专题10.1 相交线-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

这是一份专题10.1 相交线-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版），共18页。

【知识点1 对顶角与邻补角】
1.对顶角
①定义一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
②对顶角的性质：对顶角相等.
2.邻补角
①定义有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.
②邻补角的性质：邻补角互补.
【题型1 对顶角与邻补角的性质】
【例1】（2021春•甘井子区期末）如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（ ）
A．∠1＝72°B．∠2＝120°C．∠3＝144°D．∠4＝36°
【分析】先用∠1表示∠3，再根据平角定义得∠1的度数，然后根据对顶角和邻补角得其它几个角的度数可得答案．
【解答】解：∵2∠3＝3∠1，
∴∠3=32∠1，
∵∠3+∠1＝180°，
∴32∠1+∠1＝180°，
∴∠1＝72°，
∴∠3＝∠2＝180°﹣72°＝108°，
∠1＝∠4＝72°，
故选：A．
【变式1-1】（2021春•松江区期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（ ）
A．150°B．180°C．210°D．120°
【分析】根据对顶角相等和周角的定义求三个角的和．
【解答】解：∵∠COF与∠DOE是对顶角，
∴∠COF＝∠DOE，
∴∠AOE+∠DOB+∠COF＝∠AOE+∠DOB+∠COF=12×360°＝180°．
故选：B．
【变式1-2】（2021春•雨花区校级期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【分析】根据对顶角、邻补角的概念和性质进行判断即可．
【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°．
故选：B．
【变式1-3】（2021春•莱阳市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝78°，∠DOF：∠AOD＝1：2，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．48°
【分析】设∠DOF＝x，根据邻补角的概念用x表示出∠BOF，根据角平分线的定义求出∠FOE，根据题意列式求出x，根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：设∠DOF＝x，则∠AOD＝2x，
∴∠AOF＝3x，
∴∠BOF＝180°﹣3x，
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE=12∠BOF＝90°-32x，
∵∠DOE＝78°，
∴∠DOF+∠FOE＝78°，
即x+90°-32x＝78°，
解得：x＝24°，
则∠AOD＝2x＝48°，
∴∠BOC＝∠AOD＝48°，
故选：D．
【知识点2 垂线】
①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线 互相垂直.
②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线.
③它们的交点叫做 垂足.
④垂线的性质：
性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.
【题型2 垂线的唯一性及画法】
【例2】（2021春•围场县期末）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过P可画直线垂直于lB．过Q可画直线l的垂线
C．连接PQ使PQ⊥lD．过Q可画直线与l垂直
【分析】直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．
【解答】解：A、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过P可画直线垂直于l，正确，不合题意；
B、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过Q可画直线l的垂线，正确，不合题意；
C、连接PQ不能保证PQ⊥l，故错误，符合题意；
D、∵Q为l外一点，∴可以过Q可画直线与l垂直，正确，不合题意；
故选：C．
【变式2-1】（2021春•西城区校级期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．
【解答】解：根据分析可得D的画法正确，
故选：D．
【变式2-2】（2021春•讷河市期末）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【分析】根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断．
【解答】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条，
故选：B．
【变式2-3】（2021春•沈阳月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
【分析】利用垂线的性质解答．
【解答】解：如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：C．
【题型3 垂线段最短】
【例3】（2021春•白碱滩区期末）直线l外有一点P，直线l上有三点A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（ ）
A．不小于2cmB．大于2cmC．不大于2cmD．小于2cm
【分析】由点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，由垂线段最短可知点P到直线l的距离不大于2cm，进而求解．
【解答】解：∵PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，
∴PB最短，
∵直线外一点与直线上点的连线中，垂线段最短，
∴P到直线l的距离不大于2cm，
故选：C．
【变式3-1】（2021春•济阳区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积=12•AB•PC=12•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【变式3-2】（2020秋•海淀区校级期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，那么体育陈老师测量小明同学的体育成绩，应该选取线段 CD 的长度，其依据是 垂线段最短 ．
【分析】利用垂线段最短及跳远比赛的规则即可求解．
【解答】解：小明同学的体育成绩，应该选取线段CD的长度．依据为：垂线段最短．
故答案为：CD，垂线段最短．
【变式3-3】（2020秋•通州区期末）如图，点A在直线m上，点B在直线l上，点A到直线l的距离为a，点B到直线m的距离为b，线段AB的长度为c，通过测量等方法可以判断在a，b，c三个数据中，最大的是 c ．
【分析】根据垂线段的性质，即可得到AC＜AB，BD＜AB，进而得出a＜c，b＜c．
【解答】解：如图所示，∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴AC＜AB，BD＜AB，
即a＜c，b＜c，
∴在a，b，c三个数据中，最大的是c，
故答案为：c．
【知识点3 点到直线的距离】
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【题型4 点到直线的距离】
【例4】（2021春•锦江区校级期末）如图，∠ACD＝90°，CE⊥AB，垂足为E，则下面的结论中，不正确的是（ ）
A．点C到AB的垂线段是线段CD
B．CD与AC互相垂直
C．AB与CE互相垂直
D．线段CD的长度是点D到AC的距离
【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵CE⊥AB，
∴点C到AB的垂线段是线段CE，原说法错误，故本选项符合题意；
B、∵∠ACD＝90°，
∴CD⊥AC，
即CD与AC互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；
C、∵CE⊥AB，垂足为E，
∴AB与CE互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、∵∠ACD＝90°，
∴CD⊥AC，
∴线段CD的长度是点D到AC的距离，原说法正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式4-1】（2021春•饶平县校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有（ ）
①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，故①正确；
AC与DC相交不垂直，故②错误；
点A到BC的垂线段是线段AC，故③错误；
点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；
线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；
线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑥正确．
故选：B．
【变式4-2】（2020春•思明区校级期末）如图，AC⊥BF，CD⊥AB于点D，点E在线段BF上，则下列说法错误的是（ ）
A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离
B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离
C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离
D．线段BE的长度是点B到直线CD的距离
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【解答】解：A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离，故本选项正确；
B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离，故本选项正确；
C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离，故本选项正确；
D．线段BD的长度是点B到直线CD的距离，故本选项错误；
故选：D．
【变式4-3】（2021春•潜山市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列结论正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③点A到直线BD的距离为线段AB的长度；④点B到直线AC的距离为125．
【分析】①根据垂直的定义即可求解；
②根据余角的性质即可求解；
③根据点到直线的距离的定义即可求解；
④根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：①∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，故①正确；
②∵∠ABD+∠A＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠C＝∠ABD，故②正确；
③点A到直线BD的距离为线段AD的长度，故③错误；
④点B到直线AC的距离为12×3×4×2÷5=125，故④正确．
故答案为：①②④．
【知识点4 三线八角】
1.同位角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角.
2.内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角.
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角
【题型5 三线八角】
【例5】（2021春•郯城县期末）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠2和∠4B．∠6和∠4C．∠2和∠6D．∠6和∠3
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．
根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可．
【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，
故选：C．
【变式5-1】（2021春•长白县期中）如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是 （填序号）．
【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【解答】解：①∠A与∠1是同位角，此结论正确；
②∠A与∠B是同旁内角，此结论正确；
③∠4与∠1是内错角，此结论正确；
④∠1与∠3不是同位角，原来的结论错误；
故答案为：①②③．
【变式5-2】（2021春•连山区月考）如图，直线EF交AB于G，交CD于M．
（1）图中有多少对对顶角；
（2）图中有多少对邻补角；
（3）图中有多少对同位角；
（4）图中有多少对同旁内角；
（5）写出图中的内错角．
【分析】（1）根据对顶角的概念即可得到答案；（2）根据邻补角的概念即可得到答案；（3）根据同位角的概念即可得到答案；（4）根据同旁内角的概念即可得到答案；（5）根据内错角的概念可得答案．
【解答】解：（1）图中4对对顶角；
（2）图中12对邻补角；
（3）图中有8对同位角；
（4）图中有4对同旁内角；
（5）图中内错角有：∠AGF和∠GMD，∠CMG和∠MGB，∠CMG和∠MGH，∠NMG和∠MGB，∠NMG和∠MGH．
【变式5-3】（2021秋•崇川区校级期末）复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．
（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角．
（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有 对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
【分析】根据同旁内角的定义，结合图形确定同旁内角的对数．
【解答】解：因为两个交点可以形成2对同旁内角，而三个交点形成的同旁内角的对数为6对，
（1）直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了2对同旁内角．
（2）平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有3×2＝6对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，最多可以形成4×（4﹣1）×（4﹣2）＝24对同旁内角．
（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成n（n﹣1）（n﹣2）对同旁内角
故答案为：（1）2；（2）6；（3）24；（4）n（n﹣1）（n﹣2）
【题型6 相交线中的角度计算】
【例6】（2021秋•双阳区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O．
（1）写出∠AOF的一个余角和一个补角．
（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数．
（3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由．
【分析】（1）由垂直定义的∠FOC＝∠FOD＝90°，再根据平角定义推得，余角的定义得结论；
（2）根据角平分线的定义，对顶角相等求出∠AOD的度数；
（3）根据等角的余角相等得出结论．
【解答】解：（1）∵OF⊥CD，
∴∠FOC＝∠FOD＝90°，
∵∠AOF+∠FOC+COB＝180°，
∴∠AOF+∠COB＝90°，
∴∠COB是∠AOF的余角；
∴∠BOF是∠AOF的补角；
（2）∵OC平分∠BOE，∠BOE＝60°，
∴∠BOC＝∠EOC=12∠BOE＝30°，
∴∠AOD＝∠BOC＝30°，
（3）相等，
∵∠AOD+∠AOF＝∠EOF+∠EOC＝90°，
∠BOC＝∠EOC，∠AOD＝∠BOC，
∴∠∠AOF＝∠EOF．
【变式6-1】（2020秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．
（1）如图1：
①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ 40° °；
②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ∠DOF＝2∠AOE ．
【分析】（1）①先利用平角求出∠BOF，再利用角平分线的定义求出∠FOC即可，
②设∠AOE＝x，然后按照①的思路表示∠DOF即可；
（2）设∠AOE＝y，然后按照上题的思路表示∠DOF即可．
【解答】解：（1）①∵∠EOF＝90°，∠AOE＝20°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝70°，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝140°，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝40°，
故答案为：40°，
②∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝x，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣x，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2x，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2x，
∴∠DOF＝2∠AOE；
（2）∠DOF＝2∠AOE，
理由是：设∠AOE＝y，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣y，
∵OB平分∠COF，
∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2y，
∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2y，
∴∠DOF＝2∠AOE．
【变式6-2】（2021秋•南岗区校级月考）已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE．

（1）如图1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数．
（2）如图2，当射线OC在直线AB下方时，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数．
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE内部作射线OM，使∠COM+1710∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠BOM的度数．
【分析】（1）根据垂直的概念求得∠COE＝90°，然后根据角的和差列式计算；
（2）根据邻补角的概念求得∠AOE的度数，然后根据角平分线的概念求得∠EOF的度数，从而利用角的和差列式计算求解；
（3）设∠BOM＝x°，然后根据角的和差及倍数关系列方程求解．
【解答】解：（1）∵OC⊥OE，
∴∠COE＝90°，
又∵∠COA＝34°，
∴∠BOE＝180°﹣∠COE﹣∠COA＝180°﹣90°﹣34°＝56°，
答：∠BOE的度数为56°；
（2）∵OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，
∴∠EOF＝∠AOF=12∠AOE=12（180°﹣∠BOE）=12×（180°﹣130°）＝25°，
∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝90°﹣25°＝65°，
答：∠COF的度数为65°；
（3）设∠BOM＝x°，
∴∠FOM＝180°﹣∠AOF﹣∠BOM＝（155﹣x）°，
∵∠AOE＝180°﹣∠BOE＝50°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOE＝40°，
∴∠COM＝180°+∠AOC﹣∠BOM＝（220﹣x）°，
由题意可得：（220﹣x）°+1710×50°＝2x°+（155﹣x）°，
解得：x＝75，
答：∠BOM的度数为75°．
【变式6-3】（2020秋•滨海县期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，过点O在直线AB下方作射线OD，使OD⊥OC，作∠AOC的角平分线OM，求∠MOD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数．
【分析】（1）根据补角的概念即可得出答案；
（2）先根据角平分线求出∠AOM的大小，再根据余角的概念求出∠AOD的大小，即可求出∠MOD的大小；
（3）分OP在直线AB的上方和下方两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣110°＝70°；
（2）由（1）知∠AOC＝70°，
∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝20°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠AOM=12∠AOC=12×70°＝35°，
∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝35°+20°＝55°；
（3）由（2）知∠AOM＝35°，
∵∠BOP与∠AOM互余，
∴∠BOP+∠AOM＝90°，
∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝90°﹣35°＝55°，
①当射线OP在∠BOC内部时，
∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝110°﹣55°＝55°，
②当射线OP在∠BOC外部时，
∠COP＝∠BOC+∠BOP＝110°+55°＝165°，
综上所述，∠COP的度数为55°或165°．