专题6.6 实数章末重难点突破（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

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【考点1 实数的分类】
【例1】（2021秋•鄞州区期中）将下列各数的序号填在相应的集合里．
①π；②227；③3-8；④3.14； ⑤1.6⋅； ⑥0； ⑦﹣3.3030030003…（每两个3之间依次增加一个0）
整数集合：{ ③⑥ …}；
负数集合：{ ③⑦ …}；
无理数集合：{ ①⑦ …}．
【分析】根据有理数进行分类，分数包括小数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，即可得出答案．
【解答】解：3-8=-2，
整数集合：{③⑥…}；
负数集合：{③⑦…}；
无理数集合：{①⑦…}．
故答案为：③⑥；③⑦；①⑦．
【变式1-1】（2021秋•江干区校级期中）用序号将下列各数填入相应的大括号内．
①32，②-1715，③4，④0，⑤-0.9，⑥3.14，⑦-π4，⑧﹣3.1，⑨327．
正整数{ ③，⑨ …}；
负分数{ ②，⑧ …}；
无理数{ ①，⑤，⑦ …}．
【分析】按照实数的分类填写．
【解答】解：4=2，327=3，
正整数 {③，⑨…}，
负分数 {②，⑧…}，
无理数{①，⑤，⑦…}．
故答案为③，⑨；②，⑧；①，⑤，⑦．
【变式1-2】（2021秋•曾都区期中）把下列各数填在相应的集合里：-4，3.5，0，π3，10%，-23，2019，-2.030030003⋯．
正分数集合：{ 3.5，10% …}．
负有理数集合：{ ﹣4，-23 …}．
无理数集合：{ π3，﹣2.030030003••• …}．
非负整数集合：{ 0，2019 …}．
【分析】根据有理数进行分类，分数包括小数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，即可得出答案．
【解答】解：正分数集合：{3.5，10%…}．
负有理数集合：{﹣4，-23⋯}．
无理数集合：{π3，﹣2.030030003•••…}．
非负整数集合：{0，2019…}．
故答案为：3.5，10%；﹣4，-23；π3，﹣2.030030003•••；0，2019．
【变式1-3】（2021秋•连云港月考）把下列各数分别填入相应的集合里．
100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37，-π4，2.010010001…．
正分数集合：{ 3.14，37 …}；
整数集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011 …}；
负有理数集合：{ ﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅ …}；
非正整数集合：{ ﹣2，0，﹣2011 …}；
无理数集合：{ -π4，2.010010001 ……}．
【分析】根据分数，有理数，整数以及无理数的概念进行判断即可．
【解答】解：正分数集合：{3.14，37，…}
整数集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011，…}
负有理数集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅，…}
非正整数集合；{﹣2，0，﹣2011，…}
无理数集合：{-π4，2.010010001…，…}．
故答案为：3.14，37；100，﹣2，0，﹣2011；﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅；﹣2，0，﹣2011；-π4，2.010010001…．
【考点2 实数中的判断正误】
【例2】（2021秋•萧山区期中）下列说法中正确的个数有（ ）
①任何实数都可以表示在数轴上；②81的平方根是±9；③-22a2b3的系数是-23；④若数a由四舍五入法得到近似数为7.30，则数a的范围是：7.25≤a＜7.35；⑤平方根和立方根都等于它本身的数有0和1；⑥22是一个分数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据实数与数轴上的点一一对应判断①；根据算术平方根和平方根的定义判断②；根据单项式的系数判断③；根据近似数的定义判断④；根据平方根和立方根的性质判断⑤；根据无理数的定义判断⑥．
【解答】解：实数与数轴上的点一一对应，故①符合题意；
81=9，9的平方根是±3，故②不符合题意；
这个单项式的系数是-43，故③不符合题意；
若数a由四舍五入法得到近似数为7.30，则数a的范围是：7.295≤a＜7.305，故④不符合题意；
平方根和立方根都等于它本身的数有0，故⑤不符合题意；
22是无理数，故⑥不符合题意；
符合题意的有1个，
故选：A．
【变式2-1】（2021秋•和平区校级期中）下列叙述，不正确的个数有（ ）
①所有的正数都是整数
②|a|一定是正数
③无限小数一定是无理数
④（﹣2）2没有平方根
⑤34=2
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据正数、负数的定义，以及无理数、平方根的定义即可判断．
【解答】解：①所有的正数不一定都是整数，如0.5，原来的说法不正确；
②|a|一定是非负数，原来的说法不正确；
③无限小数不一定是无理数，如0.3⋅，原来的说法不正确；
④（﹣2）2＝4，4的平方根是±2，原来的说法不正确；
⑤4=2，原来的说法不正确．
故选：D．
【变式2-2】（2021秋•西湖区校级期中）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（ ）
①ab＞0；②a2＞b2；③|b﹣c|＝c﹣b；④1a＞1b；⑤3b＞3a
A．①②④B．③④C．②③⑥D．④⑤
【分析】根据数轴上的点表示的数以及大小关系、立方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|．
①由图得：b＜c＜0＜a，得ab＜0，故①不正确．
②由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得a2＜b2，故②不正确．
③由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得b﹣c＜0，故|b﹣c|＝c﹣b，那么③正确．
④由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得1a＞1b，故④正确．
⑤由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得3b＜0，3a＞0，故3b＜3a，那么⑤不正确．
综上：正确的有③④．
故选：B．
【变式2-3】（2021秋•鄞州区期中）已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=-1；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的说法有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】①除0外，互为相反数的商为﹣1，可作判断；
②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a与b都为负数，即2a+3b小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；
③由a﹣b的绝对值等于它的相反数，得到a﹣b为非正数，得到a与b的大小，即可作出判断；
④由a绝对值大于b绝对值，分情况讨论，即可作出判断；
⑤先根据a＜b，得a﹣3＜b﹣3，由ab＜0和有理数乘法法则可得a＜0，b＞0，分情况可作判断．
【解答】解：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=-1，本选项正确；
②若ab＞0，则a与b同号，由a+b＜0，则a＜0，b＜0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，本选项正确；
③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，即|a﹣b|＝﹣（a﹣b），
∴a﹣b≤0，即a≤b，本选项错误；
④若|a|＞|b|，
当a＞0，b＞0时，可得a＞b，即a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；
当a＞0，b＜0时，a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；
当a＜0，b＞0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；
当a＜0，b＜0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数，
本选项正确；
⑤∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，
∵ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
当0＜b＜3时，|a﹣3|＜|b﹣3|，
∴3﹣a＜3﹣b，不符合题意；
所以b≥3，|a﹣3|＜|b﹣3|，
∴3﹣a＜b﹣3，
则a+b＞6，
本选项正确；
则其中正确的有4个，是①②④⑤．
故选：C．
【考点3 实数的运算】
【例3】（2021秋•西湖区校级期中）计算：
（1）（﹣12）+7﹣（﹣8）；
（2）（-12）×（﹣1）2022+327-16．
【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的乘方运算法则以及立方根、算术平方根分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣12+7+8
＝3；
（2）原式=-12×1+3﹣4
=-12+3﹣4
＝﹣112．
【变式3-1】（2021秋•常熟市校级月考）求下列各式中x的取值：
（1）2x2﹣8＝0．
（2）4（2x﹣1）2＝9．
【分析】（1）根据平方根的定义，即可解答；
（2）先把方程进行整理，再利用平方根定义开平方即可求出x的值．
【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，
2x2＝8，
x2＝4，
x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）4（2x﹣1）2＝9，
（2x﹣1）2=94，
2x﹣1=±32，
∴x1=54，x2=-14．
【变式3-2】（2021秋•丰台区校级期中）计算．
（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4；
（2）（﹣2）2﹣|5-3|．
【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则化简，再利用有理数的乘除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4
＝4×5+8÷4
＝20+2
＝22；
（2）（﹣2）2﹣|5-3|
＝4﹣（5-3）
＝4﹣5+3
＝﹣1+3．
【变式3-3】（2021秋•渠县校级期中）解方程：
（1）（x+1）2﹣0.01＝0；
（2）（3x+2）3﹣1=6164．
【分析】（1）根据平方根的定义去求；
（2）根据立方根的定义去求．
【解答】解：（1）∵（x+1）2＝0.01，
∴x+1＝±0.1，
∴x＝﹣0.9或﹣1.1；
（2）∵（3x+2）3=6164+1，
∴（3x+2）3=12564，
∴3x+2=54，
∴x=-14．
【考点4 实数的性质】
【例4】（2021秋•泰兴市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c ＜ 0，a+b ＜ 0，c﹣a ＞ 0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|．
【分析】（1）根据数轴以及有理数的加减运算法则即可得出答案；
（2）根据绝对值的性质化简即可得出答案．
【解答】解：（1）∵b＜c，
∴b﹣c＜0，
∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
∵c＞0，a＜0，
∴c﹣a＞0，
故答案为：＜，＜，＞；
（2）原式＝﹣（b﹣c）﹣（a+b）﹣2（c﹣a）
＝﹣b+c﹣a﹣b﹣2c+2a
＝a﹣2b﹣c．
【变式4-1】（2021秋•牡丹区月考）若a=3，b＝|﹣6|，c=365，则下列关系正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
【分析】根据绝对值、立方根、实数的乘方解决此题．
【解答】解：∵|﹣6|＝6，
∴63＝216．
∵(3)3=27，(365)3=65，
∴27＜65＜216．
∴3＜365＜6．
∴3＜365＜|-6|．
∴a＜c＜b．
故选：D．
【变式4-2】（2021秋•天心区期中）已知三个有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且满足|b|＝|c|．
（1）比较大小：a ＜ 0，b+c ＝ 0，a+c ＜ 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）；
（2）化简：|b|+|a+c|﹣|a|；
（3）计算：a|a|+c|b|+b|c|．
【分析】（1）由数轴可知a＜b＜0＜c；
（2）由数轴可知b＜0，a+c＜0，a＜0，根据绝对值性质去绝对值符号化简可得；
（3）由数轴可得，a＜0，b＜0，c＞0，根据绝对值和除法法则化简可得答案．
【解答】解：（1）由数轴可得，a＜b＜0＜c，|b|＝|c|，
∴a＜0，b+c＝0，a+c＜0，
故答案为：＜，＝，＜；
（2）∵b＜0，a+c＜0，a＜0，
∴|b|+|a+c|﹣|a|
＝﹣b﹣（a+c）+a
＝﹣b﹣c
＝0；
（3）∵a＜0，b＜0，c＞0，
∴a|a|+c|b|+b|c|=-aa-cb+bc=-1+1-1=-1．
【变式4-3】（2021秋•秦淮区期中）已知四个数，a＝﹣22，b＝﹣|﹣2|，c＝﹣（﹣1）100，d＝﹣（﹣3）．
（1）计算a、b、c、d，得a＝ ﹣4 ，b＝ ﹣2 ，c＝ ﹣1 ，d＝ 3 ；
（2）把这四个数在如图所示的数轴上分别表示出来．
（3）用“＜”把a、b、c、d连接起来．
（4）用“＞”把|a|、|b|、|c|、|d|连接起来．
【分析】（1）根据有理数的乘方，绝对值，相反数求出答案即可；
（2）把各个数在数轴上表示出来即可；
（3）根据有理数的大小比较法则比较即可；
（4）求出绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：（1）a＝﹣22＝﹣4，b＝﹣|﹣2|＝﹣2，c＝﹣（﹣1）100＝﹣1，d＝﹣（﹣3）＝3，
故答案为：﹣4，﹣2，﹣1，3；
（2）在数轴上表示为：
；
（3）∵a＝﹣4，b＝﹣2，c＝﹣1，d＝3，
∴a＜b＜c＜d；
（4）|a|＝|﹣4|＝4，|b|＝|﹣2|＝2，|c|＝|﹣1|＝1，|d|＝|3|＝3，
∴|a|＞|d|＞|b|＞|c|．
【考点5 实数中的规律问题】
【例5】（2021秋•洛宁县月考）将1，2，3，6按右侧方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右的第n个数，则（5，4）与（9，4）表示的两数之积是（ ）
A．2B．2C．23D．6
【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数，第三排3个数，第四排4个数，…，第（m﹣1）排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，四个数不断循环，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【解答】解：由题意得：（5，4）表示的数是2，
前8排共有1+2+3+...+8＝36（个），
∵36÷4＝9，
∴第8排最后一个数是6，
∴（9，4）表示的数是6，
∴2×6=12=23，
故选：C．
【变式5-1】（2021春•曾都区期末）观察下列各式：1+112+122=1+11×2；1+122+132=1+12×3；1+132+142=1+13×4；…
请利用你发现的规律计算：1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+120202+120212，其结果为 202020202021 ．
【分析】先根据中所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和．
【解答】解：1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+120202+120212
＝1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯+1+12020×2021
＝2020+1-12+12-13+13-14+⋯+12020-12021
＝2021-12021
=202020202021．
故答案为：202020202021．
【变式5-2】（2021春•忠县期末）我们经过探索知道1+112+122=3222，1+122+132=7262，1+132+142=132122，…，若已知an＝1+1n2+1(n+1)2，则a1+a2+a3+⋯+an= n+nn+1 （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【分析】由1+112+122=3222，1+122+132=7262，1+132+142=132122，…，得1+1n2+1(n+1)2=[n(n+1)+1]2[n(n+1)]2，那么an＝1+1n2+1(n+1)2，故an=n(n+1)+1n(n+1)=1+1n-1n+1，从而解决此题．
【解答】解：∵1+112+122=3222，1+122+132=7262，1+132+142=132122，…，
∴以此类推，1+1n2+1(n+1)2=[n(n+1)+1]2[n(n+1)]2．
∵an＝1+1n2+1(n+1)2，
∴an=n(n+1)+1n(n+1)=1+1n-1n+1．
∴a1=32=1+1-12，a2=76=1+12-13，a3=1312=1+13-14，…，an=n(n+1)+1n(n+1)=1+1n-1n+1．
∴a1+a2+a3+⋯+an=32+76+1312+⋯+n(n+1)+1n(n+1)
＝1+1-12+1+12-13+1+13-14+⋯+1+1n-1n+1
＝n+1-1n+1
＝n+nn+1．
故答案为：n+nn+1．
【变式5-3】（2021秋•福田区校级月考）若[x]表示不超过x的最大整数（如[π]＝3，[﹣223]＝﹣3等），求[12-1×2]+[13-2×3]+…+[12014-2013×2014]的值．
【分析】首先化简1n-n(n-1)，可得1n-n(n-1)=1+1-1n，然后由取整函数的性质，可得：[1n-n(n-1)]=[1+1-1n]=1，则代入原式即可求得结果，注意n是从2开始到2014结束，共有2013个．
【解答】解：∵1n-n(n-1)=1+1-1n，
∴[1n-n(n-1)]=[1+1-1n]=1，
∴[12-1×2]+[13-2×3]+…+[12014-2013×2014]＝1+1+…+1＝2013．
故答案为：2013．
【考点6 实数中的新定义问题】
【例6】（2021春•南湖区校级期中）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b=ba(a≥b)ba+a(a＜b)．根据这个规则，则方程2*x＝12的解为 x=-23或x=10 ．
【分析】分x≤2和x＞2列出对应方程，再进一步解方程求出符合条件的x的值即可得．
【解答】解：①若x≤2，则x2＝12，
解得x=-23或x=23（舍去）；
②若x＞2，则x2+2＝12，
解得x=10或x=-10（舍去）；
综上，x=-23或x=10．
故答案为：x=-23或x=10．
【变式6-1】（2021秋•通川区校级月考）对于不相等的两个实数a、b（a+b≥0），定义一种运算@：a@b=a+ba-b．如4@3=4+34-3，则10@2＝ 34 ．
【分析】原式利用已知的新定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：10@2=10+210-2=128=238=34，
故答案为：34．
【变式6-2】（2021秋•西湖区校级期中）我们定义一种新运算：x⊗y＝xy+x﹣y．
（1）求2⊗（﹣4）的值；
（2）若代数式2⊗[x⊗k]的值与x无关，求实数k的值．
【分析】（1）根据x⊗y＝xy+x﹣y，用2与﹣4的积加上2减去﹣4，求出2⊗（﹣4）的值是多少即可；
（2）根据x⊗y＝xy+x﹣y，先写出2⊗[x⊗k]的代数式形式，并合并同类项，再根据代数式与x无关，可知x的系数为0，由此可求出k的值．
【解答】解：（1）2⊗（﹣4）
＝2×（﹣4）+2﹣（﹣4）
＝﹣8+2+4
＝﹣2；
（2）由题意可知，x⊗y＝xk+x﹣k，
∴2⊗[x⊗k]＝2⊗（xk+x﹣k）
＝2（xk+x﹣k）+2﹣（xk+x﹣k）
＝2xk+2x﹣2k+2﹣xk﹣x+k
＝xk+x﹣k+2
＝x（k+1）﹣k+2，
∵代数式2⊗[x⊗k]的值与x无关，
∴k+1＝0，
∴k＝﹣1．
【变式6-3】（2021秋•建宁县期中）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
（1）计算：3※（﹣2）；
（2）若2※m=3，求m的值，并在所给的数轴上表示出m（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可；
（2）根据新定义运算列方程求解即可．
【解答】解：（1）3※（﹣2）
＝（3）2×（﹣2）-3×（﹣2）﹣3×（﹣2）
＝﹣6+23+6
＝23；
（2）由于2※m=3，
因此有22×m﹣2m﹣3m=3，
解得m=-3，
如图所示：点P即为所求．
【知识点4 算术平方根的双重非负性】
1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2、性质：
（1）

（2）

【考点7 实数中算术平方根的双重非负性】
【例7】（2021秋•渠县校级期中）若实数a，b满足a+1+(a+b)2=0，则代数式a2020+b2021＝ 2 ．
【分析】根据二次根式的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘方解决此题．
【解答】解：∵a+1≥0，（a+b）2≥0，
∴当a+1+(a+b)2=0，则a+1＝0，a+b＝0．
∴a＝﹣b＝﹣1．
∴b＝1．
∴a2020+b2021＝（﹣1）2020+12021＝1+1＝2．
故答案为：2．
【变式7-1】（2021秋•北碚区校级月考）已知x为实数，且3x-3-32x+1=0，则x2+x﹣3的算术平方根为（ ）
A．3B．2C．3和﹣3D．2和﹣2
【分析】根据立方根、算术平方根解决此题．
【解答】解：∵3x-3-32x+1=0，
∴3x-3=32x+1．
∴x﹣3＝2x+1．
∴x＝﹣4．
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．
∴x2+x﹣3的算术平方根为9=3．
故选：A．
【变式7-2】（2021秋•苏州期中）已知2x+y-2与（x﹣y+3）2互为相反数，求x2y的平方根．
【分析】根据互为相反数两数之和为0列出关系式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值．
【解答】解：∵2x+y-2与（x﹣y+3）2互为相反数，
∴2x+y-2+（x﹣y+3）2＝0，
又∵2x+y-2≥0，（x﹣y+3）2≥0，
∴2x+y-2=0x-y+3=0，
解得x=-13y=83．
∴x2y=(-13)2×83=827，
∴x2y的平方根为±827=±269．
【变式7-3】（2021•东兴区校级开学）（1）已知x，y，z满足2y+z+|x﹣y|+z2﹣z+14=0，求2x﹣y+z的算术平方根．
（2）已知实数a，b，c满足：b=-(a-3)2+4，c的平方根等于它本身．求a+b-c的值．
【分析】（1）利用非负数的性质得出x，y，z的值，代入计算即可得出答案；
（2）根据平方根的定义先求出a、b、c的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：（1）∵2y+z+|x﹣y|+z2﹣z+14=0，
∴2y+z+|x﹣y|+(z-12)2=0，
又∵2y+z≥0，|x﹣y|≥0，(z-12)2≥0，
∴2y+z＝0，x﹣y＝0，z-12=0，
解得：x=-14，y=-14，z=12，
则2x﹣y+z＝2×（-14）﹣（-14）+12=14．
所以2x﹣y+z的算术平方根12；
（2）∵﹣（a﹣3）2≥0，
∴a＝3，
把a代b=-(a-3)2+4得：b＝4，
∵c的平方根等于它本身，
∴c＝0，
∴a+b-c=3+4=5．
【考点8 实数中的估算】
【例8】（2021秋•雁塔区校级月考）若6-13的整数部分为x，小数部分为y，则x﹣y的值是（ ）
A．﹣2+13B．﹣2-13C．2+13D．2-13
【分析】先估算13的大小，再估算6-13的大小，可得x和y的值，代入x﹣y中可得答案．
【解答】解：∵3＜13＜4，
∴﹣4＜-13＜-3，
∴2＜6-13＜3，
∴6-13的整数部分为2，小数部分为4-13，
∴x＝2，y＝4-13，
∴x﹣y＝2﹣（4-13）=13-2．
故选：A．
【变式8-1】（2021春•梁山县期末）已知2+6的小数部分为a，3-6的小数部分为b，则a+b＝ 1 ．
【分析】通过对6的估算确定2+6和3-6的取值范围，从而求得a和b的值，然后代入计算．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜6＜3，﹣3＜-6＜-2，
∴4＜2+6＜5，0＜3-6＜1，
∴a＝2+6-4=6-2，b＝3-6，
∴a+b=6-2+3-6=1，
故答案为：1．
【变式8-2】（2021秋•朝阳区期中）因为1＜3＜4，即1＜3＜2，所以3的整数部分为1，小数部分为3-1．类比以上推理解答下列问题：
（1）求11的整数部分和小数部分．
（2）若m是11-11的小数部分，n是11+11的小数部分，且（x+1）2＝m+n，求x的值．
【分析】（1）根据阅读材料知，11的整数部分是3，然后再去求其小数部分；
（2）仿照例子，找出整数部分和小数部分后即可得出m+n的值，代入（x+1）2＝m+n中，解方程即可．
【解答】解：（1）∵9＜11＜16，即3＜11＜4，
∴11的整数部分为3，小数部分为11-3，
（2）∵11-11小数部分是m，11+11小数部分是n，
∴m=11-11-7=4-11，n=11+11-14=11-3，
∴m+n＝4-11+11-3＝1，
∵（x+1）2＝m+n＝1，
∴x+1＝±1．
解得x＝﹣2或x＝0．
【变式8-3】（2021秋•西湖区校级期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：
（1）23的整数部分是 4 ，小数部分是 23-4 ；
（2）如果7的小数部分为a，17的整数部分为b，求a+b-7的值；
（3）已知10+7=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
【分析】（1）估算得到所求整数部分与小数部分即可；
（2）根据题意确定出a与b，代入原式计算即可得到结果；
（3）根据题意确定出x与y，即可求出所求．
【解答】解：（1）∵16＜23＜25，
∴4＜23＜5，
∴23的整数部分是4，小数部分是23-4；
故答案为：4，23-4；
（2）∵4＜7＜9，
∴2＜7＜3，即a=7-2，
∵16＜17＜25，
∴4＜17＜5，即b＝4，
则a+b-7=7-2+4-7=2；
（3）根据题意得：2＜7＜3，
∴x＝12，y=7-2，
∴x﹣y＝12﹣（7-2）＝14-7．