专题四 三角函数与解三角形-2024五年高考题分类训练（数学）

这是一份专题四 三角函数与解三角形-2024五年高考题分类训练（数学），共38页。试卷主要包含了选择题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。

题组
一、选择题
1. [2023新高考卷Ⅱ，5分]已知α 为锐角，cs α=1+54 ，则sin α2= ( D )
A. 3-58 B. -1+58 C. 3-54 D. -1+54
[解析]cs α=1+54=1-2sin2α2 ，得sin2α2=3-58=6-2516=5-142 ，又α 为锐角，所以sinα2>0 ，所以sinα2=-1+54 ，故选D .
2. [2023新高考卷Ⅰ，5分]已知sinα-β=13 ，cs αsin β=16 ，则cs2α+2β= ( B )
A. 79 B. 19 C. -19 D. -79
[解析]依题意，得sin αcs β-cs αsin β=13,cs αsin β=16, 所以sin αcs β=12 ，所以sinα+β=sin αcs β+cs αsin β=12+16=23 ，所以cs2α+2β=1-2sin2α+β=1-2×232=19 ，故选B .
3. [2022新高考卷Ⅱ，5分]若sinα+β+csα+β=22csα+π4sin β ，则( C )
A. tanα-β=1 B. tanα+β=1 C. tanα-β=-1 D. tanα+β=-1
[解析]sin α+β+cs α+β=2sin α+β+π4=22sin β⋅cs α+π4 ，所以sinα+π4cs β+sin βcsα+π4=2sin βcs α+π4 ，整理得sinα+π4cs β-sin βcsα+π4=0 ，即sinα+π4-β=0 ，所以α-β+π4=kπ ，k∈Z ，所以tanα-β=tankπ-π4=-1 .
4. [2021新高考卷Ⅰ，5分]若tan θ=-2 ,则sin θ1+sin 2θsin θ+cs θ= ( C )
A. -65 B. -25 C. 25 D. 65
[解析]解法一 因为tan θ=-2 ，所以sin θ1+sin 2θsin θ+cs θ=sin θsin θ+cs θ2sin θ+cs θ=sin θsin θ+cs θ=sin2θ+sin θcs θsin2θ+cs2θ=tan2θ+tan θ1+tan2θ=4-21+4=25 .故选C .
解法二 因为tan θ=-2 ，所以角θ 的终边在第二、四象限，（提示：根据正切值的正负，确定角θ 可能所在的象限）
所以sin θ=25,cs θ=-15 或sin θ=-25,cs θ=15, 所以sin θ1+sin 2θsin θ+cs θ=sin θsin θ+cs θ2sin θ+cs θ=sin θsin θ+cs θ=sin2θ+sin θcs θ=45-25=25 .故选C .
5. [2021全国卷乙，5分]cs2π12-cs25π12= ( D )
A. 12 B. 33 C. 22 D. 32
[解析]因为cs5π12=sinπ2-5π12=sinπ12 ，（注意到π12+5π12=π2 ，所以可灵活运用诱导公式化为同角）
所以cs2π12-cs25π12=cs2π12-sin2π12=cs2×π12=csπ6=32 .故选D .
6. [2021全国卷甲，5分]若α∈0,π2 ,tan 2α=cs α2-sin α ,则tan α= ( A )
A. 1515 B. 55 C. 53 D. 153
[解析]因为tan 2α=sin 2αcs 2α=2sin αcs α1-2sin2α ，且tan 2α=cs α2-sin α ，所以2sin αcs α1-2sin2α=cs α2-sin α ，由α∈0,π2 得cs α≠0 ，解得sin α=14 ，cs α=154 ，tan α=sin αcs α=1515 .故选A ．
7. [2020全国卷Ⅱ，5分]若α 为第四象限角，则( D )
A. cs 2α>0 B. cs 2α<0 C. sin 2α>0 D. sin 2α<0
[解析]由题意，知-π2+2kπ<α<2kπk∈Z ，所以-π+4kπ<2α<4kπk∈Z ，所以cs 2α≤0 或cs 2α>0 ，sin 2α<0 ，故选D ．
【速解】 当α=-π4 时，cs 2α=0 ，sin 2α=-1 ，排除A，B，C，故选D．
8. [2020全国卷Ⅲ，5分]已知2tan θ-tanθ+π4=7 ,则tan θ= ( D )
A. -2 B. -1 C. 1D. 2
[解析]由已知得2tan θ-tan θ+11-tan θ=7 ，得tan θ=2 .
9. [2020全国卷Ⅰ，5分]已知α∈0,π ,且3cs 2α-8cs α=5 ,则sin α= ( A )
A. 53 B. 23 C. 13 D. 59
[解析]∵3cs 2α-8cs α=5 ,∴32cs2α-1-8cs α=5 ,∴6cs2α-8cs α-8=0 ，∴3cs2α-4cs α-4=0 ,解得cs α=2 （舍去）或cs α=-23 ．∵α∈0,π ，∴sin α=1-cs2α=53 ．故选A
10. [2019全国卷Ⅰ，5分]tan 255∘= ( D )
A. -2-3 B. -2+3 C. 2-3 D. 2+3
[解析]tan 255∘=tan180∘+75∘=tan 75∘=tan30∘+45∘=33+11-33=2+3 ，故选D .
11. [2019全国卷Ⅱ，5分]已知α∈0,π2 ，2sin 2α=cs 2α+1 ，则sin α= ( B )
A. 15 B. 55 C. 33 D. 255
[解析]由2sin 2α=cs 2α+1 ，得4sin αcs α=1-2sin2α+1 ，即2sin αcs α=1-sin2α ．因为α∈0,π2 ，所以cs α=1-sin2α ，所以2sin α1-sin2α=1-sin2α ，解得sin α=55 ，故选B ．
二、填空题
12. [2023全国卷乙，5分]若θ∈0,π2 ,tan θ=12 ,则sin θ-cs θ= -55 .
[解析]由tan θ=sin θcs θ=12,sin2θ+cs2θ=1, 且θ∈0,π2 ，解得 sin θ=55,cs θ=255, 故sin θ-cs θ=-55 .
13. [2022浙江，6分]若3sin α-sin β=10 ,α+β=π2 ，则sin α= 31010 ,cs 2β= 45 .
[解析]因为α+β=π2 ，所以β=π2-α ，所以3sin α-sin β=3sin α-sinπ2-α=3sin α-cs α=10sinα-φ=10 ，其中sin φ=1010 ,cs φ=31010 .所以α-φ=π2+2kπ ，k∈Z ，所以α=π2+φ+2kπ ，k∈Z ，所以sin α=sinπ2+φ+2kπ=cs φ=31010 ，k∈Z .因为sin β=3sin α-10=-1010 ，所以cs 2β=1-2sin2β=1-15=45 .
14. [2021北京，5分]若Pcs θ,sin θ 与Qcsθ+π6,sinθ+π6 关于y 轴对称，写出一个θ 的值5π12 （答案不唯一）．
[解析]由题意可得cs θ=-csθ+π6 ，sin θ=sinθ+π6 ，则θ=2kπ+π-θ+π6 ,θ=5π12+kπ ,k∈Z ,可令k=0 ，则θ=5π12 ，故θ 的一个值为5π12 .
15. [2020江苏，5分]已知sin2π4+α=23 ,则sin 2α 的值是13 .
[解析]因为sin2π4+α=23 ，所以1-csπ2+2α2=23 ，1+sin 2α2=23 ,得sin 2α=13 .
16. [2020浙江，6分]已知tan θ=2 ,则cs 2θ= -35 ,tanθ-π4= 13 .
[解析]解法一 因为tan θ=2 ，所以sin θ=2cs θ ，由sin2θ+cs2θ=1 可知，sin2θ=45 ,所以cs 2θ=1-2sin2θ=-35 ，tanθ-π4=tan θ-11+tan θ=2-11+2=13 .
解法二 因为tan θ=2 ，所以cs 2θ=cs2θ-sin2θ=cs2θ-sin2θcs2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-41+4=-35 ，tanθ-π4=tan θ-11+tan θ=2-11+2=13 .
17. [2020北京，5分]若函数fx=sinx+φ+cs x 的最大值为2，则常数φ 的一个取值为π2 （符合2kπ+π2 ,k∈Z 都可以，答案不唯一）.
[解析]易知当y=sinx+φ ，y=cs x 同时取得最大值1时，函数fx=sinx+φ+cs x 取得最大值2，故sinx+φ=cs x ，则φ=π2+2kπ ,k∈Z ,故常数φ 的一个取值为π2 .
18. [2019全国卷Ⅰ，5分]函数fx=sin2x+3π2-3cs x 的最小值为-4.
[解析]fx=sin2x+3π2-3csx=-cs2x-3csx=1-2cs2x-3csx=-2csx+342+178 ，因为cs x∈[-1,1] ，所以当cs x=1 时，fx 取得最小值，fxmin=-4 .
19. [2019江苏，5分]已知tan αtanα+π4=-23 ，则sin2α+π4 的值是210 .
[解析]解法一 tan αtan α+11-tan α=tan α1-tan αtan α+1=-23 ，解得tan α=2 或tan α=-13 ，当tan α=2 时，sin 2α=2sin αcs αsin2α+cs2α=2tan αtan2α+1=45 ，cs 2α=cs2α-sin2αsin2α+cs2α=1-tan2αtan2α+1=-35 ，此时sin 2α+cs 2α=15 ，同理当tan α=-13 时，sin 2α=-35 ,cs 2α=45 ，此时sin 2α+cs 2α=15 ，所以sin2α+π4=22sin 2α+cs 2α=210 .
解法二 tan αtanα+π4=sin αcsα+π4cs αsinα+π4=-23 ，则sin αcsα+π4=-23cs αsinα+π4 ，又22=sin[α+π4-α]=sin(α+π4)csα-csα+π4sinα=53sinα+π4csα ，则sinα+π4cs α=3210 ，则sin2α+π4=sin[α+π4+α]=sin(α+π4)csα+csα+π4sinα=13sinα+π4csα=13×3210=210 .
三、解答题
20. [2019浙江，14分]设函数fx=sin x ，x∈R .
（Ⅰ） 已知θ∈[0,2π) ，函数fx+θ 是偶函数，求θ 的值;
[答案]因为fx+θ=sinx+θ 是偶函数，
所以θ=π2+kπ ,k∈Z ,
所以cs θ=0 .
又θ∈[0,2π) ,因此θ=π2 或3π2 .
（Ⅱ） 求函数y=[fx+π12〗2+[fx+π4〗2 的值域.
[答案]y=[fx+π12]2+[fx+π4]2
=sin2x+π12+sin2x+π4
=1-cs2x+π62+1-cs2x+π22
=1-1232cs 2x-32sin 2x
=1-32cs2x+π3 .
因此，函数的值域是[1-32,1+32] .
考点15 三角函数的图象与性质
题组一
一、选择题
1. [2023天津，5分]已知函数fx 图象的一条对称轴为直线x=2 ,fx 的一个周期为4,则fx 的解析式可能为( B )
A. fx=sinπ2x B. fx=csπ2x C. fx=sinπ4x D. fx=csπ4x
[解析]对于A ,fx=sinπ2x ，最小正周期为2ππ2=4 ，因为f2=sin π=0 ，所以函数fx=sinπ2x 的图象不关于直线x=2 对称，故排除A ；对于B ，fx=csπ2x ，最小正周期为2ππ2=4 ，因为f2=cs π=-1 ，所以函数fx=csπ2x 的图象关于直线x=2 对称，故选项B 符合题意；对于C ，D ,函数y=sinπ4x 和y=csπ4x 的最小正周期均为2ππ4=8 ，均不符合题意,故排除C ，D .综上，选B .
2. （2023全国卷乙，5分）已知函数fx=sinωx+φ 在区间(π6 ，2π3) 单调递增,直线x=π6 和x=2π3 为函数y=fx 的图象的两条相邻对称轴，则f-5π12= ( D )
A. -32 B. -12 C. 12 D. 32
[解析]由题意得12×2πω=2π3-π6 ，解得ω=2 ，易知x=π6 是fx 的最小值点，所以π6×2+φ=3π2+2kπk∈Z ，得φ=7π6+2kπk∈Z ，于是fx=sin2x+7π6+2kπ=sin2x+7π6 ，f-5π12=sin-5π12×2+7π6=sinπ3=32 ，故选D .
3. [2022浙江，4分]为了得到函数y=2sin 3x 的图象,只要把函数y=2sin3x+π5 图象上所有的点( D )
A. 向左平移π5 个单位长度B. 向右平移π5 个单位长度
C. 向左平移π15 个单位长度D. 向右平移π15 个单位长度
[解析]因为y=2sin3x+π5=2sin[3x+π15] ，所以要得到函数y=sin 3x 的图象，只要把函数y=2sin3x+π5 的图象上所有的点向右平移π15 个单位长度，（易错：平移时注意确定平移方向与单位长度）
故选D ．
4. [2022全国卷甲，5分]将函数fx=sinωx+π3ω>0 的图象向左平移π2 个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω 的最小值是( C )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
[解析]记曲线C 的函数解析式为gx ，则gx=sin[ωx+π2+π3]=sin[ωx+π2ω+π3] .因为函数gx 的图象关于y 轴对称，所以π2ω+π3=kπ+π2k∈Z ，得ω=2k+13k∈Z .因为ω>0 ，所以ωmin=13 .故选C .
5. [2022北京，4分]已知函数fx=cs2x-sin2x ，则( C )
A. fx 在-π2,-π6 上单调递减B. fx 在-π4,π12 上单调递增
C. fx 在0,π3 上单调递减D. fx 在π4,7π12 上单调递增
[解析]依题意可知fx=cs2x-sin2x=cs 2x ，对于A 选项，因为x∈-π2,-π6 ，所以2x∈-π,-π3 ，函数fx=cs 2x 在-π2,-π6 上单调递增，所以A 选项不正确；对于B 选项，因为x∈-π4,π12 ，所以2x∈-π2,π6 ，函数fx=cs 2x 在-π4,π12 上不单调，所以B 选项不正确；对于C 选项，因为x∈0,π3 ，所以2x∈0,2π3 ，函数fx=cs 2x 在0,π3 上单调递减，所以C 选项正确；对于D 选项，因为x∈π4,7π12 ，所以2x∈π2,7π6 ，函数fx=cs 2x 在π4,7π12 上不单调，所以D 选项不正确.故选C .
【速解】易得fx=cs 2x ，它的图象是将y=cs x 的图象的横坐标缩短到原来的12 得到的.
因为y=cs x 在0,π 上单调递减，在-π,0 上单调递增，所以fx=cs 2x 在0,π2 上单调递减，在-π2,0 上单调递增，且其最小正周期为π ，所以A，B，D错误，C正确，故选C.
6. [2021新高考卷Ⅰ，5分]下列区间中，函数fx=7sinx-π6 单调递增的区间是( A )
A. 0,π2 B. π2,π C. π,3π2 D. 3π2,2π
[解析]解法一 令-π2+2kπ≤x-π6≤π2+2kπ ,k∈Z ，得-π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ ,k∈Z .取k=0 ，则-π3≤x≤2π3 .因为0,π2⫋[-π3,2π3] ，所以区间0,π2 是函数fx 的单调递增区间.故选A .
解法二 当0【速解】 fx=7sinx-π6 的图象是将y=7sin x 的图象向右平移π6 个单位长度得到的.因为y=7sin x 的一个增区间为(-π2 ，π2) ，所以易得0,π2 是fx=7sinx-π6 的一个增区间.故选A.
7. [2021全国卷乙，5分]函数fx=sin x3+cs x3 的最小正周期和最大值分别是( C )
A. 3π 和2 B. 3π 和2C. 6π 和2 D. 6π 和2
[解析]因为函数fx=sinx3+csx3=222sinx3+22csx3=2sinx3csπ4+csx3sinπ4=2sinx3+π4 ，
所以函数fx 的最小正周期T=2π13=6π ，最大值为2 .故选C .
【方法技巧】一般地，关注以下结论在解题中的运用，可提高解题的速度和准确性：sin x±cs x=2sinx±π4 ，3sin x±cs x=2sinx±π6 ，sin x±3cs x=2sinx±π3 .
8. [2021全国卷乙，5分]把函数y=fx 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3 个单位长度，得到函数y=sinx-π4 的图象，则fx= ( B )
A. sinx2-7π12 B. sinx2+π12 C. sin2x-7π12 D. sin2x+π12
[解析]依题意，将y=sinx-π4 的图象向左平移π3 个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到fx 的图象，所以y=sinx-π4 将其图象向左平移π3个单位长度 y=sinx+π12 的图象 所有点的横坐标扩大到原来的2倍 fx=sinx2+π12 的图象.
9. [2021北京，4分]已知函数fx=cs x-cs 2x ，则该函数( D )
A. 是奇函数，最大值为2B. 是偶函数，最大值为2
C. 是奇函数，最大值为98 D. 是偶函数，最大值为98
[解析]因为x∈R ,f-x=cs-x-cs-2x=cs x-cs 2x=fx ，所以函数fx=cs x-cs 2x 为偶函数.
又fx=cs x-cs 2x=-2cs2x+cs x+1=-2cs x-142+98 ,当且仅当cs x=14 时，fx 取得最大值98 ，所以fx 的最大值为98 .故选D .
【速解】因为偶函数+ 偶函数= 偶函数，所以排除A，C；易知当cs x=1 时，cs 2x≠-1 ，故函数fx 最大值取不到2，排除B.故选D.
10. [2019全国卷Ⅱ，5分]若x1=π4 ，x2=3π4 是函数fx=sin ωxω>0 两个相邻的极值点，则ω= ( A )
A. 2B. 32 C. 1D. 12
[解析]依题意得函数fx 的最小正周期T=2πω=2×3π4-π4=π ，解得ω=2 ，选A .
11. [2019全国卷Ⅱ，5分]下列函数中，以π2 为周期且在区间π4,π2 单调递增的是( A )
A. fx=cs 2x B. fx=sin 2x C. fx=csx D. fx=sinx
[解析]A 中，函数fx=cs 2x 的周期为π2 ，当x∈π4,π2 时，2x∈π2,π ，函数fx 单调递增，故A 正确；B 中，函数fx=sin 2x 的周期为π2 ，当x∈π4,π2 时，2x∈π2,π ，函数fx 单调递减，故B 不正确；C 中，函数fx=csx=cs x 的周期为2π ，故C 不正确；D 中，fx=sin∣x∣=sin x,x≥0,-sin x,x<0, 由正弦函数图象知，在x≥0 和x<0 时，fx 均以2π 为周期，但在整个定义域上fx 不是周期函数，故D 不正确.选A ．
12. [2020新高考卷Ⅰ，5分]（多选题）如图是函数y=sinωx+φ 的部分图象，则sinωx+φ= ( BC )
A. sinx+π3 B. sinπ3-2x C. cs2x+π6 D. cs5π6-2x
[解析]由题图可知，函数的最小正周期T=22π3-π6=π ,∴2πω=π ,ω=±2 .不妨取ω>0 ,则ω=2 ,y=sin2x+φ ,将点π6,0 代入得,sin2×π6+φ=0 ,∴2×π6+φ=2kπ+π ,k∈Z ,即φ=2kπ+2π3 ,k∈Z ，故y=sin2x+2π3 .由于y=sin2x+2π3=sin[π-2x+2π3]=sinπ3-2x ,故选项B 正确；y=sinπ3-2x=cs[π2-π3-2x]=cs2x+π6 ,选项C 正确；对于选项A ，当x=π6 时,sinπ6+π3=1≠0 ,错误；对于选项D ，当x=π6+2π32=5π12 时,cs5π6-2×5π12=1≠-1 ,错误.综上，选BC .
二、填空题
13. [2022北京，5分]若函数fx= Asin x-3cs x 的一个零点为π3 ,则A= 1;fπ12= -2 .
[解析]依题意得fπ3=A×32-3×12=0 ，解得A=1 ，所以fx=sin x-3cs x=2sinx-π3 ，所以fπ12=2sinπ12-π3=-2 .
14. （2022全国卷乙，5分）记函数fx=csωx+φω>0, 0<φ<π 的最小正周期为T .若fT=32 ，x=π9 为fx 的零点，则ω 的最小值为3.
[解析]因为T=2πω ，f2πω=32 ,所以cs2π+φ=32 ,即cs φ=32 .又0<φ<π ,所以φ=π6 .因为x=π9 为fx 的零点，所以π9ω+π6=π2+kπk∈Z ，解得ω=9k+3k∈Z .又ω>0 ，所以当k=0 时，ω 取得最小值，且最小值为3.
15. （2020全国卷Ⅲ，5分）关于函数fx=sin x+1sin x 有如下四个命题：
①fx 的图象关于y 轴对称.
②fx 的图象关于原点对称.
③fx 的图象关于直线x=π2 对称.
④fx 的最小值为2.
其中所有真命题的序号是②③.
[解析]由题意知fx 的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z} ，且关于原点对称.又f-x=sin-x+1sin-x=-sin x+1sin x=-fx ，所以函数fx 为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题.因为fπ-x=sinπ-x+1sinπ-x=sin x+1sin x=fx ，所以函数fx 的图象关于直线x=π2 对称，③为真命题.当sin x<0 时，fx<0 ，所以④为假命题.
16. [2019北京，5分]函数fx=sin22x 的最小正周期是π2 .
[解析]∵fx=sin22x=1-cs 4x2 ,∴fx 的最小正周期T=2π4=π2 .
三、解答题
17. [2021浙江，14分]设函数fx=sin x+cs xx∈R .
（Ⅰ） 求函数y=[fx+π2]2 的最小正周期；
[答案]因为fx=sin x+cs x ，
所以fx+π 2=sinx+π 2+csx+π 2=cs x-sin x ，
所以y=[fx+π 2]2=cs x-sin x2=1-sin 2x .
所以函数y=[fx+π2]2 的最小正周期T=2π 2=π .
（Ⅱ） 求函数y=fxfx-π4 在[0,π2] 上的最大值.
[答案]fx-π 4=sinx-π 4+csx-π 4=2sin x ，
所以y=fxfx-π 4=2sin xsin x+cs x=2sin xcs x+sin2x=212sin 2x-12cs 2x+12=sin2x-π 4+22 .
当x∈[0,π 2] 时，2x-π 4∈[-π 4,3π 4] ，
所以当2x-π 4=π 2 ,即x=3π 8 时，函数y=fxfx-π 4 在[0,π 2] 上取得最大值，且ymax=1+22 .
题组二
一、选择题
1. [2023全国卷甲，5分]函数y=fx 的图象由函数y=cs2x+π6 的图象向左平移π6 个单位长度得到，则y=fx 的图象与直线y=12x-12 的交点个数为( C )
A. 1B. 2C. 3D. 4
[解析]把函数y=cs2x+π6 的图象向左平移π6 个单位长度后得到函数fx=cs[2x+π6+π6]=cs2x+π2=-sin 2x 的图象.作出函数fx 的部分图象和直线y=12x-12 ，如图所示.观察图象知，共有3个交点.故选C .
2. [2022新高考卷Ⅰ，5分]记函数fx=sinωx+π4+bω>0 的最小正周期为T .若2π3A. 1B. 32 C. 52 D. 3
[解析]因为2π33. [2022全国卷甲，5分]设函数fx=sinωx+π3 在区间0,π 恰有三个极值点、两个零点，则ω 的取值范围是( C )
A. [53,136) B. [53,196) C. (136,83] D. (136,196]
[解析]由x∈0,π ，得ωx+π3∈π3,πω+π3 .根据函数fx 在区间0,π 恰有三个极值点，知5π2<πω+π3≤7π2 ，得136<ω≤196 .根据函数fx 在区间0,π 恰有两个零点，知2π<πω+π3≤3π ，得53<ω≤83 .综上，ω 的取值范围为136<ω≤83 .
4. [2022天津，5分]已知fx=12sin 2x ，关于该函数有下列四个说法:
①fx 的最小正周期为2π ;
②fx 在[-π4,π4] 上单调递增;
③当x∈[-π6,π3] 时，fx 的取值范围为[-34,34] ；
④fx 的图象可由gx=12sin2x+π4 的图象向左平移π8 个单位长度得到.
其中，正确说法的个数为( A )
A. 1B. 2C. 3D. 4
[解析]因为fx=12sin 2x ，所以fx 的最小正周期T=2π2=π ,所以①错误；
当x∈[-π4,π4] 时，2x∈[-π2,π2] ，所以函数fx=12sin 2x 在[-π4,π4] 上单调递增，所以②正确；
当x∈[-π6,π3] 时，2x∈[-π3,2π3] ，所以sin 2x∈[-32,1] ，所以函数fx=12sin 2x 的值域为[-34,12] ，所以③错误；
将gx=12sin2x+π4 的图象向左平移π8 个单位长度后，其图象对应解析式为y=12sin[2x+π8+π4]=12sin2x+π2=12cs 2x≠fx ，所以④错误.
综上，正确说法的个数为1，故选A .
5. [2019天津，5分]已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π 是奇函数，且fx 的最小正周期为π ，将y=fx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为gx .若gπ4=2 ，则f3π8= ( C )
A. -2 B. -2 C. 2 D. 2
[解析]由fx 为奇函数可得φ=kπk∈Z ,由φ<π ，得φ=0 ,又fx 的最小正周期为π ,所以2πω=π ,ω=2 .所以fx=Asin 2x .所以gx=Asin x .由gπ4=Asinπ4=2 ，得A=2 ,所以fx=2sin 2x ,故f3π8=2sin3π4=2 .
【方法技巧】 若fx=Asinωx+φx∈R 为奇函数，则φ=kπk∈Z ,若fx=Asinωx+φx∈R 为偶函数，则φ=kπ+π2k∈Z .
6. [2019全国卷Ⅰ，5分]关于函数fx=sinx+sin x 有下述四个结论:
①fx 是偶函数
②fx 在区间π2,π 单调递增
③fx 在[-π,π] 有4个零点
④fx 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( C )
A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③
[解析]解法一 ∵f-x=sin-x+sin-x=sinx+sin x=fx ，∴fx 为偶函数，故①正确；当π2∵y=sinx 与y=sin x 的最大值都为1且可以同时取到，∴fx 可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④．故选C ．
解法二 ∵f-x=sin-x+sin-x=sinx+sin x=fx ，∴fx 为偶函数，故①正确，排除B ；当π27. [2019全国卷Ⅲ，5分]设函数fx=sinωx+π5ω>0 ，已知fx 在[0,2π 有且仅有5个零点.下述四个结论：
①fx 在0,2π 有且仅有3个极大值点
②fx 在0,2π 有且仅有2个极小值点
③fx 在0,π10 单调递增
④ω 的取值范围是[125,2910)
其中所有正确结论的编号是( D )
A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④
[解析]画出函数fx 的大致图象，如图所示，根据题意知，xA≤2π8. [2022新高考卷Ⅱ，5分]（多选题）已知函数fx=sin2x+φ0<φ<π 的图象关于点2π3,0 中心对称，则( AD )
A. fx 在区间0,5π12 单调递减B. fx 在区间-π12,11π12 有两个极值点
C. 直线x=7π6 是曲线y=fx 的对称轴D. 直线y=32-x 是曲线y=fx 的切线
[解析]因为函数fx 的图象关于点2π3,0 中心对称，所以sin2×2π3+φ=0 ，所以4π3+φ=kπk∈Z ，结合0<φ<π ，得φ=2π3 ，所以fx=sin2x+2π3 .
对于A ，当x∈0,5π12 时，2x+2π3∈2π3,3π2 ，所以函数fx 在区间0,5π12 单调递减，故A 正确；
对于B ，当x∈-π12,11π12 时，2x+2π3∈π2,5π2 ，所以函数fx 在区间-π12,11π12 只有一个极值点，故B 不正确；
对于C ,因为f7π6=sin2×7π6+2π3=sin 3π=0 ，所以x=7π6 不是曲线y=fx 的对称轴，故C 不正确；
对于D ，因为f 'x=2cs2x+2π3 ，若直线y=32-x 为曲线y=fx 的切线，则由2cs2x+2π3=-1 ，得2x+2π3=2kπ+2π3 或2x+2π3=2kπ+4π3k∈Z ，所以x=kπ 或x=kπ+π3k∈Z .当x=kπk∈Z 时，fx=32 ，则由32=32-kπk∈Z ，解得k=0 ；当x=kπ+π3k∈Z 时，fx=-32 ，方程-32=32-kπ-π3k∈Z 无解.综上所述，直线y=32-x 为曲线y=fx 的切线，故D 正确.
综上所述，选AD .
二、填空题
9. [2023新高考卷Ⅰ，5分]已知函数fx=cs ωx -1ω>0 在区间[0,2π] 有且仅有3个零点,则ω 的取值范围是[2,3) .
[解析]函数fx=cs ωx-1 在区间[0,2π] 有且仅有3个零点，即cs ωx=1 在区间[0,2π] 有且仅有3个根，因为ω>0 ,x∈[0,2π] ，所以ωx∈[0,2ωπ] ，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ<6π ，解得2≤ω<3 ，即ω 的取值范围是[2,3) .
10. [2023新高考卷Ⅱ，5分]已知函数fx=sinωx+φ ,如图，A ，B 是直线y=12 与曲线y=fx 的两个交点，若AB=π6 ，则fπ= -32 .
[解析]对比正弦函数y=sin x 的图象易知，点2π3,0 为“五点（画图）法”中的第五点，（提醒：将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点（画图）法”中的哪一个点）
所以2π3ω+φ=2π ①.
由题知AB=xB-xA=π6 ，ωxA+φ=π6,ωxB+φ=5π6, 两式相减，得ωxB-xA=4π6 ，即π6ω=4π6 ，解得ω=4 .
代入①，得φ=-2π3 ，所以fπ=sin4π-2π3=-sin2π3=-32 .
11. [2021全国卷甲，5分]已知函数fx=2csωx+φ 的部分图象如图所示,则满足条件fx-f-7π4⋅fx-f4π3>0 的最小正整数x 为2.
[解析]由题图可知，34T=13π12-π3=3π4 （T 为fx 的最小正周期），得T=π ，所以ω=2 ，所以fx=2cs2x+φ .点π3,0 可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3+φ=π2 ,得φ=-π6 ,所以fx=2cs2x-π6 ，所以f-7π4=2cs[2×-7π4-π6]=2cs-11π3=2cs π3=1 ,f4π3=2cs2×4π3-π6=2cs5π2=0 ,所以fx-f-7π4fx-f4π3>0 ，即fx-1fx>0 ，可得fx>1 或fx<0 ，所以cs2x-π6>12 或cs2x-π6<0 .当cs2x-π6<0 时，π2+2kπ<2x-π6<3π2+2kπ ,k∈Z ，解得π3+kπ12 时,-π3+2kπ<2x-π6<π3+2kπ ,k∈Z ,解得-π12+kπ12. [2020江苏，5分]将函数y=3sin2x+π4 的图象向右平移π6 个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x=-5π24 .
[解析]将函数y=3sin2x+π4 的图象向右平移π6 个单位长度，得到y=3sin[2x-π6+π4]=3sin2x-π12 的图象，由2x-π12=π2+kπ ,k∈Z ，得对称轴方程为x=7π24+12kπ ,k∈Z ，其中与y 轴最近的对称轴的方程为x=-5π24 .
【易错警示】 解决此类试题时，经常因为不理解图象平移变换的规则而出错，要注意“左加右减”是对自变量x 来说的.
考点16 解三角形
题组一
一、选择题
1. [2023全国卷乙，5分]在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若acs B-bcs A=c ,且C=π5 ，则B= ( C )
A. π10 B. π5 C. 3π10 D. 2π5
[解析]因为acs B-bcs A=c ,所以由正弦定理得sin Acs B-sin Bcs A=sin C=sinB+A ，则2sin Bcs A=0 .在△ABC 中，sin B≠0 ，则cs A=0 ,A=π2 .所以B=π-A-C=π-π2-π5=3π10 ,故选C .
2. [2021全国卷甲，5分]在△ABC 中，已知B=120∘ ，AC=19 ，AB=2 ,则BC= ( D )
A. 1B. 2 C. 5 D. 3
[解析]由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB⋅BC⋅cs B ，得BC2+2BC-15=0 ，解得BC=3 或BC=-5 （舍去）．故选D ．
3. [2020全国卷Ⅲ，5分]在△ABC 中，cs C=23 ,AC=4 ,BC=3 ,则cs B= ( A )
A. 19 B. 13 C. 12 D. 23
[解析]由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cs C=16+9-2×4×3×23=9 ,AB=3 ,所以cs B=9+9-162×9=19 ,故选A .
二、填空题
4. [2023全国卷甲，5分]在△ABC 中，∠BAC=60∘ ，AB=2 ，BC=6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ,则AD= 2.
[解析]在△ABC 中，由余弦定理得cs 60∘=AC2+4-62×2AC ,整理得AC2-2AC-2=0 ,得AC=1+3 .又S△ABC=S△ABD+S△ACD ，所以12×2ACsin 60∘=12×2ADsin 30∘+12AC×ADsin 30∘ ,所以AD=23ACAC+2=23×1+33+3=2 .
5. [2021全国卷乙，5分]记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为3 ，B=60∘ ，a2+c2=3ac ，则b= 22 .
[解析]由题意得S△ABC=12acsin B=34ac=3 ，则ac=4 ，所以a2+c2=3ac=3×4=12 ，所以b2=a2+c2-2accs B=12-2×4×12=8 ，则b=22 .
【方法技巧】 三角形的面积公式（a ,b ,c 分别为△ABC 中角A ,B ,C 的对边）：
（1）S=12aha （ha 表示边BC 上的高）;
（2）S=12absin C=12bcsin A=12acsin B ;
（3）S=12a+b+c⋅r （r 为△ABC 内切圆的半径）;
（4）S=pp-ap-bp-c （其中p=12a+b+c ）;
（5）S=abc4R （R 为△ABC 外接圆的半径）．
6. [2021浙江，6分]在△ABC 中，∠B=60∘ ，AB=2 ,M 是BC 的中点，AM=23 ，则AC= 213 ; cs∠MAC= 23913 .
[解析]解法一 由∠B=60∘ ,AB=2 ,AM=23 ，及余弦定理可得BM=4 ，又M 为BC 的中点，所以BC=8 .在△ABC 中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2BC⋅AB⋅cs∠B=4+64-2×8×2×12=52 ，所以AC=213 ，所以在△AMC 中，由余弦定理得cs∠MAC=AC2+AM2-MC22AC⋅AM=52+12-162×213×23=23913 .
解法二 由∠B=60∘ ,AB=2 ,AM=23 ，及余弦定理可得BM=4 ，又M 为BC 的中点，所以BC=8 .过点C 作CD⊥BA 交BA 的延长线于点D ，则BD=4 ,AD=2 ，CD=43 .所以在Rt△ADC 中，AC2=CD2+AD2=48+4=52 ，得AC=213 .在△AMC 中，由余弦定理得cs∠MAC=AC2+AM2-MC22AC⋅AM=52+12-162×213×23=23913 .
7. [2020全国卷Ⅰ，5分]如图，在三棱锥P-ABC 的平面展开图中，AC=1 ,AB=AD=3 ,AB⊥AC ,AB⊥AD ,∠CAE=30∘ ，则cs∠FCB= -14 .
[解析]依题意得，AE=AD=3 ，在△AEC 中，AC=1 ，∠CAE=30∘ ,由余弦定理得EC2=AE2+AC2-2AE⋅ACcs∠EAC=3+1-23cs 30∘=1 ，所以EC=1 ，所以CF=EC=1 .又BC=AC2+AB2=1+3=2 ,BF=BD=AD2+AB2=6 ，所以在△BCF 中，由余弦定理得cs∠FCB=BC2+CF2-BF22BC×CF=22+12-622×2×1=-14 ．
【方法技巧】 破解本题需会两招：第一招，转化，即把空间问题与平面问题互相转化，注意找出相等量，如AE=AD ，CF=EC ,BF=BD ；第二招，用定理，即利用余弦定理求出边或角．
8. [2019全国卷Ⅱ，5分]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b=6 ，a=2c ，B=π3 ，则△ABC 的面积为63 .
[解析]解法一 因为a=2c ,b=6 ，B=π3 ，所以由余弦定理b2=a2+c2-2accs B ，得62=2c2+c2-2×2c×ccsπ3 ，得c=23 ，所以a=43 ，所以△ABC 的面积S=12acsin B=12×43×23×sinπ3=63 .
解法二 由正弦定理及a=2c ，可得sin A=2sin C .
由B=π3 ，得A+C=π-B=2π3 ，
所以sin A=sin2π3-C=sin2π3cs C-cs2π3sin C=32cs C+12sin C=2sin C .
所以32cs C=32sin C ，所以tan C=33 .
又C∈0,π ，所以C=π6 .
所以A=2π3-C=π2 ，
所以a=bsin B=6sinπ3=43 ，
所以S△ABC=12absin C=12×43×6sinπ6=63 .
三、解答题
9. [2023全国卷乙，12分]在△ABC 中，已知∠BAC=120∘ ，AB=2 ，AC=1 .
（1） 求sin∠ABC ;
[答案]
如图，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB⋅AC⋅cs∠BAC=22+12+2×2×1×12=7 ，得BC=7 .
由正弦定理ACsin∠ABC=BCsin∠BAC ，
得sin∠ABC=1×327=2114 .
（2） 若D 为BC 上一点，且∠BAD=90∘ ，求△ADC 的面积.
[答案]解法一 由sin∠ABC=2114 ，得tan∠ABC=35 ,
又tan∠ABC=DAAB=DA2 ，所以DA=235 ，
故△ADC 的面积为12DA⋅AC⋅sin120∘-90∘=12×235×1×12=310 .
解法二 △ABC 的面积为12AC⋅AB⋅sin∠BAC=12×1×2×32=32 ，
S△ADCS△BAD=12AC⋅AD⋅sin∠CAD12AB⋅AD⋅sin∠BAD=sin 30∘2×sin 90∘=14 ，
故△ADC 的面积为15S△ABC=15×32=310 .
10. [2023新高考卷Ⅰ，10分]已知在△ABC 中，A+B=3C ，2sinA-C=sin B .
（1） 求sin A ;
[答案]解法一在△ABC 中，A+B=π-C ,
因为A+B=3C ，所以3C=π-C ,所以C=π4 .
因为2sinA-C=sin B ，
所以2sin A-π4=sin3π4-A ，
展开并整理得2sin A-cs A=22cs A+sin A ，
得sin A=3cs A ，
又sin2A+cs2A=1 ，且sin A>0 ，
所以sin A=31010 .
解法二 在△ABC 中，A+B=π-C ,
因为A+B=3C ，所以3C=π-C ,所以C=π4 .
因为2sinA-C=sin B ，
所以2sinA-C=sin[π-A+C]=sinA+C ，
所以2sin Acs C-2cs Asin C=sin Acs C+cs Asin C ，
所以sin Acs C=3cs Asin C ，
易得cs Acs C≠0 ,
所以tan A=3tan C=3tan π4=3 ，
又sin A>0 ，所以sin A=332+12=31010 .
（2） 设AB=5 ,求AB 边上的高.
[答案]解法一由正弦定理，得BCsin A=ABsin C ，
得BC=ABsin C×sin A=522×31010=35 ，
由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC⋅BCcs C ，
得52=AC2+352-2AC⋅35cs π4 ，
整理得AC2-310AC+20=0 ，
解得AC=10 或AC=210 ，
由（1）得，tan A=3>3 ，所以π3又A+B=3π4 ,所以B>π4 ,
即C设AB 边上的高为h ，则12×AB×h=12×AC×BCsin C ，
即5h=210×35×22 ，解得h=6 ，
所以AB 边上的高为6.
解法二 由（1）知sin A=31010 ，tan A=3>0 ，所以A 为锐角，
所以cs A=1010 ，所以sin B=sin3π4-A=22cs A+sin A=22×1010+31010=255 ，
由正弦定理，得ACsin B=ABsin C ，得AC=AB⋅sin Bsin C=5×25522=210 ，
故AB 边上的高为AC×sin A=210×31010=6 .
11. [2022浙江，14分]在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .
已知4a=5c ,cs C=35 .
（Ⅰ） 求sin A 的值;
[答案]由正弦定理asin A=csin C ，得sin A=a⋅sin Cc .
因为cs C=35 ,所以sin C=45 ,
又ac=54 ，所以sin A=5sin C4=55 .
（Ⅱ） 若b=11 ，求△ABC 的面积.
[答案]由（Ⅰ）知sin A=55 ,
因为a=5c4所以sin B=sinπ-B=sinA+C=sin Acs C+sin Ccs A=55×35+45×255=11525 .
因为bsin B=csin C ,即1111525=c45 ,
所以c=45 ,
所以S△ABC=12bcsin A=12×11×45×55=22 .
12. [2022北京，13分]在△ABC 中，sin 2C=3sin C .
（Ⅰ） 求∠C ;
[答案]因为sin 2C=3sin C ，所以2sin C cs C=3sin C ，
因为C∈0,π ，所以sin C≠0 ，所以cs C=32 ，C=π6 .
（Ⅱ） 若b=6 ,且△ABC 的面积为63 ，求△ABC 的周长.
[答案]因为△ABC 的面积S=12absin C=12×a×6×12=63 ，所以a=43 .
由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcs C=48+36-72=12 ，所以c=23 ，所以△ABC 的周长为a+b+c=43+6+23=63+1 .
13. [2020全国卷Ⅱ，12分]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知cs2π2+A+cs A=54 .
（1） 求A ；
[答案]由已知得sin2A+cs A=54 ,即cs2A-cs A+14=0 .
所以cs A-122=0 ,cs A=12 .由于0（2） 若b-c=33a ，证明：△ABC 是直角三角形.
[答案]由正弦定理及已知条件可得sin B-sin C=33sin A .
由（1）知B+C=2π3 ，所以sin B-sin2π3-B=33sinπ3 .
即12sin B-32cs B=12 ,sinB-π3=12 .
由于014. [2019全国卷Ⅰ，12分]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设sin B-sin C2=sin2A-sin Bsin C .
（1） 求A ;
[答案]由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C ,
故由正弦定理得b2+c2-a2=bc .
由余弦定理得cs A=b2+c2-a22bc=12 .
因为0∘（2） 若2a+b=2c ，求sin C .
[答案]由（1）知B=120∘-C ,由题设及正弦定理得2sin A+sin120∘-C=2sin C ,即62+32cs C+12sin C=2sin C ,可得csC+60∘=-22 .
因为0∘故sin C=sinC+60∘-60∘
=sinC+60∘cs 60∘-csC+60∘sin 60∘
=6+24 .
题组二
一、选择题
1. [2021全国卷乙，5分]魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB= ( A )
A. 表高×表距表目距的差+ 表高B. 表高×表距表目距的差- 表高
C. 表高×表距表目距的差+ 表距D. 表高×表距表目距的差- 表距
[解析]因为FG//AB ,所以FGAB=GCCA ，所以GC=FGAB⋅CA .因为DE//AB ,所以DEAB=EHAH ，所以EH=DEAB⋅AH .又DE=FG ，所以GC-EH=DEABCA-AH=DEAB×HC=DEAB×HG+GC=DEAB×EG-EH+GC .由题设中信息可得,表目距的差为GC-EH ，表高为DE ，表距为EG ，则上式可化为,表目距的差=表高AB× （表距+ 表目距的差），所以AB=表高表目距的差× （表距+ 表目距的差）=表高×表距表目距的差+ 表高，故选A .
二、填空题
2. [2022全国卷甲，5分]已知△ABC 中，点D 在边BC 上,∠ADB=120∘ ,AD=2 ,CD=2BD .当ACAB 取得最小值时，BD= 3-1 .
[解析]
设BD=kk>0 ,则CD=2k .
根据题意作出大致图形，如图.在△ABD 中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD⋅BD cs ∠ADB=22+k2-2×2k×-12=k2+2k+4 .在△ACD 中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD⋅CD cs ∠ADC=22+2k2-2×2×2k×12=4k2-4k+4 ,则AC2AB2=4k2-4k+4k2+2k+4=4k2+2k+4-12k-12k2+2k+4=4-12k+1k2+2k+4=4-12k+1k+12+3=4-12k+1+3k+1 ,∵k+1+3k+1≥23 （当且仅当k+1=3k+1 ，即k=3-1 时等号成立）,∴AC2AB2≥4-1223=4-23=3-12 ，∴ 当ACAB 取得最小值3-1 时，BD=k=3-1 .
3. [2019浙江，6分]在△ABC 中，∠ABC=90∘ ，AB=4 ，BC=3 ，点D 在线段AC 上.若∠BDC=45∘ ，则BD= 1225 ，cs∠ABD= 7210 .
[解析]在Rt△ABC 中，易得AC=5 ，sin C=ABAC=45 .在△BCD 中，由正弦定理得BD=BCsin∠BDC×sin∠BCD=322×45=1225 ，sin∠DBC=sin[π-∠BCD+∠BDC]=sin∠BCD+∠BDC=sin∠BCDcs∠BDC+cs∠BCDsin∠BDC=45×22+35×22=7210 .又∠ABD+∠DBC=π2 ，所以cs∠ABD=sin∠DBC=7210 .
三、解答题
4. [2023天津，14分]在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知a=39 ,b=2 ,A=120∘ .
（1） 求sin B 的值；
[答案]由正弦定理asin A=bsin B ，得39sin 120∘=2sin B ，
解得sin B=1313 .
（2） 求c 的值；
[答案]由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A ,
即39=4+c2-4ccs 120∘ ，
整理得c2+2c-35=0 ,
解得c=5 或c=-7 （舍去）.
所以c=5 .
（3） 求sinB-C 的值.
[答案]由正弦定理csin C=bsin B ，可得sin C=51326 ，
又B ,C 均为锐角，所以cs C=1-sin2 C=33926 ,cs B=1-sin2B=23913 ,
所以sinB-C=sin Bcs C-cs Bsin C=1313×33926-23913×51326=-7326 .
5. [2022新高考卷Ⅱ，12分]记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ，c ,分别以a ,b ,c 为边长的三个正三角形的面积依次为S1 ,S2 ,S3 .已知S1-S2+S3=32 ,sin B=13 .
（1） 求△ABC 的面积;
[答案]由S1-S2+S3=32 ，得34a2-b2+c2=32 ，即a2-b2+c2=2 ，
又a2-b2+c2=2accs B ，所以accs B=1 .
由sin B=13 ，得cs B=223 或cs B=-223 （舍去），所以ac=322=324 ，则△ABC 的面积S=12acsin B=12×324×13=28 .
（2） 若sin Asin C=23 ,求b .
[答案]由sin Asin C=23 ，ac=324 及正弦定理知b2sin2B=acsin Asin C=32423=94 ，即b2=94×19=14 ，得b=12 .
6. [2022全国卷乙，12分]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin CsinA-B=sin BsinC-A .
（1） 证明：2a2=b2+c2 ；
[答案]解法一 由sin CsinA-B=sin BsinC-A 可得,sin C⋅sin Acs B-sin Ccs Asin B=sin Bsin Ccs A-sin Bcs Csin A ，
结合正弦定理asin A=bsin B=csin C 可得accs B-bccs A=bccs A-abcs C ，即accs B+abcs C=2bccs A .
由余弦定理得a2+c2-b22+a2+b2-c22=b2+c2-a2 ，整理得2a2=b2+c2 .
解法二 因为A+B+C=π ，
所以sin CsinA-B=sinA+BsinA-B=sin2Acs2B-cs2Asin2B=sin2A1-sin2B-1-sin2Asin2B=sin2A-sin2B ，
同理有sin BsinC-A=sinC+AsinC-A=sin2C-sin2A ，
所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A ，
由正弦定理可得2a2=b2+c2 .
（2） 若a=5 ，cs A=2531 ，求△ABC 的周长.
[答案]由（1）及a2=b2+c2-2bccs A 得，a2=2bccs A ,所以2bc=31 .因为b2+c2=2a2=50 ，所以b+c2=b2+c2+2bc=81 ，得b+c=9 ,
所以△ABC 的周长l=a+b+c=14 .
7. [2021新高考卷Ⅰ，12分]记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b2=ac ,点D 在边AC 上,BDsin∠ABC=asin C .
（1） 证明:BD=b ;
[答案]因为BDsin∠ABC=asin C ，所以由正弦定理得,BD⋅b=ac ，又b2=ac ，所以BD⋅b=b2 ,又b>0 ，所以BD=b .
（2） 若AD=2DC ,求cs∠ABC .
[答案]解法一 由题意可知AD=23b ，DC=13b .在△ABD 与△ABC 中，cs∠BAD=cs∠BAC ，所以c2+49b2-b22c⋅23b=c2+b2-a22bc ①.将b2=ac 代入①式可得6a2-11ac+3c2=0 ，即3a-c2a-3c=0 ，所以c=23a 或c=3a .
当c=23a 时，cs∠ABC=c2+a2-ac2ac=49a2+a2-23a243a2=712 ；
当c=3a 时，cs∠ABC=c2+a2-ac2ac=9a2+a2-3a26a2=76>1 （舍）.
综上，cs∠ABC=712 .
解法二 由题意可得，AD=23AC ，所以BD=BA+AD=BA+23AC=BA+23BC-BA=13BA+23BC ，则BD2=19a2+49c2+49accs B ①，
由余弦定理得b2=a2+c2-2accs B ②，
联立①②得11b2=3c2+6a2 ，
因为b2=ac ，所以3c2-11ac+6a2=0 ，
所以c=3a 或c=23a .以下同解法一.
8. [2020全国卷Ⅱ，12分]△ABC 中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C .
（1） 求A ；
[答案]由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC⋅AB ①.
由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC⋅ABcs A ②.
由①②得cs A=-12 .因为0（2） 若BC=3 ，求△ABC 周长的最大值.
[答案]由正弦定理及（1）得ACsin B=ABsin C=BCsin A=23 ,从而
AC=23sin B ,AB=23sinπ-A-B=3cs B-3sin B .
故BC+AC+AB=3+3sin B+3cs B=3+23sinB+π3 .
又0【方法技巧】 求三角形周长的最大值是一种常见题型，常用的解法有两种：一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值；二是将周长表示为关于某个内角的函数，利用三角函数的图象与性质求最值．
9. [2019全国卷Ⅲ，12分]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知asinA+C2=bsin A .
（1） 求B ；
[答案]由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A .
因为sin A≠0 ，所以sinA+C2=sin B .
由A+B+C=180∘ ，可得sinA+C2=csB2 ，
故csB2=2sinB2csB2 .
因为csB2≠0 ，故sinB2=12 ，因此B=60∘ .
（2） 若△ABC 为锐角三角形，且c=1 ，求△ABC 面积的取值范围.
[答案]解法一 由题设及（1）知△ABC 的面积S△ABC=34a .
由正弦定理得a=csin Asin C=sin120∘-Csin C=32tan C+12 .
由于△ABC 为锐角三角形，故0∘由（1）知A+C=120∘ ，所以30∘故12因此，△ABC 面积的取值范围是38,32 .
解法二 如图，AB=1 ,过点B 作射线BD 使∠ABD=60∘ ，则点C 在射线BD 上.要满足△ABC 为锐角三角形，可找出C 点的两个临界点C1 和C2 ,C1 ,C2 分别满足∠AC1B=90∘ ,∠BAC2=90∘ .易知S△ABC2=32 ，S△ABC1=38 .
故△ABC 面积的取值范围是38,32 .
【易错警示】 对于本题第（2）问，应用解法一确定a 的范围时要注意对锐角三角形这个条件的挖掘，应用解法二时要准确找出临界点.对于有些三角题,构造图形可以使抽象问题具体化，解法新颖，解题更高效.
题组三
一、选择题
1. [2021全国卷甲，5分]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86 （单位：m ）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ,C 在同一水平面上的投影A' ，B' ，C' 满足∠A'C'B'=45∘ ,∠A'B'C'=60∘ .由C 点测得B 点的仰角为15∘ ，BB' 与CC' 的差为100;由B 点测得A 点的仰角为45∘ ，则A ，C 两点到水平面A'B'C' 的高度差AA'-CC' 约为3≈1.732 ( B )
A. 346B. 373C. 446D. 473
[解析]如图所示，根据题意过C 作CE//C'B' ，交BB' 于E ，过B 作BD//A'B' ，交AA' 于D ，则BE=100 ,C'B'=CE=100tan 15∘ .在△A'C'B' 中，∠C'A'B'=75∘ ,则BD=A'B'=C'B'×sin 45∘sin 75∘ .又在B 点处测得A 点的仰角为45∘ ，所以AD=BD=C'B'×sin 45∘sin 75∘ ,所以高度差AA'-CC'=AD+BE=C'B'×sin 45∘sin 75∘+100=100tan 15∘×sin 45∘sin 75∘+100=100sin 45∘sin 15∘+100=100×2222×32-12+100=1003+1+100≈373 .故选B .
第1题图
二、填空题
2. [2020新高考卷Ⅰ，5分]某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC⊥DG ，垂足为C ，tan∠ODC=35 ,BH//DG ,EF=12 cm ,DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ,则图中阴影部分的面积为5π2+4 cm2 .
[解析]如图，连接OA ,作AQ⊥DE ，交ED 的延长线于Q ,AM⊥EF 于M ,交DG 于E' ,交BH 于F' ，记过O 且垂直于DG 的直线与DG 的交点为P ,设OP=3m ,则DP=5m ，不难得出AQ=7 ,AM=7 ,于是AE'=5 ,E'G=5 ,∴∠AGE'=∠AHF'=π4 ,△AOH 为等腰直角三角形，又AF'=5-3m ,OF'=7-5m ,AF'=OF' ,∴5-3m=7-5m ,得m=1 ,∴AF'=5-3m=2 ,OF'=7-5m=2 ,∴OA=22 ,则阴影部分的面积S=135360×π×222+12×22×22-π2=5π2+4cm2 .
第2题图
三、解答题
3. [2023新高考卷Ⅱ，10分]记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 面积为3 ,D 为BC 的中点，且AD=1 .
（1） 若∠ADC=π3 ，求tan B ;
[答案]因为D 为BC 的中点，
所以S△ABC=2S△ADC=2×12×AD×DCsin∠ADC=2×12×1×DC×32=3 ,（提示：三角形的中线平分三角形的面积）
解得DC=2 ，所以BD=DC=2 ，a=4 ．
因为∠ADC=π3 ，所以∠ADB=2π3 ．
在△ABD 中，由余弦定理，得c2=AD2+BD2-2AD⋅BDcs∠ADB=1+4+2=7 ,（方法技巧：已知两边及夹角求第三边时,选用余弦定理）
所以c=7 ．
在△ABD 中，由正弦定理，得csin∠ADB=ADsin B ，（方法技巧：已知两边及一边所对的角求另一边所对的角时，选用正弦定理）
所以sin B=ADsin∠ADBc=2114 ，
所以cs B=1-sin2B=5714 .
所以tan B=sin Bcs B=35 ．
（2） 若b2+c2=8 ，求b ,c .
[答案]因为D 为BC 的中点，所以BD=DC ．
因为∠ADB+∠ADC=π ，所以cs∠ADB=-cs∠ADC ，
则在△ABD 与△ADC 中，由余弦定理，得AD2+BD2-c22AD⋅BD=-AD2+DC2-b22AD⋅DC ，（方法技巧：在求边时，常根据两角互补，其余弦值互为相反数，并结合余弦定理建立方程求解）
得1+BD2-c2=-1+BD2-b2 ，
所以2BD2=b2+c2-2=6 ，所以BD=3 ，所以a=23 .
在△ABC 中，由余弦定理，得cs∠BAC=b2+c2-a22bc=8-122bc=-2bc ,
所以S△ABC=12bcsin∠BAC=12bc1-cs2∠BAC=12bc1--2bc2=12b2c2-4=3 ，
解得bc=4 .
则由bc=4,b2+c2=8, 解得b=c=2 ．
4. [2022新高考卷Ⅰ，12分]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cs A1+sin A=sin 2B1+cs 2B .
（1） 若C=2π3 ,求B ；
[答案]因为cs A1+sin A=sin 2B1+cs 2B ，所以cs A1+sin A=2sin Bcs B2cs2B ，
易知cs B≠0 ,所以cs A1+sin A=sin Bcs B ，
所以cs Acs B=sin B+sin Asin B ，
所以csA+B=sin B ，所以sin B=-cs C=-cs 2π3=12 .
因为B∈0,π3 ，所以B=π6 .
（2） 求a2+b2c2 的最小值.
[答案]由（1）得csA+B=sin B ，
所以sin[π2-A+B]=sin B ，且0所以0所以π2-A+B=B ，解得A=π2-2B ，
由正弦定理得a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=sin2π2-2B+sin2B1-sin2B=cs22B+sin2Bcs2B=2cs2B-12+1-cs2Bcs2B=4cs4B-5cs2B+2cs2B=4cs2B+2cs2B-5≥24cs2B×2cs2B-5=42-5 ，当且仅当cs2B=22 时取等号，
所以a2+b2c2 的最小值为42-5 .
5. [2021新高考卷Ⅱ，12分]在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,b=a+1 ,c=a+2 .
（1） 若2sin C=3sin A ，求△ABC 的面积；
[答案]由2sin C=3sin A 及正弦定理，得2c=3a ．
又c=a+2 ，所以a=4 ,c=6 ，
所以b=a+1=5 ．
由余弦定理，得cs A=b2+c2-a22bc=25+36-162×5×6=34 ，
又A∈0,π ,所以sin A=74 ，
所以S△ABC=12bcsin A=12×5×6×74=1574 ．
（2） 是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求a ；若不存在，说明理由.
[答案]由题意，知c>b>a ，
要使△ABC 为钝角三角形，
需cs C=a2+b2-c22ab=a2+a+12-a+222×a×a+1=a-32a<0 ，
得0因为a 为正整数，
所以a=1 或a=2 ．
当a=1 时，b=2 ,c=3 ，此时不能构成三角形；
当a=2 时，b=3 ,c=4 ，满足题意．
综上，存在正整数a=2 ，使得△ABC 为钝角三角形．
6. [2021北京，13分]已知在△ABC 中，c=2bcs B ，C=2π3 .
（Ⅰ） 求B 的大小；
[答案]因为在△ABC 中，c=2bcs B ,所以由正弦定理,得sin C=2sin Bcs B ,又C=2π3 ，所以sin 2B=32 .因为B∈0,π3 ，
所以2B∈0,2π3 ，所以2B=π3 ,则B=π6 .
（Ⅱ） 在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长度.
①c=2b ；②周长为4+23 ；③面积S△ABC=334 .
[答案]由（Ⅰ）知，C=2π3 ，B=π6 ，所以A=π-B-C=π6 ,即△ABC 是等腰三角形，且a=b ，c2=a2+b2-2abcs C=3b2 ，即c=3b .
条件①c=2b 与c=3b 矛盾，故条件①不成立，所以不能选择条件①.
若选条件②周长为4+23 ，则a+b+c=2b+3b=4+23 ，解得b=2 ，此时△ABC 存在且唯一确定，所以条件②满足题意.
如图,设D 为BC 的中点，连接AD ，在△ACD 中，AC=2 ,CD=1 ,C=2π3 ,
由余弦定理，得AD2=AC2+CD2-2AC⋅CD⋅cs C=4+1-2×2×1×-12=7 ，
即AD=7 ，所以BC 边上的中线的长度为7 .
若选条件③面积S△ABC=334 ,则12absin C=34b2=334 ，解得b=3 ，此时△ABC 存在且唯一确定，所以条件③满足题意.
设D 为BC 的中点，连接AD ，在△ACD 中，AC=3 ,CD=32 ,C=2π3 ,
由余弦定理，得AD2=AC2+CD2-2AC⋅CD⋅cs C=3+34-2×3×32×-12=214 ，
即AD=212 ，所以BC 边上的中线的长度为212 .
7. [2020新高考卷Ⅰ，10分]在①ac=3 ,②csin A=3 ,③c=3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在△ABC ，它的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin A=3sin B ,C=π6 , ?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[答案]方案一：选条件①.
由C=π6 和余弦定理得a2+b2-c22ab=32 .
由sin A=3sin B 及正弦定理得a=3b .
于是3b2+b2-c223b2=32 ,由此可得b=c .
由①ac=3 ,解得a=3 ,b=c=1 .
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=1 .
方案二：选条件②.
由C=π6 和余弦定理得a2+b2-c22ab=32 .
由sin A=3sin B 及正弦定理得a=3b .
于是3b2+b2-c223b2=32 ，由此可得b=c ,B=C=π6 ，A=2π3 .
由②csin A=3 ,解得c=b=23 ,a=6 .
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=23 .
方案三：选条件③.
由C=π6 和余弦定理得a2+b2-c22ab=32 .
由sin A=3sin B 及正弦定理得a=3b .
于是3b2+b2-c223b2=32 ，由此可得b=c .
由③c=3b ，得其与b=c 矛盾.
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
8. [2020北京，13分]在△ABC 中，a+b=11 ,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a 的值；
（Ⅱ）sin C 和△ABC 的面积.
条件①：c=7 ,cs A=-17 ;
条件②：cs A=18 ,cs B=916 .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
[答案]选①
（Ⅰ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A ，条件b=11-a ,c=7 ,
得a2=11-a2+49-211-a×7×-17 ,∴a=8 .
（Ⅱ）∵cs A=-17 ,A∈0,π ,∴sin A=437 .
由正弦定理asin A=csin C ，得sin C=csin Aa=7×4378=32 ,
由（Ⅰ）知b=11-a=3 ，
∴S△ABC=12absin C=12×8×3×32=63 .
选②
（Ⅰ）∵cs A=18 ,∴A∈0,π2 ,sin A=378 .
∵cs B=916 ,∴B∈0,π2 ,sin B=5716 .
由正弦定理asin A=bsin B ，得a378=11-a5716 ,∴a=6 .
（Ⅱ）sin C=sinπ-A-B=sinA+B=sin Acs B+cs Asin B=74 .
∵a+b=11 ,a=6 ,
∴b=5 .
∴S△ABC=12absin C=12×6×5×74=1574 .