专题七 复数-2024五年高考题分类训练（数学）

这是一份专题七 复数-2024五年高考题分类训练（数学），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

题组
一、选择题
1. [2023新高考卷Ⅰ，5分]已知z=1−i2+2i ，则z−z= ( A )
A. −i B. i C. 0D. 1
[解析]因为z=1−i2+2i=1−i221+i1−i=−12i ，所以z=12i ，所以z−z=−12i−12i=−i .故选A .
2. [2023新高考卷Ⅱ，5分]在复平面内，1+3i3−i 对应的点位于( A )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
[解析]因为1+3i3−i=3−i+9i−3i2=6+8i ，所以该复数在复平面内对应的点为6,8 ，位于第一象限，故选A .
3. [2023全国卷乙，5分]设z=2+i1+i2+i5 ,则z= ( B )
A. 1−2i B. 1+2i C. 2−i D. 2+i
[解析]z=2+i1+i2+i5=2+i1−1+i=−i2+i−i2=1−2i ，所以z=1+2i ，故选B .
4. [2023全国卷甲，5分]设a∈R ，a+i1−ai=2 ，则a= ( C )
A. −2 B. −1 C. 1D. 2
[解析]∵a+i1−ai=a+i−a2i−ai2=2a+1−a2i=2 ,∴2a=2 且1−a2=0 ，解得a=1 ，故选C .
5. [2022新高考卷Ⅱ，5分]2+2i1−2i= ( D )
A. −2+4i B. −2−4i C. 6+2i D. 6−2i
[解析]2+2i1−2i=2−4i+2i+4=6−2i ，故选D ．
6. [2022北京，4分]若复数z 满足i⋅z=3−4i ,则z= ( B )
A. 1B. 5C. 7D. 25
[解析]依题意可得z=3−4ii=3−4iii2=−4−3i ，所以z=−42+−32=5 ，故选B .
7. [2022新高考卷Ⅰ，5分]若i1−z=1 ,则z+z= ( D )
A. −2 B. −1 C. 1D. 2
[解析]因为i1−z=1 ，所以z=1−1i=1+i ，所以z=1−i ，所以z+z=1+i+1−i=2 ．故选D ．
8. [2022全国卷甲，5分]若z=−1+3i ，则zzz−1= ( C )
A. −1+3i B. −1−3i C. −13+33i D. −13−33i
[解析]zzz−1=−1+3i−1+3i−1−3i−1=−1+3i3=−13+33i ，故选C .
9. [2022全国卷乙，5分]已知z=1−2i ,且z+az+b=0 ,其中a ，b 为实数，则( A )
A. a=1 ,b=−2 B. a=−1 ,b=2 C. a=1 ,b=2 D. a=−1 ,b=−2
[解析]由题意知z−=1+2i ，所以z+az−+b=1−2i+a1+2i+b=a+b+1+2a−2i=0 ，所以a+b+1=0,2a−2=0, 解得a=1,b=−2, 故选A .
10. [2021新高考卷Ⅰ，5分]已知z=2−i ，则zz+i= ( C )
A. 6−2i B. 4−2i C. 6+2i D. 4+2i
[解析]因为z=2−i ，所以zz+i=2−i2+2i=6+2i ，故选C .
11. [2021全国卷乙，5分]设2z+z+3z−z=4+6i ，则z= ( C )
A. 1−2i B. 1+2i C. 1+i D. 1−i
[解析]设z=a+bia,b∈R ，则z=a−bi ,代入2z+z+3z−z=4+6i ，可得4a+6bi=4+6i ,所以a=1 ，b=1 ，故z=1+i .故选C .
12. [2020全国卷Ⅲ，5分]复数11−3i 的虚部是( D )
A. −310 B. −110 C. 110 D. 310
[解析]11−3i=1+3i1+3i1−3i=1+3i10=110+310i ,所以虚部为310 .
【方法技巧】 确定复数的实部和虚部，首先要利用复数的运算法则将复数化为z=a+bi ,a ,b∈R 的形式，其中a 是实部，b 是虚部.
13. [2020浙江，4分]已知a∈R ,若a−1+a−2i （i 为虚数单位）是实数，则a= ( C )
A. 1B. −1 C. 2D. −2
[解析]因为a−1+a−2i 是实数，所以a−2=0 ，所以a=2 .故选C .
14. [2020全国卷Ⅰ，5分]若z=1+i ,则z2−2z= ( D )
A. 0B. 1C. 2 D. 2
[解析]解法一 ∵z=1+i ，∴z2−2z=1+i2−21+i=2i−2i−2=−2=2 ．故选D ．
解法二 ∵z=1+i ，∴z2−2z=zz−2=2×−1+i=2×2=2 .故选D ．
【方法技巧】 求解此类题需过好双关：一是“运算关”，即熟练掌握复数的四则运算； 二是“概念关”，即明晰复数的模的概念.若能利用性质：z1z2=z1z2,z1z2=z1⋅z2 ，则可提升求解速度．
15. [2019全国卷Ⅰ，5分]设复数z 满足z−i=1 ，z 在复平面内对应的点为x,y ，则( C )
A. x+12+y2=1 B. x−12+y2=1 C. x2+y−12=1 D. x2+y+12=1
[解析]解法一 ∵z 在复平面内对应的点为x,y ，∴z=x+yix,y∈R.∵z−i=1 ，∴x+y−1i=1 ，∴x2+y−12=1 ．故选C ．
解法二 在复平面内，点1,1 所对应的复数z=1+i 满足z−i=1 ，但点1,1 不在选项A ，D 的圆上，∴ 排除A ，D ；在复平面内，点0,2 所对应的复数z=2i 满足z−i=1 ，但点0,2 不在选项B 的圆上，∴ 排除B ．选C ．
【速解】 ∵z−i=1 表示复数z 在复平面内对应的点x,y 到点0,1 的距离为1，∴x2+y−12=1 ．故选C．
二、填空题
16. [2023天津，5分]已知i 是虚数单位，化简 5+14i2+3i 的结果为4+i .
[解析]5+14i2+3i=5+14i2−3i2+3i2−3i=10−15i+28i+4213=52+13i13=4+i .
17. [2020全国卷 Ⅱ，5分]设复数z1 ,z2 满足z1=z2=2 ,z1+z2=3+i ,则z1−z2= 23 .
[解析]解法一 设z1=x1+y1ix1,y1∈R ，z2=x2+y2ix2,y2∈R ，则由z1=z2=2 ，得x12+y12=x22+y22=4 ．因为z1+z2=x1+x2+y1+y2i=3+i ，所以z1+z22=x1+x22+y1+y22=x12+y12+x22+y22+2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+2y1y2=32+12=4 ，所以2x1x2+2y1y2=−4 ，所以z1−z2=x1−x2+y1−y2i=x1−x22+y1−y22=x12+y12+x22+y22−2x1x2−2y1y2=8+4=23 .
解法二 设z1=a+bia,b∈R ，则z2=3−a+1−bi ，则∣z1∣2=a2+b2=4,∣z2∣2=3−a2+1−b2=4, 即a2+b2=4,3a+b=2, 所以z1−z22=2a−32+2b−12=4a2+b2−43a+b+4=4×4−4×2+4=12 ，所以z1−z2=23 ．
【速解】 题设可等价转化为向量a ,b 满足a=b=2 ，a+b=3,1 ，求a−b ．因为a+b2+a−b2=2a2+2b2 ，所以4+a−b2=16 ，所以a−b=23 ，即z1−z2=23 ．