专题9.2 分式的运算-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

这是一份专题9.2 分式的运算-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版），共18页。

【知识点1 分式的加减】
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：；
②异分母分式的加法：。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
【题型1 分式的加减】
【例1】（2021春•盐城月考）化简：
（1）aa-b+bb-a；
（2）x2-4x2-4x+4-4xx2-2x．
【分析】（1）先通分再进行加减，即可得出答案；
（2）先化简再进行加减，即可得出答案．
【解答】解：（1）原式=a-ba-b=1；
（2）原式=(x-2)(x+2)(x-2)2-4xx(x-2)=x+2-4x-2=x-2x-2=1．
【变式1-1】当m＞﹣3时，比较m+2m+3与m+3m+4的大小．
【分析】根据比较大小若a﹣b＞0，则a＞b，若a﹣b＜0，则a＜b，m+2m+3-m+3m+4得-1(m+3)(m+4)，由已知m＞﹣3，则可得（m+3）＞0，m+4＞1，（m+3）（m+4）＞0，即可得出答案．
【解答】解：m+2m+3-m+3m+4
=(m+2)(m+4)(m+3)(m+4)-(m+3)(m+3)(m+3)(m+4)
=m2+6m+8-(m2+6m+9)(m+3)(m+4)
=-1(m+3)(m+4)，
∵m＞﹣3，
∴m+3＞0，m+4＞1，
∴（m+3）（m+4）＞0，
∴-1(m+3)(m+4)＜0，
∴m+2m+3＜m+3m+4．
【变式1-2】（2021•乐山）已知Ax-1-B2-x=2x-6(x-1)(x-2)，求A、B的值．
【分析】根据异分母分式的加减法法则把等式的左边进行计算，根据题意列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：Ax-1-B2-x=A(x-2)+B(x-1)(x-1)(x-2)=(A+B)x-2A-B(x-1)(x-2)=2x-6(x-1)(x-2)，
∴A+B=2-2A-B=-6，
解得A=4B=-2．
【变式1-3】（2021春•河南期末）若a＞0，M=aa+1，N=a+1a+2
（1）当a＝1时，M＝ 12 ，N＝ 23 ；当a＝3时，M＝ 34 ，N＝ 45 ；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）利用求差法比较M与N的大小关系，根据分式的加减法运算法则进行计算，最后判断其正负．
【解答】解：（1）当a＝1时，M=aa+1=11+1=12，N=a+1a+2=1+11+2=23，
当a＝3时，M=aa+1=33+1=34，N=a+1a+2=3+13+2=45，
故答案为：12，23，34，45；
（2）M＜N，理由是：
M﹣N=aa+1-a+1a+2，
=a(a+2)-(a+1)2(a+1)(a+2)，
=-1(a+1)(a+2)，
∵a＞0，
∴（a+1）（a+2）＞0，
∴-1(a+1)(a+2)＜0，
即M﹣N＜0，
∴M＜N．
【题型2 分式与整式的混合运算 】
【例2】（2021•嘉兴一模）计算x2x+2-x+2时，两位同学的解法如下：
（1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”．
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【分析】（1）根据添括号法则判断解法一，根据提取公因式的方法判断解法二；
（2）原式进行通分，然后再根据同分母分式加减法运算法则进行计算或者将原式通过提取公因式进行变形，然后结合乘法公式进行化简计算．
【解答】解：（1）解法一有错误，
解法一的做法相当于添括号，括号前面是负号，括号内的各项要改变符号，
∴原式=x2x+2-x-21，
解法二的做法相当于提取公因式，
∴原式=x2x+2-(x-2)
=1x+2[x2-(x+2)(x-2)]，
∴解法二正确，
（2）选择解法一：
原式=x2x+2-x-21
=x2x+2-(x+2)(x-2)x+2
=x2-x2+4x+2
=4x+2；
选择解法二：
原式=x2x+2-(x-2)
=1x+2[x2-(x+2)(x-2)]，
=1x+2⋅[x2-(x2-4)]
=x2-x2+4x+2
=4x+2．
【变式2-1】（2021•梧州）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+x3-4x2x2．
【分析】将所求式子用完全平方公式、单项式乘多项式、分式加减法依次运算，然后再合并同类项即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+x3-4x2x2
＝x2﹣4x+4﹣x2+x+x﹣4
＝﹣2x．
【变式2-2】（2021秋•昌平区期中）阅读下列材料，然后回答问题．
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：32=1+12，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：x+1x-2，x2x+2这样的分式是假分式；1x-2，xx2-1这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：x+1x-2=(x-2)+3x-2=1+3x-2，
x2x+2=(x+2)(x-2)+4x+2=x-2+4x+2．
解决下列问题：
（1）将分式x-2x+3化为整式与真分式的和的形式；
（2）如果分式x2+2xx+3的值为整数，求x的整数值．
【分析】（1）原式利用阅读材料中的方法变形为整式和真分式之和即可；
（2）原式利用阅读材料中的方法变形为整式和真分式之和，根据原式的值为整数，得到真分式为整数0，即可确定出x的整数值．
【解答】解：（1）原式=x+3-5x+3=1-5x+3；
（2）原式=x2+3x-xx+3
＝x-xx+3
＝x-x+3-3x+3
＝x﹣1+3x+3，
∵原式的值为整数，且x为整数，
∴3x+3为整数，即x+3＝±1或x+3＝±3，
则x＝﹣2或﹣4或0或﹣6．
【变式2-3】（2021春•玄武区期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x2-2x+3x-1=x(x-1)+x-2x+3x-1=x+-(x-1)+2x-1=x﹣1+2x-1，这样，分式就拆分成一个分式2x-1与一个整式x﹣1的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）假分式x+6x+4可化为带分式 1+2x+4 形式；
（2）利用分离常数法，求分式2x2+5x2+1的取值范围；
（3）若分式5x2+9x-3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+1n-6，则m2+n2+mn的最小值为 27 ．
【分析】（1）按照阅读材料方法，把x+6x+4变形即可；
（2）用分离常数法，把原式化为2+3x2+1，由0＜3x2+1≤3即可得答案；
（3）用分离常数法，把原式化为5x﹣1-1x+2，根据已知用x的代数式表示m、n和m2+n2+mn，配方即可得答案．
【解答】解：（1）x+6x+4=(x+4)+2x+4=1+2x+4，
故答案为：1+2x+4；
（2）2x2+5x2+1=2(x2+1)+3x2+1=2+3x2+1，
∵x2+1≥1，
∴0＜3x2+1≤3，
∴2＜2x2+5x2+1≤5；
（3）∵5x2+9x-3x+2=5x(x+2)-(x+2)-1x+2=5x﹣1-1x+2，
而分式5x2+9x-3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+1n-6，
∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），
∴m＝x+2，n＝﹣x+4，
∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，
而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+27≥27，
∴当x＝1时，m2+n2+mn最小值是27．
故答案为：27．
【知识点2 分式的混合运算】
1.乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
2.除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4.分式的混合运算：与实数运算类似，分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减，有括号时，先算括号里面的，并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时，可以把整式视为分母为1的分式，以免通分漏项。
【题型3 分式的混合运算】
【例3】（2021秋•莱芜区期中）计算：
（1）b-ab÷(a-bab)2+（ab﹣b2）•(aa-b)2；
（2）（3x-1-x﹣1）÷x-2x2-2x+1．
【分析】（1）先根据分式的乘方算乘方，再根据分式的乘法和除法法则进行计算，最后根据分式的加法法则进行计算即可；
（2）先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）原式=-(a-b)b•a2b2(a-b)2+b（a﹣b）•a2(a-b)2
=-a2ba-b+a2ba-b
＝0；
（2）原式=3-(x+1)(x-1)x-1•(x-1)2x-2
=-x2+4x-1•(x-1)2x-2
=-(x+2)(x-2)x-1•(x-1)2x-2
＝﹣（x+2）（x﹣1）
＝﹣（x2+x﹣2）
＝﹣x2﹣x+2．
【变式3-1】（2021•榆阳区模拟）化简：（3x-1-x﹣1）÷x2-4x+4x-1．
【分析】根据分式的减法和除法法则可以解答本题．
【解答】解：（3x-1-x﹣1）÷x2-4x+4x-1
＝[3x-1-(x+1)(x-1)x-1]•x-1(x-2)2
=3-x2+1x-1•x-1(x-2)2
=(2+x)(2-x)(x-2)2
=2+x2-x．
【变式3-2】（2021•南京）计算(ab2+ab-2a+b+ba2+ab)÷a-bab．
【分析】根据分式的加减法和除法可以解答本题．
【解答】解：(ab2+ab-2a+b+ba2+ab)÷a-bab
＝[ab(a+b)-2a+b+ba(a+b)]⋅aba-b
=a2-2ab+b2ab(a+b)⋅aba-b
=(a-b)2ab(a+b)⋅aba-b
=a-ba+b．
【变式3-3】（2021•宛城区二模）复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用手遮住了原题目的一部分，如图：
（﹣a+1）÷a2+4a+4a+1=-a-2a+2
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于3吗？请说明理由．
【分析】（1）根据被除式＝商×除式，其中的一个加式＝和﹣另一个加式，列出表示被遮挡部分的算式，然后根据分式混合运算的运算顺序和计算法则进行计算；
（2）根据原式值为3列出分式方程求解，然后结合分式有意义的条件进行分析判断．
【解答】解：（1）被遮挡部分可表示为：
-a-2a+2⋅a2+4a+4a+1+a﹣1
=-a-2a+2⋅(a+2)2a+1+a﹣1
=-(a-2)(a+2)a+1+(a-1)(a+1)a+1
=-a2+4+a2-1a+1
=3a+1，
∴被遮挡部分的代数式为3a+1，
（2）不能，理由如下：
当原式的值为3时，
-a-2a+2=3，
解得：a＝﹣1，
经检验：a＝﹣1是分式方程的解，
又∵a+2≠0，a+1≠0，
∴a≠﹣2且a≠﹣1，
∴原式的值不能为3．
【题型4 分式的规律问题】
【例4】（2021•安徽三模）观察下列不等式：
①122＜11×2；
②132＜12×3；
③142＜13×4；
④152＜14×5；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个不等式： 172＜16×7 ；
（2）写出你猜想的第n个不等式： 1(n+1)2＜1n(n+1) （用含n的等式表示）；
（3）比较n+2(n+1)2和1n的大小．
【分析】（1）观察以上规律，写出第6个不等式即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出第n个不等式即可；
（3）利用作差法计算可再结合n大于0得结论．
【解答】解：（1）根据规律可得第6个不等式为：172＜16×7，
故答案为：172＜16×7；
（2）根据规律可得第n个不等式为：1(n+1)2＜1n(n+1)，
故答案为：1(n+1)2＜1n(n+1)；
（3）∵n+2(n+1)2-1n=n(n+2)n(n+1)2-(n+1)2n(n+1)2=-1n(n+1)2＜0，
∴n+2(n+1)2＜1n．
【变式4-1】（2020春•温江区期末）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2=11-S1，S3=11-S2，S4=11-S3，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝ a+1 ．
【分析】根据题意可得S2=11-S1=-1a，S3=11-S2=aa+1，S4=11-S3=a+1，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得S2020的值．
【解答】解：∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），
∴S2=11-S1=-1a，
S3=11-S2=aa+1，
S4=11-S3=a+1，
…，
∴3个一循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴S2020＝a+1．
故答案为：a+1．
【变式4-2】（2021春•玄武区校级期中）如果记f（x）=x21+x2，并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）=121+12=12，f（12）表示当x=12时y的值，即f（12）=(12)21+(12)2=15．
（1）f（6）＝ 3637 ；f（14）＝ 117 ；
（2）f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n+1）+f（1n+1）＝ 12+n ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
【分析】（1）把x＝6和x=14代入f（x）=x21+x2中计算即可；
（2）利用f（n）+f（1n）＝1进行计算．
【解答】解：（1）f（6）=621+62=3637；
f（14）=(14)21+(14)2=117；
（2）f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n+1）+f（1n+1）＝f（1）+[f（2）+f（12）]+[f（3）+f（13）]+…+[f（n+1）+f（1n+1）]
=12+1×n
=12+n．
故答案为3637；117；12+n．
【变式4-3】（2020秋•海港区期中）观察下列各式：
第一式：11×2=1-12；
第二式：12×3=12-13；
第三式：13×4=13-14；
…
（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n式： 1n×(n+1)=1n-1n+1 ；
（2）求和：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯1(x+2015)(x+2016)；
（3）已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，求ba(a+1)+b(a+1)(a+2)+⋯+b(a+9)(a+10)的值．
【分析】（1）直接根据给出的例子找出规律即可；
（2）根据（1）中的规律直接计算即可；
（3）先根据相反数的定义求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵第一式11×2=1-12，第二式12×3=12-13，第三式13×4=13-14，
∴第n式1n×(n+1)=1n-1n+1．
故答案为：1n×(n+1)=1n-1n+1；
（2）原式=1x-1x+1+1x+1-1x+2+⋯+1x+2015-1x+2016
=1x-1x+2016
=x+2016x(x+2016)-xx(x+2016)
=2016x(x+2016)；
（3）∵a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，
∴a2﹣6a+9+|b﹣1|＝0，即（a﹣3）2+|b﹣1|＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴原式=13×(3+1)+1(3+1)(3+2)+⋯+1(3+9)(3+10)
=13-14+14-15+⋯+112-113
=13-113
=1039．
【知识点3 整数指数幂的运算】
1.整数负指数幂：。
2.若，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则。据此，可解决某些条件求值问题。
【题型5 整数指数幂的运算】
【例5】（2020秋•海淀区校级期中）1(-0.3)-1÷|52-（﹣1+154）|+|﹣5|×（-225÷[﹣（2）3]）×（-14）．
【分析】根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可得出答案．
【解答】解：原式=-310÷|52+1-154|+5×[-45÷（﹣8）]×（-14）
=-310÷14+5×110×（-14）
=-65-18
=-5340．
【变式5-1】（2021春•江都区期中）已知a＝﹣3﹣2，b＝（-13）﹣2，c＝（-13）0，比较a、b、c的大小，并用“＜”号连接起来： a＜c＜b ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣3﹣2=-19，b＝（-13）﹣2＝9，c＝（-13）0＝1，
∴a＜c＜b．
故答案为：a＜c＜b．
【变式5-2】（2020春•江都区月考）a﹣p=1ap（a≠0），即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数．例：4﹣2=142．
（1）计算：5﹣2＝ 125 ；（﹣2）﹣2＝ 14 ；
（2）如果2﹣p=18，那么p＝ 3 ；如果a﹣2=116，那么a＝ ±4 ；
（3）如果a﹣p=136，且a、p为整数，求满足条件的a、p的取值．
【分析】（1）根据负整数指数幂的计算法则计算即可求解；
（2）根据负整数指数幂的计算法则找到指数即可求解；
（3）根据负整数指数幂的计算法则找到底数和指数即可求解．
【解答】解：（1）5﹣2=125；（﹣2）﹣2=14，
故答案为：125；14；
（2）如果2﹣p=18，那么p＝3；
如果a﹣2=116，那么a＝±4，
故答案为：3；±4；
（3）由于a、p为整数，
所以当a＝36时，p＝1；
当a＝6时，p＝2；
当a＝﹣6时，p＝2．
【变式5-3】（2021春•盐都区月考）（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式（2x+3）x+2020＝1成立的x的值．
【分析】（1）首先把负整数指数的幂化为11111，然后进行比较，即可得出答案；
（2）等式的值为1，可以是非零数的0次幂，也可以是1的任何次方，也可以是﹣1的偶次幂，分别计算即可．
【解答】解：（1）a＞c＞b，理由如下：
a＝（2﹣4）11111＝（124）11111＝（116）11111，
b＝（3﹣3）11111＝（133）11111＝（127）11111，
c＝（5﹣2）11111＝（152）11111＝（125）11111，
∵116＞125＞127，
∴（116）11111＞（125）11111＞（127）11111，
∴a＞c＞b；
（2）当x+2020＝0时，x＝﹣2020，此时2x+3＝﹣4037≠0，符合题意；
当2x+3＝1时，x＝﹣1，符合题意；
当2x+3＝﹣1时，x＝﹣2，此时x+2020＝2018，符合题意．
综上所述，x＝﹣2或﹣1或﹣2020．
【题型6 分式的化简与求值】
【例6】（2021秋•泰兴市期中）先化简，再求值：a+4a2-4÷(4a+2-a-2)，其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后把a2﹣2a＝1代入，即可求出答案．
【解答】解：a+4a2-4÷(4a+2-a-2)
=a+4a2-4÷4-(a+2)2a+2
=a+4(a+2)(a-2)•a+2-a2-4a
=a+4(a+2)(a-2)•a+2-a(a+4)
=-1a(a-2)
=-1a2-2a，
∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
当a2﹣2a＝1时，原式=-11=-1．
【变式6-1】设有理数a，b，c都不为零，且a+b+c＝0，则1a2+b2-c2+1b2+c2-a2+1c2+a2-b2的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．不能确定
【分析】根据完全平方公式得到b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，代入计算，得到答案．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴（a+b+c）2＝0，
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，
∴a2+b2﹣c2+2c2+2ab+2ac+2bc＝0，
∴a2+b2﹣c2+2c（c+a+b）+2ab＝0，
∴a2+b2﹣c2＝﹣2ab，
同理可得，b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，
则原式=1-2ab+1-2ac+1-2bc=c+a+b-2abc=0，
故选：C．
【变式6-2】（2021•潍城区二模）先化简，再求值：（x2-1x2-2x+1-11-x ）÷（x+2-x2-2x-1），其中x是不等式组4(2x-1)≤3x+62x+1＞x-12的整数解．
【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后解不等式求出x的值，最后将x的值代入化简后的式子即可求出答案．
【解答】解：原式＝[(x+1)(x-1)(x-1)2+x+1(x-1)(x+1)]÷[(x-1)(x+2)x-1-x2-2x-1]
＝（x+1x-1+1x-1）÷（x2+x-2x-1-x2-2x-1）
=x+2x-1÷xx-1
=x+2x-1•x-1x
=x+2x，
由4(2x-1)≤3x+62x+1＞x-12，
解得：﹣1＜x≤2，
∵x是整数，
∴x＝0，1，2，
由分式有意义的条件可知：x不能取0，1，
故x＝2，
∴原式=2+22=2．
【变式6-3】（2021春•万山区期末）求值：
（1）已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝4．求xy的值；
（2）已知x+1x=3，求x4+1x4的值．
【分析】（1）根据完全平方公式将两式分别展开，然后两式相减求得4xy的值，从而求出xy的值；
（2）将等式两边同时平方可得x2+1x2的值，然后再利用完全平方公式的变形求解．
【解答】解：（1）由（x+y）2＝9可得x2+2xy+y2＝9①，
由（x﹣y）2＝4可得x2﹣2xy+y2＝4②，
①﹣②，可得：4xy＝5，
∴xy=54；
（2）将x+1x=3两边同时平方，可得：
（x+1x）2＝9，
∴x2+2+1x2=9，
即x2+1x2=7，
将x2+1x2=7两边同时平方，可得：
（x2+1x2）2＝49，
∴x4+2+1x4=49，
即x4+1x4=47． 解法一：x2x+2-x+2
=x2x+2-x+21=x2x+2-(x+2)2x+2
解法二：x2x+2-x+2
=1x+2[x2-(x-2)(x+2)]