2023-2024学年云南省丽江市润泽高级中学高一（下）开学数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年云南省丽江市润泽高级中学高一（下）开学数学试卷(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈R|lg2x<2}，集合B={x∈R||x−1|<2}，则A∩B=( )
A. (0,3)B. (−1,3)C. (0,4)D. (−∞,3)
2.csπ12=( )
A. 6+ 24B. 6− 24C. − 6+ 24D. − 6− 24
3.“n=1”是“幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅xn2−3n在(0,+∞)上是减函数”的一个条件．( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
4.已知a，b为正数，4a+b=1，则14a+1b的最小值为( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
5.三个数lgπ0.3,3π,sinπ10的大小关系是( )
A. lgπ0.3C. sinπ106.函数y=xax|x|(a>1)的图象的大致形状是( )
A. B. C. D.
7.奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)为偶函数，且f(1)=2，则f(2022)+f(2023)的值为( )
A. 2B. 1C. −1D. −2
8.将函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)为奇函数，则ω的最小值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角α的终边经过点P(sin120°,tan120°)，则( )
A. csα= 55B. sinα=2 55
C. tanα=−2D. sinα+csα=− 55
10.若a>b，a>0，c>0，则下列不等式中正确的是( )
A. cabaD. ba+ab>2
11.某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体验生活期间的薪资最多，下列方案选择正确的是( )
A. 若体验7天，则选择方案①B. 若体验8天，则选择方案②
C. 若体验9天，则选择方案③D. 若体验10天，则选择方案③
12.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数y=f(x)在[−5π12,π12]单调道减
B. 函数y=f(x)图象关于(19π12,0)中心对称
C. 将函数y=f(x)的图象向左平移π3个单位得到函数g(x)=2sin(2x−π3)的图象
D. 若f(x)在区间[2π3,a]上的值域为[−A, 3]，则实数a的取值范围为[13π12,3π2]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(214)12−(−9.6)0−(338)−23+(1.5)−2= ．
14.已知函数f(x)=ln(−x2+2x+3)，则f(x)的单调增区间为______．
15.“∃x∈R，ax2−ax+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为______．
16.已知α∈(−π2,π)，且3cs2α+8sinα+5=0，则tanα=__．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
集合A={x|x+12x−1≥1}，B={x|x2−2ax+a2−4<0}．
(1)若C={3,4,a2+2a−3}，0∈(B∩C)，求实数a的值；
(2)若A∩(∁RB)=⌀，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知tanθ=−43．
(1)若角θ的终边在第二象限，求sin(π2+θ)−sin(π+θ)的值；
(2)若将角θ的终边顺时针旋转π4得到角φ的终边，求sinφ+csφsinϕ−csϕ的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2−bx．
(1)若f(x)≥c的解集为{x|−3≤x≤2}，求不等式bx2+ax+c≤0的解集；
(2)若a>0，b>0且f(−1)=2，2a+b−mab≥0恒成立，求m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知f(x)=4sin(x+π2)sin(x+π3)− 3．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间：
(2)若关于x的方程f(x)=m+2sin2x在区间[π12,7π12]上恰有两个不等实根，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=b4x+a+1的定义域为R，其图像关于点(12,12)对称．
(1)求实数a，b的值；
(2)求f(12023)+f(22023)+…+f(20222023)的值．
22.(本小题12分)
利用“函数零点存在定理”，解决以下问题．
(1)求方程(513)x+(1213)x=1的根；
(2)设函数f(x)=ex−1x,若f(x0)=0，求证：f(2x0)∈(12,3)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵集合A={x∈R|lg2x<2}={x|0集合B={x∈R||x−1|<2}={x|−1∴A∩B={x|0故选：A．
先求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：csπ12=cs(π3−π4)=12× 22+ 32× 22= 6+ 24．
故选：A．
由π12=π3−π4及两角和与差的三角函数化简求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：若幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅xn2−3n在(0,+∞)上是减函数，
则n2−3n+3=1n2−3n<0，
解得n=1或n=2，
故“n=1”是“幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅xn2−3n在(0,+∞)上是减函数”的一个充分不必要条件．
故选：A．
由已知结合幂函数的定义及性质即可求解n，然后检验充分及必要性即可判断．
本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为a，b为正数，4a+b=1，
则14a+1b=4a+b4a+4a+bb=2+b4a+4ab≥2+2 b4a⋅4ab=4，
当且仅当b=4a，即a=18，b=12时取等号．
故选：C．
由已知，利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵lgπ0.330=1，0∴lgπ0.3故选：A．
根据对数函数、正弦函数和指数函数的单调性即可得出这三个数的大小关系．
本题考查了正弦函数、指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：当x>0时，y=ax，因为a>1，所以函数y=ax单调递增，
当x<0时，y=−ax，因为a>1，所以函数y=−ax单调递减，
故选：C．
根据函数的单调性即可判断．
本题考查了函数图象和识别，关键掌握函数的单调性，属于基础题
7.【答案】D
【解析】解：由题意，f(−x)=−f(x)，f(−x+1)=f(x+1)，
则f(x)=f(2−x)，f(−x)=f(2+x)，
则f(2+x)=f(−x)=−f(x)，f(x+4)=−f(x+2)=−[−f(x)]=f(x)，
可得f(x)是以4为周期的奇函数，
∵f(0)=0，f(1)=2，
∴f(2022)+f(2023)=f(4×505+2)+f(4×505+3)=f(2)+f(3)，
由f(−x+1)=f(x+1)，得f(2)=f(0)=0，
f(3)=f(−1)=−f(1)=−2．
∴f(2022)+f(2023)=f(2)+f(3)=0−2=−2．
故选：D．
由已知可得f(x)是以4为周期的奇函数，再由已知结合函数的周期性求解．
本题考查抽象函数及其应用，考查推理论证能力及运算求解能力，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，将函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，
得到g(x)=sin[ω2(x−π6)+π6]=sin(ω2x+π6−ωπ12)，
因为y=g(x)为奇函数，
所以π6−ωπ12=kπ(k∈Z)，解得ω=2−12k(k∈Z)，
又ω>0，
所以当k=0时，ω取得最小值2．
故选：C．
利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求g(x)=sin(ω2x+π6−ωπ12)，由题意可求π6−ωπ12=kπ(k∈Z)，结合ω>0，即可求解ω的最小值．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了三角函数的性质，考查数学运算与直观想象的核心素养，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得α的三角函数的值，可得结论．
【解答】
解：∵角α的终边经过点P(sin120°,tan120°)，
∴|OP|= sin2120°+tan2120°= 34+3= 152，
∴sinα=tan120° 152=−2 55，csα=sin120° 152= 55，tanα=sinαcsα=−2，
sinα+csα=− 55．
故选：ACD．
10.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当a>0>b时，ca>0>cb，A错误；
对于B，由a>b，则−a<−b，又c>0，所以−ac<−bc，故B正确；
对于C，b+ca+c−ba=a(b+c)−b(a+c)a(a+c)=c(a−b)a(a+c)，∵a>b，a>0，c>0，∴b+ca+c−ba=c(a−b)a(a+c)>0，即b+ca+c>ba，故C正确；
对于D，当b<0时，ab<0且ba<0，则ba+ab<0，故D错误．
故选：BC．
根据题意，举出反例可得A、D错误，由不等式的性质和作差法依次分析B、C，综合可得答案．
本题考查不等式的性质以及应用，涉及作差法的应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A：若体验7天，方案①：50×7=350元，方案②：10+20+30+40+50+60+70=280元，方案③：1+2+4+8+16+32+64=127元，
∵350>280>127，∴体验7天，选择方案①，故A正确；
对于B：若体验8天，方案①：50×8=400元，方案②：10+20+30+40+50+60+70+80=360元，方案③：1+2+4+8+16+32+64+128=255元，
∵400>360>255，∴体验8天，选择方案①，故B错误；
对于C：若体验9天，方案①：50×9=450元，方案②：10+20+30+40+50+60+70+80+90=450元，方案③：1+2+4+8+16+32+64+128+256=511元，
∵511>450=450，∴体验9天，选择方案③，故C正确；
对于D：若体验10天，方案①：50×10=500元，方案②：10+20+30+40+50+60+70+80+90+100=550元，方案③：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023元，
∵1023>550>500，∴体验10天，选择方案③，故D正确．
故选：ACD．
根据等差数列和等比数列的求和公式，逐一分析选项，比较大小，即可得出答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：由图象可得A=2，且34T=7π12+π6=3π4，故T=π即ω=2，
而2×7π12+φ=π2+2kπ,k∈Z，故φ=−2π3+2kπ,k∈Z.，
因为|φ|<π，故φ=−2π3，故f(x)=2sin(2x−2π3)，
对于A，当x∈[−5π12,π12]，−3π2≤2x−2π3≤−π2，
而y=sint在[−3π2,−π2]上为减函数，故f(x)在[−5π12,π12]为减函数，故A正确．
对于B，f(19π12)=2sin(19π6−2π3)=2，故x=19π12为函数图象的对称轴，故B错误．
对于C，将函数y=f(x)的图象向左平移π3个单位得到函数y=2sin(2x+2π3−2π3)=2sin2x的图象，故C错误．
对于D，当x∈[2π3,a]时，2π3≤2x−2π3≤2a−2π3.因为函数的值域为[−2, 3]，
故3π2≤2a−2π3≤7π3，故13π12≤a≤3π2，故D正确．
故选：AD．
根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB的正误，利用图像变换可判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
13.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．
利用指数幂的运算法则即可得出．
【解答】
解：原式=[(32)2]12−1−[(23)−3]−23+(32)−2
=32−1−49+49=12．
故答案为12．
14.【答案】(−1,1]
【解析】解：由−x2+2x+3>0，得x2−2x−3<0，解得−1令t=−x2+2x+3，其对称轴方程为x=1，图象是开口向下的抛物线，
则t=−x2+2x+3在(−1,1]上为增函数，
又y=lnt为定义域内的增函数，
则f(x)的单调增区间为(−1,1]．
故答案为：(−1,1]．
由对数式的真数大于0求解函数的定义域，再求出内层函数的增区间，则答案可求．
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
15.【答案】[0,4]
【解析】解：命题“∃x∈R，ax2−ax+1<0”是假命题，
则它的否定命题“∀x∈R，ax2−ax+1≥0”是真命题，
a=0时，不等式为1≥0，显然成立；
a≠0时，应满足a>0Δ=a2−4a≤0，解得0所以实数a的取值范围是[0,4]．
故答案为：[0,4]．
根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数a的取值范围．
本题考查了命题与它的否定命题应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
16.【答案】−2 55
【解析】【分析】
利用二倍角公式化简已知等式可得3sin2α−4sinα−4=0，解得sinα的值，利用同角三角函数基本关系式即可求解csα，进而可求tanα的值，
本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．
【解答】
解：因为3cs2α+8sinα+5=3(1−2sin2α)+8sinα+5=0，
整理可得3sin2α−4sinα−4=0，
解得sinα=−23<0，或2(舍去)，
由于α∈(−π2,π)，
可得α∈(−π2,0)，
所以csα= 1− sin2α= 53，tanα=sinαcsα=−2 55．
故答案为：−2 55．
17.【答案】解：(1)∵B={x|x2−2ax+a2−4<0}，C={3,4,a2+2a−3}，且0∈(B∩C)，
∴0∈B，且0∈C，
∴a2−4<0且a2+2a−3=0，
解得a=1．
(2)不等式x+12x−1≥1，可化为−x+22x−1≥0，即(x−2)(2x−1)≤0且2x−1≠0，
解得12即A={x|12∵B={x|x2−2ax+a2−4<0}={x|a−2∵A∩(∁RB)=⌀，
∴a−2≤12a+2>2，解得0即实数a的取值范围(0,52].
【解析】(1)由题意可知0∈B，且0∈C，进而可得a2−4<0且a2+2a−3=0，求出a的值即可．
(2)先求出集合A，B，再求出B的补集，由A∩(∁RB)=⌀列出不等式组，求出a的取值范围即可．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，属于基础题．
18.【答案】解：因为tanθ=−43，
(1)若角θ的终边在第二象限，
则cs2θ=11+tan2θ=11+169=925，
所以csθ=−35，sinθ=45，
则sin(π2+θ)−sin(π+θ)=csθ+sinθ=−35+45=15；
(2)若将角θ的终边顺时针旋转π4得到角φ的终边，则φ=θ−π4，
所以tanφ=tanθ−11+tanθ=−43−11−43=7，
则sinφ+csφsinϕ−csϕ=tanφ+1tanϕ−1=7+17−1=43．
【解析】(1)由已知结合同角基本关系先求出sinθ，csθ，然后结合诱导公式对所求式子进行化简即可求解；
(2)结合角的概念可得φ，然后结合和差角公式及同角基本关系即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题设知a<0且ax2−bx−c=0的两根为x1=−3，x2=2，
所以x1+x2=ba=−1,x1x2=−ca=−6，
可得：b=−a，c=6a，
所以bx2+ax+c≤0等价于−ax2+ax+6a≤0，
可化为：x2−x−6≤0，解得：−2≤x≤3，
所以不等式bx2+ax+c≤0的解集为{x|−2≤x≤3}；
(2)a>0，b>0且f(−1)=2⇒a+b=2，
所以2a+b−mab≥0，即m≤1a+2b恒成立，
又因为12(a+b)(1a+2b)=12(3+2ab+ba)≥12(3+2 2)，
当且仅当b= 2a，
又因为a+b=2，
即a=2( 2−1)b=4−2 2时，“=”成立，
所以m≤12(3+2 2)．
所以m的的取值范围为(−∞,12(3+2 2)].
【解析】(1)根据题中条件可知a<0，根据解集可知二次方程ax2−bx−c=0的两根为x1=−3，x2=2，再根据韦达定理找到a、b、c三者之间的关系，由此解出不等式．
(2)根据题意可知a、b之间的关系，再将2a+b−mab≥0分离参数，利用基本不等式即可求出答案．
本题考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=4sin(x+π2)sin(x+π3)− 3=2sinxcsx+2 3cs2x− 3=2sin(2x+π3).
所以函数的最小正周期为T=2π2=π．
令π2+2kπ≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，
整理得π12+kπ≤x≤kπ+7π12(k∈Z)，
故函数的单调递减区间为：[π12+kπ,kπ+7π12](k∈Z)．
(2)关于x的方程f(x)=m+2sin2x在区间[π12,7π12]上恰有两个不等实根，
故不等式等价于m=2sin(2x+π3)−2sin2x=2cs(2x+π6)，
即m2=cs(2x+π6)在[π12,7π12]上恰有两个不等实根；
由于x∈[π12,7π12]，
所以2x+π6∈[π3,4π3]，
故cs(2x+π6)∈(−1,−12]．
故参数m的取值范围为(−2,−1]．
【解析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的最小正周期和函数的单调区间；
(2)利用函数的图象和性质的应用求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数的讨论，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由条件可知函数f(x)经过点(12,12)，
∴f(12)=12f(0)+f(1)=2×12，即b412+a+1=12b1+a+1+b4+a+1=1，
解得：a=2，b=−2；
(2)由(1)可知f(x)=−24x+2+1=4x4x+2，
可得f(x)+f(1−x)=4x4x+2+41−x41−x+2=4x4x+2+44+2×4x=1，
而12023+20222023=1，22023+20212023=，10112023+10122023=1，
故f(12023)+f(22023)+…+f(20222023)=1011．
【解析】(1)根据对称性列方程解出a和b；
(2)根据对称性分组计算．
本题考查函数性质的综合运用，考查整体思想和转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】(1)解：方程(513)x+(1213)x=1的根就是函数f(x)=(513)x+(1213)x−1的零点，函数是连续函数，也是减函数，
f(1)=413>0，f(3)=−752197<0，函数的零点在(1,3)，因为f(2)=(513)2+(1213)2−1=0，所以函数的零点为2，
方程的根为2．
(2)证明：函数f(x)=ex−1x,若f(x0)=0，可得ex0=1x0，x=12时，f(12)= e−2<0，x=1时，f(1)=e−1>0，所以x0∈(12,1)．
f(2x0)=e2x0−12x0=1x02−12x0=(1x0−14)2−116，
函数的对称轴为x=14，x∈(12,1)时，函数是减函数，
x0=12时，f(2x0)=4916−116=3，
x0=1时，f(2x0)=916−116=12，
所以：f(2x0)∈(12,3)．
【解析】(1)构造函数，利用函数的零点判定定理，转化求解即可．
(2)利用函数的零点，化简表达式，然后求解范围即可．
本题考查函数与方程的应用，函数的零点与方程根的关系，是中档题．