2023-2024学年上海市闵行区七宝中学高二（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年上海市闵行区七宝中学高二（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知M点的极坐标为(−2,−π6)，则M点关于直线θ=π2的对称点坐标为( )
A. (2,π6)B. (2,−π6)C. (−2,π6)D. (−2,11π6)
2.如果命题P(n)对于n=k(k∈N*)时成立，那么它对n=k+2也成立．若P(n)对于n=2时成立，则下列结论正确的是( )
A. P(n)对所有正整数n成立B. P(n)对所有正偶数n成立
C. P(n)对所有正奇数n成立D. P(n)对所有大于1的正整数n成立
3.爱美之心，人皆有之．健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：kg)情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示．对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是( )
A. 他们健身后，体重在区间[90,100)内的人数增加了4个
B. 他们健身后，体重在区间[100,110)内的人数没有改变
C. 因为体重在[100,110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响
D. 他们健身后，原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少
4.已知点P的双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，则λ的值为( )
A. a2+b22aB. a a2+b2C. baD. ab
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知数列{an}是等差数列，若a1=2，a4=2a3，则S5= ______．
6.直线xsinθ−y+1=0(θ∈R)的倾斜角的范围是______．
7.过点P(2,2)，且在x轴上的截距是3的直线l的方程是______．
8.双曲线x2−y23=1的两条渐近线所成锐角的大小等于______．
9.圆心极坐标为M(a,π2)(a>0)、半径为a的圆的极坐标方程是______．
10.将参数方程x= t+1y=1−2 t(t为参数)化为普通方程是______．
11.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，若OG=xOA+yOB+zOC，则x+y+z= ______．
12.已知向量a=xi+(y+3)j，b=xi+(y−3)j，且|a|−|b|=4，则点M(x,y)的轨迹方程是______．
13.四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccs 1010，求线段BD的长______．
14.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码．已知甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为15，14，13，且他们是否破译出密码互不影响．则恰有二人破译出密码的概率为______．
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，Sn=(−1)nan+12n+n−3且(a1−p)(a2−p)b>0)的左焦点为F，过点F作倾斜角为60°的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若4|FM|=|OF|(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率为______．
三、解答题：本题共5小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
根据下列条件，分别求直线l的方程．
(1)直线l经过点B(2,1)，且与直线5x+2y+3=0的夹角等于45°；
(2)经过l1：2x+y−5=0与l2：x−2y=0的交点，且点A(5,0)到直线l的距离为3．
18.(本小题7分)
已知方程x2−6xcsθ−2y−9sin2θ+8sinθ+9=0．
(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
(2)θ为何值时，该抛物线在直线y=14上截得的弦最长？并求出此弦长．
19.(本小题8分)
已知过点A(−4,0)的动直线l与抛物线G：x2=2py(p>0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是12时，AC=4AB．
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
20.(本小题8分)
已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b=2．
(1)若a= 5，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；
(2)若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；
(3)若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
21.(本小题8分)
设数列{an}的前n项和为Sn，若12≤an+1an≤2(n∈N*)，则称{an}是“紧密数列”．
(1)已知数列{an}是“紧密数列”，其前5项依次为1，32,94,x,8116，求x的取值范围；
(2)若数列{an}的前n项和为Sn=14(n2+3n)(n∈N*)，判断{an}是否是“紧密数列”，并说明理由；
(3)设{an}是公比为q的等比数列，若{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：作出极坐标是(−2,−π6)的点M，如图，
它关于直线θ=π2的对称点是M1，
其极坐标为(2,π6)或(−2,7π6)，
故选：A．
利用极坐标的意义作出极坐标是(−2,−π6)的点M，如图，再作出它关于直线θ=π2的对称点是M1，从而得出它的极坐标为(2,π6)或(−2,7π6).
本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直、中点在轴上2个条件，作图法求对称点的坐标．
2.【答案】B
【解析】解：命题P(n)对于n=k(k∈N*)时成立，那么它对n=k+2也成立．
若P(n)对于n=2时成立，则对n=4，6，8，…，2m也成立，
即为对P(n)对所有正偶数n成立，
故选：B．
利用假设，k=2，即有n为正偶数均成立，即可得结论．
本题主要考查数学归纳法的运用，关键是正确利用归纳假设．
3.【答案】C
【解析】解：体重在区间[90,100)内的肥胖者由健身前的12人增加到健身后的16人，故人数增加了4个，A正确；
他们健身后，体重在区间[100,110)内的百分比没有变，所以人数没有变，B正确；
他们健身后，已经出现了体重在[80,90)内的人，健身之前是没有这部分体重的，C错误；
因为图2中没有体重在区间[110,120)内的比例，所以原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少，D正确．
故选：C．
由所给的柱形图进行分析数据的变化，减肥前[90,100)有12人，[100,110)有20人，[110,120)有8人，减肥后[80,90)有4人，[90,100)有16人，[100,110)有20人，然后逐一核对四个选项得答案．
本题主要考查利用频率分布直方图分析数据的变化，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|−|PF2|=2a，|F1F2|=2c，
S△IPF1=12|PF1|⋅r，S△IPF2=12|PF2|⋅r，S△IF1F2=12⋅2c⋅r=cr，
由题意得，12|PF1|⋅r=12|PF2|⋅r+λcr，故λ=|PF1|−|PF2|2c=ac=a a2+b2，
故选：B．
设△PF1F2的内切圆半径为r，由|PF1|−|PF2|=2a，|F1F2|=2c，用△PF1F2的边长和r表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出λ．
本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，属于基础题．
5.【答案】−10
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1=2，a4=2a3，
∴a1+3d=2(a1+2d)，解得d=−2，
∴S5=5×2+5×(5−1)2×(−2)=−10．
故答案为：−10．
利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
6.【答案】[0,π4]∪[3π4,+∞)
【解析】解：由直线方程xsinθ−y+1=0(θ∈R)可得直线的斜率k=sinθ∈[−1,1]，
设直线的倾斜角为α，α∈[0,π)，
则tanα∈[−1,1]，
所以α∈[0,π4]∪[3π4,π)．
故答案为：[0,π4]∪[3π4,+∞)．
由直线的方程可得直线的斜率，再由θ的范围，可得直线的斜率的范围，进而求出直线的倾斜角的范围．
本题考查直线的斜率的求法及直线的倾斜角的求法，属于基础题．
7.【答案】2x+y−6=0
【解析】解：由题意知直线经过两点(2,2)，(3,0)，
则直线l的斜率为k=2−02−3=−2
故直线l的方程是y−0=−2(x−3)，即2x+y−6=0．
故答案为：2x+y−6=0．
利用斜率公式及直线的点斜式即可求解．
本题考查截距的性质的应用及直线方程的求法，属于基础题．
8.【答案】π3
【解析】解：由双曲线x2−y23=1，得a=1，b= 3，
∴双曲线x2−y23=1的两条渐近线方程分别为y=− 3x，y= 3x，
可得两条渐近线所成锐角的大小等于2π3−π3=π3．
故答案为：π3．
由双曲线方程求得其渐近线方程，得到两渐近线的倾斜角，则答案可求．
本题考查双曲线的几何性质，是基础题．
9.【答案】ρ=2asinθ，(0≤θ