专题7.1 认识不等式-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

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【知识点 认识不等式】
定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.
【题型1 不等式的概念及意义】
【例1】（2021春•杏花岭区校级月考）下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解题思路】主要依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解答过程】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个．
故选：C．
【变式1-1】（2021春•密山市期末）数学表达式中：①a2≥0 ②5p﹣6q＜0 ③x﹣6＝1 ④7x+8y⑤﹣1＜0 ⑥x≠3不等式是 ①②⑤⑥ （填序号）．
【解题思路】主要依据不等式的定义──用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来进行判断．
【解答过程】解：在①a2≥0 ②5p﹣6q＜0 ③x﹣6＝1 ④7x+8y⑤﹣1＜0 ⑥x≠3中，除③x﹣6＝1、④7x+8y之外，式子都含不等号，是不等式，共4个，为①②⑤⑥．
【变式1-2】（2021秋•上城区校级期中）选用适当的不等号填空：-10 ＜ ﹣π，﹣x2 ≤ 0，﹣9 ＜ |a+8|，（a﹣1）2 ≥ ﹣2（a﹣1）2．
【解题思路】根据正数一定大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可作出判断．
【解答过程】解：∵10＞π，
∴-10＜-π，
∵x2≥0，
∴﹣x2≤0，
∵任何数的绝对值都大于等于0，
∴﹣9＜|a+8|，
∴（a﹣1）2≥﹣2（a﹣1）2．
故答案为：＞，≤，＜，≥．
【变式1-3】（2021春•太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于500人
B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人
D．两种客车总的载客量恰好等于500人
【解题思路】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解答过程】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于500人，
故选：A．
【题型2 取值是否满足不等式】
【例2】（2021春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有 4 个．
【解题思路】代入不等式看是否满足不等式确定个数即可．
【解答过程】解：将各个数值代入不等式后发现
满足x＜12的有﹣2、﹣1.5、﹣1、0共4个，
故答案为：4．
【变式2-1】（2021春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．
（1）0满足这个不等式： x＜1 ；
（2）﹣2，﹣1，0，1都满足该不等式： x＜2 ；
（3）0不满足这个不等式： x＜0 ；
【解题思路】根据不等式的定义，即可解答．
【解答过程】解：（1）x＜1，（答案不唯一）
（2）x＜2，（答案不唯一）
（3）x＜0，（答案不唯一）
故答案为：（1）x＜1，（2）x＜2，（3）x＜0．
【变式2-2】（2021春•武侯区期末）下列不等式中，对任何有理数都成立的是（ ）
A．x﹣3＞0B．|x+1|＞0C．（x+5）2＞0D．﹣（x﹣5）2≤0
【解题思路】代入特殊值，对以下选项进行一一验证即可．
【解答过程】解：A、当x＝3时，x﹣3＝0，所以该不等式不成立；故本选项错误；
B、当x＝﹣1时，|x+1|＝0，所以该不等式不成立；故本选项错误；
C、当x＝﹣5时，（x+5）2＝0，所以该不等式不成立；故本选项错误；
D、因为（x﹣5）2≥0，所以无论x取何值都有﹣（x﹣5）2≤0，所以该不等式成立．故本选项正确；
故选：D．
【变式2-3】（2021春•和平区期末）已知x≥5的最小值为a，x≤﹣7的最大值为b，则ab＝ ﹣35 ．
【解题思路】解答此题首先根据已知得出理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．
【解答过程】解：因为x≥5的最小值是a，a＝5；
x≤﹣7的最大值是b，则b＝﹣7；
则ab＝5×（﹣7）＝﹣35．
故答案为：﹣35．
【题型3 不等式的简单应用】
【例3】（2021春•江西期末）按商品质量规定：商店出售的标明500g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5g，设实际克数是xg，则x应满足的不等式是 495≤x≤505 ．
【解题思路】根据正负数的定义，可得答案．
【解答过程】解：由题意，得
x应满足的不等式是495≤x≤505，
故答案为：495≤x≤505．
【变式3-1】（2021•城步县模拟）用适当的符号表示下列关系：
（1）x的13与x的2倍的和是非正数；
（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
（4）明天下雨的可能性不小于70%；
（5）小明的身体不比小刚轻．
【解题思路】（1）非正数用“≤”表示；
（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；
（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；
（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示．
【解答过程】解：（1）13x+2x≤0；
（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；
（4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；
（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有a≥b．
【变式3-2】（2021春•乳山市期末）生物兴趣小组在同一温箱里培育甲、乙两种菌种，如果甲菌种生长温度x℃的范围是34≤x≤37，乙菌种生长温度y℃的范围是33≤y≤35．那么温箱里应设置温度T℃的范围是（ ）
A．34≤T≤37B．34≤T≤35C．33≤T≤35D．35≤T≤37
【解题思路】根据x，y的取值范围，进而得出公共部分求出T的取值范围即可．
【解答过程】解：∵甲菌种生长温度x℃的范围是34≤x≤37，乙菌种生长温度y℃的范围是33≤y≤35，
∴温箱里应设置温度T℃的范围是：34≤T≤35．
故选：B．
【变式3-3】（2021春•新罗区校级月考）一种药品的说明书上写着：“每日用量120～180mg，分3～4次服完．”一次服用这种药的剂量在什么范围？
【解题思路】用120÷3，120÷4得到每天服用120mg时3次或4次每次的剂量；180÷3，180÷4即可得到每天服用180mg时3次或4次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量即可．
【解答过程】解：∵120÷3＝40，120÷4＝30，180÷3＝60，180÷4＝45，
∴若每天服用3次，则所需剂量为40﹣60mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为30﹣45mg之间，
∴一次服用这种药的剂量为30﹣60mg之间．
【题型4 在数轴上表示不等式】
【例4】（2021秋•余杭区期中）在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．
（1）写出a所满足的不等式；
（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？
【解题思路】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．
【解答过程】解：（1）根据题意得：|a﹣1|＜3，
得出﹣2＜a＜4，
（2）由（1）得：到点B的距离小于3的数在﹣2和4之间，
∴在﹣3，0，4三个数中，只有0所对应的点到B点的距离小于3．
【变式4-1】（2021秋•湖州期中）在数轴上表示下列不等式：
（1）x＞2
（2）﹣2＜x≤1．
【解题思路】根据不等式在数轴上表示方法可画出图示．
【解答过程】解：（1）将x＞2表示在数轴上如下：
（2）将﹣2＜x≤1表示在数轴上如下：
【变式4-2】（2021•利州区模拟）已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．
（1）n﹣m ＜ 0；
（2）m+n ＜ 0；
（3）m﹣n ＞ 0；
（4）n+1 ＜ 0；
（5）m•n ＜ 0；
（6）m+1 ＞ 0．
【解题思路】了解数轴上数的表示方法：原点右边的是正数，原点左边的是负数，右边的总比左边的数大．根据有理数的运算法则判断结果的符号．
同号的两个数相加，取原来的符号；异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号；两个数相减的时候，如果被减数大，则差大于0，否则，差小于0；同号的两个数相乘，积为正数；异号的两个数相乘，积为负数．
【解答过程】解：（1）因为n＜0，m＞0，所以n﹣m＜0；
（2）因为n＜0、m＞0，且|n|＞1、|m|＜1，所以m+n＜0；
（3）因为n＜0，m＞0，所以m﹣n＞0；
（4）因为n＜0，|n|＞1，所以n+1＜0；
（5）因为n＜0，m＞0，所以m•n＜0；
（6）因为0＜m＜1，所以m+1＞0．
【变式4-3】（2021秋•滨江区期末）在数轴上表示不等式-6＜x≤3和x的下列取值：-4，-3，-1.5，0，2，412，并利用数轴说明，x的这些取值中，哪些满足不等式-6＜x≤3，哪些不满足？
【解题思路】根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x的下列值：-4，-3，-1.5，0，2，412，在数轴上表示出来，这些值如果在解集范围内则表示满足不等式，否则就是不满足不等式．
【解答过程】解：作图如下：

根据上图可知：x的这些取值中，-3，-1.5，0，2满足不等式，-4，412不满足不等式．