专题6.2 立方根-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

这是一份专题6.2 立方根-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版），共11页。

【知识点1 立方根的概念及性质】
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【题型1 立方根的概念及性质】
【例1】（2021春•仓山区期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（ ）
A．a是﹣b的立方根B．a是b的立方根
C．﹣a是﹣b的立方根D．±a都是b的立方根
【解题思路】根据立方根的定义推导即可得出结论．
【解答过程】解：根据题意得：（﹣a）3＝b，
∴﹣a3＝b，
∴a3＝﹣b，
∴a是﹣b的立方根，
故选：A．
【变式1-1】（2021春•海淀区校级月考）下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4B．-19没有立方根
C．若a=3a，则a＝1D．3-27=-327
【解题思路】根据立方根的定义解答即可．
【解答过程】解：A．正数的立方根只有一个，64的立方根是4，该选项错误，不符合题意；
B．负数也有立方根，该选项错误，不符合题意；
C．a也可以等于0，该选项错误，不符合题意；
D．3-27=-3，-327=-3，所以该选项正确，符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（2021春•白云区期末）下列说法正确的是（ ）
A．64的立方根是±364=±4
B．-12是-16的立方根
C．3-27=-327
D．立方根等于它本身的数是0和1
【解题思路】根据立方根的定义分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答过程】解：A、64的立方根是4，故本选项错误；
B、-12不是-16的立方根，故本选项错误；
C、3-27=-3，-327=-3，则3-27=-327正确；
D、立方根等于它本身的数是0和±1，故本选项错误；
故选：C．
【变式1-3】（2020春•闽侯县期中）若有3x+3y=0，则x和y的关系是（ ）
A．x＝y＝0B．x﹣y＝0C．xy＝1D．x+y＝0
【解题思路】根据已知和立方根的性质得出x＝﹣y，即可得出x与y的关系．
【解答过程】解：∵3x+3y=0，
∴3x=-3y，
∴x＝﹣y，
∴x与y的关系是x+y＝0．
故选：D．
【知识点2 开立方】
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
【题型2 开立方的运算】
【例2】（2020秋•滦州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（ ）
A．-32B．32C．﹣2D．2
【解题思路】把﹣512按给出的程序逐步计算即可．
【解答过程】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，
因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2，
﹣2是有理数，所以再取立方根为3-2=-32，
因为-32是无理数，所以输出-32，
故选：A．
【变式2-1】（2021春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ，b＝ ．
【解题思路】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．
【解答过程】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，
∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，
∴a＝﹣2020；
又∵n的平方根是2020和b，
∴b＝﹣2020．
故答案为：﹣2020，﹣2020．
【变式2-2】（2021春•汉阳区期末）已知31-a2=1-a2，则a＝ ．
【解题思路】根据立方根等于它本身的数有0，1，﹣1，列式分别进行计算即可求出a的值．
【解答过程】解：根据题意，一个数的立方根等于它本身，
∴①1﹣a2＝0，
解得a＝±1，
②1﹣a2＝1，
解得a＝0，
③1﹣a2＝﹣1，
解得a＝±2，
综上所述，a＝±1，0，±2．
故答案为：±1，0，±2．
【变式2-3】（2021春•浦东新区校级月考）已知3a=-0.056，a＝106b，那么3b= ．
【解题思路】根据立方根的定义解答可得．
【解答过程】解：因为a＝106b，
所以106b＝a，
所以b＝a÷106，
因为3a=-0.056，
所以a＝（﹣0.056）3＝﹣0.000175616，
所以3b=5.6×10﹣4．
故答案为：5.6×10﹣4．
【题型3 开立方运算中的小数点移动规律】
【例3】（2021春•望城区期末）已知38=2，38000=20，30.008=0.2，则38000000= ．
【解题思路】根据题意得出，当被开三次方数的小数点向左或向右移动3位，立方根的小数点则向左或向右移动1位，求解即可．
【解答过程】解：∵38=2，38000=20，30.008=0.2，
∴38000000=200，
故答案为：200．
【变式3-1】（2021春•重庆月考）若3≈1.732，30≈5.477，31728=12，317.28≈2.585，则300≈ ，31.728= ．
【解题思路】当被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．当被开方数扩大（或缩小）为原来的1000倍，其立方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题．
【解答过程】解：∵3≈1.732，
∴300≈17.32，
∵31728=12，
∴31.728=1.2．
故答案为：17.32，1.2．
【变式3-2】（2021春•天津期中）已知31.12≈1.038，311.2≈2.237，3112≈4.820，则3-11200≈ ．
【解题思路】根据被开方数小数点移3位，开立方后的结果移一位进行计算．
【解答过程】解：∵311.2≈2.237，
∴3-11200≈-22.37．
故答案为：﹣22.37．
【变式3-3】（2019春•海淀区校级月考）已知2.14≈1.463，21.4≈4.626，30.214≈0.5981，32.14≈.289，若x≈46.26，则x＝ ；若3y≈-5.981，则y＝ ．
【解题思路】根据算术平方根的特点：算术平方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，立方根的特点：立方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数向右（或向左）移动3位，然后进行解答即可．
【解答过程】解：∵21.4≈4.626，x≈46.26，
∴x＝2140，
∵30.214≈0.5981，3y≈-5.981，
∴y＝﹣214，
故答案为：2140，﹣214．
【题型4 利用开立方解方程】
【例4】（2021春•连山区月考）（1）已知9（x+1）2＝4，求x的值；
（2）已知8（x﹣1）3=-1258，求x的值．
【解题思路】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解．
【解答过程】解：（1）方程整理得：（x+1）2=49，
开方得：x+1＝±23，
解得：x1=-13，x2=-53；
（2）方程整理得：（x﹣1）3=-12564，
开立方得：x﹣1=-54，
解得：x=-14．
【变式4-1】（2021春•郧西县月考）求x的值：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）9x3+64=x3-(-19)2．
【解题思路】（1）根据平方根的定义解答；
（2）根据立方根的定义解答．
【解答过程】解：（1）（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x＝3或﹣1；
（2）9x3+64=x3-(-19)2，
∴9x3+8＝x3﹣19，
∴9x3﹣x3＝﹣19﹣8，
∴8x3＝﹣27，
∴x3=-278，
∴x=-32．
【变式4-2】（2021春•江汉区期中）求下列各式中x的值：
（1）（x﹣1）2＝4；
（1）14（2x+3）3+2＝0．
【解题思路】（1）根据平方根的意义计算；
（2）根据立方根的意义计算．
【解答过程】解：（1）x﹣1＝2或﹣2，
∴x＝3或一1；
（2）14（2x+3y）3＝﹣2，
∴（2x+3）3＝﹣8，
∴2x+3＝﹣2，
∴x=-52．
【变式4-3】（2021•天宁区校级模拟）32x-1+35x+8=0，则x的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．12D．无选项
【解题思路】根据题意，对原方程变形为32x-1=-35x+8，即可得到有2x﹣1＝﹣5x﹣8，解方程即可得出x的值．
【解答过程】解：32x-1+35x+8=0，
即32x-1=-35x+8，
故有2x﹣1＝﹣5x﹣8
解之得x＝﹣1，
故选：B．
【题型5 平方根与立方根综合】
【例5】（2020春•合川区期末）已知M=5a+2b是9的算术平方根，7a+3b﹣1的平方根为±4，N=3-2a-b，则M+2N的立方根为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【解题思路】根据平方根、算术平方根、立方根的意义a、b的值，再求出M、N的值，进而求出M+2N的立方根即可．
【解答过程】解：∵9的算术平方根是3，
∴M=5a+2b=3，
∴5a+2b＝9，
又∵7a+3b﹣1的平方根为±4，
∴7a+3b﹣1＝16，
∴5a+2b=97a+3b-1=16，
解得a＝﹣7，b＝22，
∴N=3-2a-b=314-22=3-8=-2，
∴M+2N＝3+2×（﹣2）＝3﹣4＝﹣1，
而﹣1的立方根为﹣1，
∴M+2N的立方根为﹣1，
故选：A．
【变式5-1】（2020春•西华县期中）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求a+2b的算术平方根．
【解题思路】利用平方根、立方根性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出所求．
【解答过程】解：由题可知a+9＝（﹣5）2，2b﹣a＝（﹣2）3，
解得：a＝16，b＝4，
∴a+2b=16+24=4+4＝8，8的算术平方根是22，
则a+2b的算术平方根是22．
【变式5-2】（2021春•甘肃期末）如果A=a-2b+3a+3b为a+3b的算术平方根，B=2a-b-11-a2为1﹣a2的立方根，求A+B的平方根．
【解题思路】根据算术平方根以及立方根的定义，A和B的根指数分别是2和3，即可得到一个关于a，b的方程组求得a，b的值，进而得到A、B的值，从而求解．
【解答过程】解：根据题意得：a-2b+3=22a-b-1=3，
解得：a=3b=2，
则A=3+6=9=3，B=31-9=-2，
则A+B＝1，
A+B的平方根是：±1．
【变式5-3】（2021春•渝中区校级期中）已知：a与2b互为相反数，a﹣b的算术平方根是3；
（1）求a、b的值；
（2）若|2a+c|+b-d=0，求c3+d﹣1的立方根．
【解题思路】（1）根据题意列出方程组可得答案；
（2）
【解答过程】解：（1）由题意得：
a+2b=0a-b=9，
解得：a＝6，b＝﹣3．
（2）由非负数的性质可得：
2a+c=0b-d=0，
即12+c=0-3-d=0，
∴c＝12，d＝﹣3．
∴c3+d﹣1＝4﹣3﹣1＝0，
∴c3+d﹣1的立方根是0．
【题型6 立方根的应用】
【例6】（2021春•瑶海区校级期中）已知一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（ ）
A．8 cmB．6 cmC．4 cmD．2 cm
【解题思路】首先确定截去的小正方体的体积，然后再设每个小正方体的棱长为xcm，根据正方体的体积公式可得方程，从而确定边长．
【解答过程】解：截去的8个小正方体的总体积为729﹣665＝64（cm3），则每个小正方体的体积为64÷8＝8（cm3）．
设每个小正方体的棱长为x cm，则x3＝8，
解得x＝2．
【变式6-1】（2020秋•石阡县期末）一个正方体木块的体积是343cm3，现将他锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的木块的表面积是 ．
【解题思路】要先根据正方体的体积求出正方体的棱长，然后进行分割即可解决问题．
【解答过程】解：一个正方体木块的体积是343cm3，则边长为3343=7cm，
现将他锯成8快同样大小的正方体小木块，则每个小正方体木块的边长3.5cm，
每个正方体边长为：3.5cm，其中一个小正方体表面积为6×（3.5）2＝73.5cm2；
故答案为：73.5cm2．
【变式6-2】（2021春•静海区月考）在一个长、宽、高分别为8cm，4cm，2cm的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．
【解题思路】根据长方体的体积计算可得结论；根据正方体的体积等于棱长的立方进行开立方计算可得结论．
【解答过程】解：设正方体容器的棱长为xcm，得
x3＝8×4×2
x3＝64
∴x＝4
答：正方体容器的棱长为4cm．
【变式6-3】（2021春•福州期末）如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．
【解题思路】设原来正方形的边长为xcm，然后根据长方体容积公式列方程计算．
【解答过程】解：∵从四个顶点处分别剪掉一个面积为25 cm2的正方形，
∴剪掉的正方形边长为5 cm，
设原来正方形的边长为xcm，
由题意可得：5（x﹣10）2＝180，
∴（x﹣10）2＝36，
x﹣10＝±6，
解得：x＝16或x＝4（不合题意，舍去），
∴原来正方形的边长为16 cm．