2023-2024学年湖南省株洲十三中高一（下）开学数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省株洲十三中高一（下）开学数学试卷(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.把集合{x|−3⩽x⩽3,x∈N}用列举法表示，正确的是( )
A. {1,2,3}B. {0,1,2,3}
C. {−2,−1,0,1,2}D. {−3,−2,−1,0,1,2,3}
2.已知角α的终边与单位圆交于点P(−35,45)，则csα的值为( )
A. 35B. −35C. 45D. −45
3.若a，b，c是任意实数，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a2>b2B. 1abcD. 2a>2b
4.函数f(x)=x51+3x6−14x的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.设a=30.1,b=(13)−0.5,c=lg0.30.5，则a，b，c的大小关系( )
A. b0的解集为(b,a)，求1a+4b的最大值．
18.(本小题17分)
天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”.预估生产线建设等固定成本投入为100万，每生产x万个还需投入生产成本R(x)万元，且据测算R(x)=12x,0≤x≤8x2+5x−100,820，若该公司年内共生产该款“暖手宝”x万只，每只售价45元并能全部销售完．
(1)求出利润G(万元)关于年产量x万个的函数解析式G(x)；
(2)当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本；
(3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润．
19.(本小题17分)
对于函数f1(x)，f2(x)，h(x)，如果存在实数a，b，使得h(x)=a⋅f1(x)+b⋅f2(x)，那么称函数h(x)为f1(x)与f2(x)的生成函数．
(1)已知f1(x)=sinx，f2(x)=csx，h(x)=sin(x−π6)，是否存在实数a，b，使得h(x)为f1(x)与f2(x)的生成函数？若不存在，试说明理由；
(2)当a=b=1，h(x)=ex时，是否存在奇函数f1(x)，偶函数f2(x)，使得h(x)为f1(x)与f2(x)的生成函数？若存在，请求出f1(x)与f2(x)的解析式，若不存在，请说明理由；
(3)设函数f1(x)=ln(x2+6x+5)，f2(x)=ln(2x−m)，a=1，b=−1，生成函数h(x)，若函数h(x)有唯一的零点，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题以集合的表示方法转换为载体考查了特殊数集N的含义，正确理解自然数集的定义是解答的关键．
根据N表示自然数(非负整数)将已知中集合用列举法表示后，可得答案．
【解答】
解：N表示自然数，
故集合{x|−3≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3}
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：∵角α的终边与单位圆交于点P(−35,45)，
∴x=−35，y=45，r=1，
∴csα=−35．
故选：B．
根据已知角α的终边与单位圆交于点P(−35,45)，结合三角函数的定义即可得到csα的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，本题是基础题，解答关键是熟悉任意角的三角函数的定义，单位圆的知识．
3.【答案】D
【解析】解：∵a，b，c是任意实数，且a>b，
∴选项A，如0>−1，则选项A不成立，
选项B，如3>−1，则选项B不成立，
选项C，如c=0，则选项C不成立，
选项D，根据y=2x增函数，则2a>2b，选项D正确，
故选：D．
运用不等式的性质直接求解．
本题考查了比较两数大小的方法，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，函数f(x)=x51+3x6−14x，其定义域为R，
f(−x)=−x51+3x6+14x=−(x51+3x6−14x)=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，排除选项A，D．
因为f(1)=14−14=0，排除选项B．
故选：C．
根据题意，先判断函数f(x)的奇偶性，排除选项A，D.再通过f(1)=0，排除选项B即得解．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断和函数值的计算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：a=30.1>1,b=(13)−0.5=30.5>1，
又y=3x在R上单调递增，故30.11，b>1不一定成立，例如，a=3,b=12，
故a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件，故A正确；
对于B，若x=1，则x2=1，若x2=1，则x=±1，所以“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，f(x)= x2+16+9 x2+16≥6，等号成立的条件是 x2+16=9 x2+16，解得：x2=−7，不成立，
所以等号不成立，
所以函数f(x)的最小值不是6，故C错误；
对于D，命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x0∈R，x02+x0+1=0”，故D正确．
故选：AD．
利用充分性与必要性判断AB的正确性；根据基本不等式判断C；根据全称命题与存在命题的关系判断D的正确性．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：f(x)=sin(2x+3π4)+cs(2x+3π4)
=sin2xcs3π4+sin3π4cs2x+cs2xcs3π4−sin2xsin3π4
=− 22sin2x+ 22cs2x− 22cs2x− 22sin2x=− 2sin2x，
即f(x)=− 2sin2x，
对于A，f(x−π4)=− 2sin(2x−π2)= 2cs2x，易知为偶函数，所以A正确；
对于B，由f(x)=− 2sin2x的对称轴方程2x=π2+kπ,k∈Z⇒x=π4+kπ2,k∈Z，故B错误；
对于C，x∈(π3,π2),2x∈(2π3,π)，y=sin2x单调递减，则f(x)=− 2sin2x单调递增，故C正确；
对于D，f(x)=− 2sin2x，则sin2x∈[−1,1]，所以f(x)∈[− 2, 2]，故D错误．
故选：AC．
利用两角和的正弦公式、余弦公式化简f(x)=sin(2x+3π4)+cs(2x+3π4)，再根据三角函数的性质逐项判断即可．
本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦函数的单调性、对称性及最值的应用，属于中档题．
12.【答案】−4
【解析】【分析】本题主要考查函数最值的求法，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．
画出函数图像，找较低图像的最高点即可得解．
【解答】解：画出两函数图像可得，函数f(x)=x−8与g(x)=3x−x2的交点为(4,−4)，(−2,−10)，
所以m(x)=min{f(x),g(x)}=3x−x2,x≤−2或x≥4x−8,−20，
(ax+b)(x−2)>0可变为(x−2)(x+ba)>0，即得(x−2)(x+1)>0，
∴x2，
∴不等式的解集是(−∞,−1)∪(2,+∞)
故答案为：(−∞,−1)∪(2,+∞)．
由题意得到可得ba=1，且a>0，则不等式(ax+b)(x−2)>0⇔(x−2)(x+1)>0，解得即可．
本题考查一元二次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式ax−b>0的解集是(1,+∞)，解出参数a，b所满足的条件，再根据一元二次不等式的解法求出不等式不等式(ax+b)(x−2)>0的解集．
14.【答案】5
【解析】解：由A∩B=A，故A⊆B，
由|x−3|≤m，得−m+3≤x≤m+3，
故有4≤m+3−2≥−m+3，即m≥1m≥5，即m≥5，
即m的最小值为5．
故答案为：5．
由A∩B=A可得A⊆B，解出集合B后结合集合的关系计算即可得．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解：(1)原式=(32)−2(32)3×23+ 3−lg100= 3−1．
(2)f(α)=−sinαtanα(−csα)−csα(−tanα)=sinα，
由f(α)=−12可得sinα=−12，而α∈(0,2π)，
故α=7π6或α=11π6．
【解析】(1)利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可；
(2)利用诱导公式可求f(α)，根据f(α)=−12结合α∈(0,2π)可求α的值．
本题主要考查了指数幂的运算性质及对数运算性质的应用，还考查了诱导公式的应用，属于基础题．
16.【答案】证明：(1)设∀x1，x2∈(0,1)，x1