. 或6
9. 设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（ ）
A. B.
C D.
第Ⅱ卷（非选择题共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10. i虚数单位，复数则_______.
11. 在的二项展开式中，的系数为_______（请用数字作答）.
12. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为_______；党员甲能通过初试的概率为_______.
13. 圆与抛物线的准线相交于，两点.若，则抛物线的焦点坐标为_______.
14. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______.
15. 若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为___________________.
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中，且.
（1）求c的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度.
18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（1）求椭圆C方程；
（2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：.
19. 若数列满足，其中，则称数列为M数列.
（1）已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
（2）若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
20. 已知函数，（为自然对数底数）.
（1）求函数的单调区间：
（2）设在处的切线方程为，求证：当时，；
（3）若，存在，使得，且，求证：当时，.