专题10.9 相交线、平行线与平移章末测试卷（拔尖卷）（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

这是一份专题10.9 相交线、平行线与平移章末测试卷（拔尖卷）（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版），共26页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021春•陆河县校级期末）如图，P为直线l外一点，点A，B，C在直线l上，且PB⊥l，垂足为B，∠APC＝90°，则下列语句错误（ ）
A．线段PB的长叫做点P到直线l的距离
B．线段AC的长叫做点C到直线AP的距离
C．PA、PB、PC三条线段中，PB是最短的
D．线段PA的长叫做点A到直线PC的距离
【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”和“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”进行判断，即可解答．
【解答】解：A、线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，故原说法正确，故A选项不符合题意；
B、线段PC的长度叫做点C到直线AP的距离，故原说法错误，故A选项符合题意；
C、PA、PB、PC三条线段中，PB最短，故原说法正确，故C选项不符合题意；
D、线段PA的长叫做点A到直线PC的距离，故原说法正确，故D选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）（2021春•金寨县期末）已知1条直线将平面分割为2个区域，2条直线两两相交最多可将平面分割成4个区域，则10条直线两两相交最多可将平面分割成的区域的个数为（ ）
A．53B．54C．55D．56
【分析】先分别求得3条、4条直线两两相交最多可将平面分割成的区域个数，总结规律，进而求解．
【解答】解：1条直线，将平面分为两个区域；
2条直线，较之前增加1条直线，增加1个交点，增加了2个平面区域；
3条直线，与之前两条直线均相交，增加2个交点，增加了3个平面区域；
4条直线，与之前三条直线均相交，增加3个交点，增加了4个平面区域；
…
n条直线，与之前n﹣1条直线均相交，增加n﹣1个交点，增加n个平面区域；
所以n条直线分平面的总数为2+（2+3+4+5+6+7+8+…n）＝1+（1+2+3+4+5+6+7+8+…n）＝1+n(n+1)2=n2+n+22，
把n＝10代入得有56个区域．
故选：D．
3．（3分）（2021春•方城县期末）如图所示，将直角三角形ABC（∠C＝90°）沿CB方向平移CF的长度后，得到直角三角形DEF．已知DG＝4，CF＝6，AC＝10，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．60B．50C．40D．30
【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，CF＝6，
∴AD∥BE，AD＝BE＝6，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴四边形ABED的面积＝BE×AC＝6×10＝60．
故选：A．
4．（3分）（2021秋•城阳区期末）如图，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，点G是AB上的一点，若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列结论错误的是（ ）
A．∠AFB＝81°B．∠E＝54°C．AD∥BCD．BE∥FG
【分析】根据题目中的条件和平行线的判定方法，可以推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，故选项C正确，不符合题意；
∴∠DAE＝∠CFE，
∵∠CFE＝∠EBF+∠BEF，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，
∴∠CFE＝3∠EBF＝81°，∠BEF＝54°，故选项B正确，不符合题意；
∴∠AFB＝∠CFE＝81°，故选项A正确，不符合题意；
∵∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，
∴∠AFG＝44°，
∵∠E＝54°，
∴∠AFG≠∠E，
∴BE和FG不平行，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
5．（3分）（2021秋•玉林期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：
①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．
其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
【分析】由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确；
由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断，②确；
由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确；
由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
而∠AOE＝∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．
故选：B．
6．（3分）（2021秋•余姚市期中）木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，
∴∠ABE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，
∴AC∥DF，
故A不符合题意；
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°，
∴∠CBE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，
∴AC∥DF，
故B不符合题意；
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，
∴∠DEM＝70°﹣20°＝50°＝∠ABE，
∴AC∥DF，
故C不符合题意；
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°，
∴木条b和木条c重合，AC与DF不平行，
故D符合题意．
故选：D．
7．（3分）（2020秋•石狮市期末）已知∠α的两边分别平行于∠β的两边．若∠α＝60°，则∠β的大小为（ ）
A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°
【分析】根据题意画图如图（1），根据平行线性质两直线平行，同位角相等，即可得出∠α＝∠1＝∠β，即可得出答案，如图（2）根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，∠α+∠2＝180°，再根据两直线平行，内错角相等，∠2＝∠β，即可得出答案．
【解答】解：如图1，
∵a∥b，
∴∠1＝∠α，
∵c∥d，
∴∠β＝∠1＝∠α＝60°；
如图（2），
∵a∥b，
∴∠α+∠2＝180°，
∵c∥d，
∴∠2＝∠β，
∴∠β+∠α＝180°，
∵∠α＝60°，
∴∠β＝120°．
综上，∠β＝60°或120°．
故选：D．
8．（3分）（2021秋•宝安区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为（ ）
A．2αB．2βC．α+βD．54（α+β）
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠APE＝∠CAP＝α，∠BPE＝∠DBP＝β，然后相加即可得解．
【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝α，
∴∠APE＝∠CAP＝α，
∵BD∥EF，∠DBP＝β，
∴∠BPE＝∠DBP＝β，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝α+β．
故选：C．
9．（3分）（2021春•崇川区校级月考）如图，已知AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）
A．∠α+∠β﹣∠γ＝90°B．∠α+∠β+∠γ＝180°
C．∠β＝∠α+∠γD．∠β+∠γ﹣∠α＝90°
【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β＝∠C+∠γ，可求得答案．
【解答】解：如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠α＝∠BCM，∠MCD＝∠NDC，∠NDE＝∠γ，
∴∠α+∠β＝∠BCM+∠CDN+∠NDE＝∠BCM+∠MCD+∠γ，
又BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∴∠α+∠β＝90°+∠γ，
即∠α+∠β﹣∠γ＝90°，
故选：A．
10．（3分）（2021春•汉川市期末）如图，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD和∠ECD的角平分线交于点P．下列三个结论：
①AB∥CD；②∠AOC=12∠EAD+∠ECD；③若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D＝80°．
其中结论正确的个数有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】①根据平行线的性质与判定即可判断；②∠AOC＝∠EAP+∠E，而∠EAP==12∠EAD，∠E＝∠ECD，即可判断；③利用平行线的性质和角平分线定义即可判断．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180，
∴AB∥CD，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠E，
∵AP平分∠EAD，
∴∠EAP=12∠EAD
∵∠AOC＝∠EAP+∠E，
∴∠AOC=12∠EAD+∠ECD，故②正确；
∴∠ECD＝∠E＝60，
∵CP平分∠ECD，
∴∠ECP=12∠ECD＝30°，
∵∠APC＝70°，∠AOE＝∠COP，
∴∠EAP＝40°，
∵AP平分∠EAD，
∴∠EAD＝2∠EAP＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠EAD＝80°，故③正确；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020秋•钱塘区期末）平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角对数为c，则2a+b﹣c的值是 1 ．
【分析】根据题意得到b＝1；a＝10；c＝20，代入代数式2a+b﹣c，即可得到结论．
【解答】解：根据题意可得：5条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，
即b＝1；
任意两直线相交都产生一个交点时，交点最多，
∴此时交点为：5×（5﹣1）÷2＝10，
即a＝10；
最多对顶角对数为c，
即c＝5×（5﹣1）＝20，
则2a+b﹣c＝2×10+1﹣20＝1．
故答案为：1．
12．（3分）（2021秋•虎林市期末）已知三条射线OA、OB、OC，OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3，∠BOC的度数为 30°或150° ．
【分析】先根据垂直的定义得到∠AOC＝90°，再利用∠AOB：∠AOC＝2：3可计算出∠AOB＝60°，然后分类讨论：当OB在∠AOC内部，则∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB；当OB在∠AOC外部，则∠BOC＝∠AOC+∠AOB．
【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOB：∠AOC＝2：3，
∴∠AOB=23×90°＝60°，
当OB在∠AOC内部，则∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°；
当OB在∠AOC外部，则∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝90°+60°＝150°．
故答案为30°或150°．
13．（3分）（2021秋•平阳县期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝40°时，点H，D，B在同一直线上，则∠H的度数是 110° ．
【分析】过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI＝30°，根据平角的定义可求∠ADB＝25°，根据直角三角形的性质可求∠ABH＝65°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H＝115°．
【解答】解：过D点作DI∥EF，如图，
∵∠F＝150°，
∴∠FDI＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣90°﹣30°﹣40°＝20°，
∴∠ABH＝90°﹣20°＝70°．
∵GH∥AB，
∴∠H＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
14．（3分）（2021秋•南岗区校级月考）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥EF，且∠GOB＝20°，∠AOC＝40°，则∠COE＝ 30 °．
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOD＝36°，利用垂直定义可得∠COG＝90°，然后再计算出∠AOG的度数即可．
【解答】解：∵AB、CD、EF相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），
∵∠AOC＝40°（已知），
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，
∵OG⊥EF（已知），
∴∠EOG＝90°（垂直的定义），
∵∠GOB＝20°，
即∠COE+∠GOB+∠BOD＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠GOB﹣∠BOD＝90°﹣20°﹣40°＝30．
故答案为：30．
15．（3分）（2021秋•卧龙区期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，点C为直角顶点，边AB和边DE所在的直线交于点P．若固定三角板ABC不动，改变三角板CDE的位置（其中点C位置始终不变），则当∠APD的度数为 120°或60° 时，DE∥AC．
【分析】分两种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定，即可得到当∠APD等于135°或45°时，CE∥AB．
【解答】解：分两种情况①如图1所示，当DE∥AC时，∠APD+∠A＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°；
②如图2所示，当DE∥AC时，∠APD＝∠BAC＝60°，
综上所述，当∠APD等于120°或60°时，CE∥AB．
故答案为120°或60°．
16．（3分）（2021春•青羊区期末）如图AB∥DE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝ 92° ．
【分析】过P作DE的平行线，设∠ABF＝∠CBF＝y，∠EDP＝∠CDP＝x，由一组平行内错角和一个猪蹄型平行列出等量关系可得答案．
【解答】解：过P作DE的平行线PQ，过D作AB的平行线DH，设∠ABF＝∠CBF＝y，∠EDP＝∠CDP＝x，
∵PQ∥AB
∴∠QPB＝∠ABF＝y，
∵PQ∥DE，∠BPD＝44°
∴∠EDP＝∠QPD＝44°+y＝x，
∴x﹣y＝44°，
过C作DE的平行线CG，
∵CG∥AB∥DE
∴∠ABC＝∠BCG，∠CDH＝∠GCD，
∴∠BCD＝∠BCG+∠GCD＝∠ABC+∠CDH＝2y+（180°﹣2x）＝180°﹣44°×2＝92°，
故答案为92°
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2021春•高邮市期中）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
（1）画出△A′B′C′；
（2）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是 平行且相等 ；
（3）△ABC的面积是 7.5 ．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质，画出A、B、C的对应点即可；
（2）根据平移的性质进行判断；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积和一个小正方形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所求；
（2）如图，AA′＝CC′，AA′∥CC′；
故答案为平行且相等；
（3）△ABC的面积＝5×5-12×4×1-12×4×1﹣1-12×5×5＝7.5．
故答案为7.5．
18．（6分）（2021秋•揭西县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）由已知可证得∠2＝∠FAC，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB＝∠BDC；
（2）根据角平分线的定义得到∠FAD＝2∠FAC，即∠FAD＝2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD．
【解答】（1）证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠FAC＝∠2，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠BDC；
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，
由（1）知∠FAC＝∠2，
∴∠FAD＝2∠2，
∴∠2=12∠FAD，
∵∠FAD＝80°，
∴∠2=12×80°＝40°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．
19．（8分）（2021秋•南京期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝37°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．
（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发 20或32 分钟．
【分析】（1）根据题意可求得∠EOF＝53°，再由角平分线的定义可得∠AOE＝106°，从而可求∠EOB的度数；
（2）先求解∠FOD＝143°，设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，根据题意列方程，解方程可求解即可；
（3）设两射线同时出发t分钟后，∠FOD＝33°，分两种情况列方程，计算可求解．
【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝37°，
∴∠EOF＝90°﹣37°＝53°．
∵OF 平分∠AOE，
∴∠AOE＝53°×2＝106°．
∴∠EOB＝180°﹣106°＝74°．
（2）∵∠COD＝180°，∠COE＝90°，
∴∠EOD＝90°．
∴∠FOD＝90°+53°＝143°．
设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，依题意得：6x﹣0.5x＝143，
解得：x＝26．
答：26分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．
（3）由（2）可知，开始时∠FOD＝143°，
设两射线同时出发t分钟后，∠FOD＝33°，
当射线OF与射线OD第一次重合前，由题意得6t+33＝143+0.5t，
解得t＝20；
当射线OF与射线OD第一次重合后，由题意得6t＝143+33+0.5t，
解得t＝32，
综上，两条射线同时出发20或32分钟后，∠FOD＝33°．
故答案为：20或32．
20．（8分）（2021秋•永春县期末）如图，已知AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的任意一点．锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F．CD与FB交于点N．
（1）当∠ECD＝60°和∠ABE＝100°时，求∠F的度数；
（2）若BF∥CE，∠F＝α，求∠ABE的度数（用含α的代数式表示）．
【分析】（1）过点F作FH//CD，由角平分线的定义可得∠DCM＝∠ECM＝30°，∠ABN＝∠EBN＝50°°，∠NCF＝30°，由平行的传递可得，FH∥AB，所以∠HFB＝∠ABN＝50°，∠HFC＝∠FCN＝30°，则∠BFC＝20°．
（2）由BF∥CE，可得∠ECM＝∠BFM＝α，所以∠DCE＝∠DNB＝2α，因为AB∥CD所以∠ABN＝∠BNC＝2α，结合角平分线的性质可知，∠ABE＝4α．
【解答】解：如图，过点F作FH//CD，
∵锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F，∠ECD＝60°，∠ABE＝100°，
∴∠DCM＝∠ECM＝30°，∠ABN＝∠EBN＝50°°，
∴∠NCF＝30°，
∵AB∥CD，FH//CD，
∴FH∥AB，
∴∠HFB＝∠ABN＝50°，∠HFC＝∠FCN＝30°，
∴∠BFC＝20°．
（2）如图，
∵BF∥CE，
∴∠ECM＝∠BFM＝α，
∴∠DCE＝∠DNB＝2α，
∵AB∥CD
∴∠ABN＝∠BNC＝2α，
∴∠ABE＝4α．
21．（8分）（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
【分析】（1）由补角的定义可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求∠COE的度数，再利用平角的定义可求解；
（2）可分两种情况：当OF在∠BOC内部时，当OF在∠AOD内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可；
（3）在AB⊥CD，且OF与OB重合的时候，∠EOF可以和∠DOE互补．
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝70°，
∵∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；
（2）∠EOF=12x或∠EOF＝180°-12x．
当OF在∠BOC内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝（90-12x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90-12x）°=12x°，
即∠EOF=12x；
当OF在∠AOD内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝（90-12x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°+∠COE＝90°+（90-12x）°＝（180-12x）°，
即∠EOF＝180°-12x．
综上所述：∠EOF=12x或∠EOF＝180°-12x；
（3）∠EOF可能和∠DOE互补．
当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC＝∠BOD＝90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12BOC＝45°，
即∠EOF＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°+45°＝135°，
∴∠EOF+∠DOE＝180°，
即∠EOF和∠DOE互补．
22．（8分）（2021秋•黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，从而得EF∥CD，由平行线的性质可得∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，从而可求解；
（2）过点E作EH//AB，由平行线的性质可得∠FAD＝∠ADC＝60°，再由角平分线的定义得∠EDC＝30°，从而可求∠ABE＝20°，则可求∠BED的度数；
（3）过点E作EG//AB，由角平分线的定义得∠ABE=12∠ABC=12β，∠CDE=12∠ADC=12α，再由平行线的性质得到AB//CD//EG，从而可求得∠BED．
【解答】解：（1）成立，
理由：如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；
（2）如图2，过点E作EH//AB，
∵AB//CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴∠EDC=12∠ADC=30°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABE=12∠ABC=20°，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
（3）如图3，过点E作EG//AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，
∴∠ABE=12∠ABC=12β，∠CDE=12∠ADC=12α，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EG，
∴∠BEG=180°-∠ABE=180°-12β，∠CDE=∠DEG=12α，
∴∠BED=∠BEG+∠DEG=180°-12β+12α．
23．（8分）（2021秋•朝阳区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）若∠1＝25°，则∠2的度数为 65° ；
（2）直接写出∠1与∠3的数量关系： ∠1＝∠3 ；
（3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系： ∠2+∠ACB＝180° ；
（4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值 30°或45°或120°或135°或165° ．
【分析】（1）结合图可知∠1+∠2＝90°，从而可求解；
（2）利用∠ACD＝∠BCE＝90°，从而可求得∠1＝∠3；
（3）结合图形可得∠ACB＝∠1+∠2+∠3，则可求解；
（4）分5种情况进行讨论：①BC∥AD；②BE∥AC；③AD∥CE；④BE∥CD；⑤BE∥AD，结合平行线的判定与性质进行求解即可．
【解答】解：（1）∵∠1＝25°，∠ACD＝90°，
∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝65°，
故答案为：65°；
（2）∵∠1+∠2＝∠ACD＝90°，∠2+∠3＝∠BCE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，
故答案为：∠1＝∠3；
（3）∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠2
＝∠1+∠2+∠3+∠2
＝∠ACD+∠BCE
＝180°，
即∠2+∠ACB＝180°，
故答案为：∠2+∠ACB＝180°；
（4）存在，
①当BC∥AD时，
∵BC∥AD，
∴∠BCD＝∠D＝30°，
∴∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°；
②当BE∥AC时，如图，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°；
③当AD∥CE时，如图，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
④当BE∥CD时，如图，
∵BE∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°；
⑤当BE∥AD时，如图，
过点C作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝30°+45°＝75°，
∴∠ACE＝90°+75°＝165°．
综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°或165°时，有一组边互相平行．
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°．