湖南省长沙市德成学校2023-2024学年七年级下册第一次月考数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市德成学校2023-2024学年七年级下册第一次月考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在下列实数中，无理数是（ ）
A．B．C．0D．2.5
2．如图，直线a，b被直线c所截，若，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．110°
3．如图，∠1和∠2是对顶角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．同旁内角相等，两直线平行
C．钝角没有余角D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
6．下列图标中，由一个基本图形通过平移设计得到的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
8．如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（ ）
A．B．
C．D．
9．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，下列能判定的条件有（ ）
①；②；③；④．

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．命题“两直线平行，内错角相等”表示成“如果…那么…”的形式是：如果 ，那么 ．
12．若，则 ．
13．若，那么邻补角的度数为 ．
14．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为 ．
15．对于任意两个不相等的实数、，定义一种新运算“”如下：，如：．那么 ．
16．如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，若三角板不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板．当 时，．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．计算：
(1)求的值：；
(2)
18．如图，，证明：，请将说明过程填写完整．
证明：，（___________）
___________，（___________）
（已知）
∴___________．（___________）
∴．
∴．（___________）
19．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
（2）若∠AOD=3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．
20．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
21．如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．试说明CD⊥AB．
22．实数在数轴上的位置如图所示，请化简：．
23．已知的算术平方根是3，的立方根是2．
(1)求m，n的值；
(2)求的平方根．
24．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
(1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；
(2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
(3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．
25．已知，直线，点为平面上一点，连接与．

(1)如图，点在直线、之间，当，时，求．
(2)如图，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数求解即可．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、2.5是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：B．
2．C
【分析】由，∠1＝70°，可得 从而可得答案．
【解答】解：∵，∠1＝70°，
∴
故选C
【点拨】本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．
3．D
【分析】根据对顶角的定义结合具体图形进行判断即可．
【解答】解：根据对顶角的定义，一个角的两条边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角，
观察图形，只有图D中的∠1和∠2是对顶角，
故选：D．
【点拨】本题考查对顶角，理解对顶角的定义是正确判断的前提．
4．C
【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，根据算术平方根、立方根、平方根的运算法逐项判断即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【解答】解：A、，故原选项计算正确，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，符合题意；
D、，故原选项计算正确，不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】本题考查的是命题的真假判断，平行线的判定、余角的概念、平行公理、实数的乘方，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
【解答】解：A、当，时，，，故本选项是假命题，不符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、钝角没有余角，是真命题，符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
6．D
【分析】利用平移的定义分析即可．
【解答】A.可以通过旋转得到，故A选项不符合题意；
B. 可以通过旋转得到，故B选项不符合题意；
C. 可以通过轴对称变换得到，故C选项不符合题意；
D. 可以通过平移得到，故D选项符合题意．
故选：D
【点拨】本题考查了利用平移设计图案，准确理解平移的定义是解决本题的关键．
7．B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数与数轴等知识点，能估算出的范围是解此题的关键．先估算出的范围，再求出的范围，再根据数轴得出选项即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
即，
从数轴可知：N点符合，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了余角和对顶角的性质，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．根据对顶角和余角的性质即可判断．
【解答】解：A、∠α与∠β互余，但不一定相等，故本选项符合题意；
B、根据同角的余角相等，则和一定相等，故本选项不合题意；
C、根据等角的余角相等，则和一定相等，故本选项不合题意；
D、根据对顶角相等，则和一定相等，故本选项不合题意；
故选：A．
9．A
【分析】本题考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解决本题的关键．根据算术平方根、平方根解决此题．
【解答】解：∵25的算术平方根为，5是有理数，
∴取5的平方根，是无理数．
∴输出y值是．
故选：A．
10．C
【分析】根据平行线的判定方法对各说法逐一判断即可．
【解答】解：①∵，∴，故①符合题意；
②∵，∴，故②不符合题意；
③∵，∴，故③符合题意；
④∵，∴，故④符合题意；
综上分析可知，有3个符合题意，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
11． 两条直线平行 两直线被第三条直线所截形成的内错角相等
【分析】根据命题是由根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论改写即可．
【解答】解：命题是由根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论，
故“两直线平行，内错角相等”表示成“如果…那么…”的形式是：如果两条直线平行，那么两直线被第三条直线所截形成的内错角相等．
故答案为：两条直线平行，两直线被第三条直线所截形成的内错角相等。
【点拨】本题考查命题的改写．掌握命题是由题设和结论两部分组成是解题的关键．
12．
【分析】本题考查的是非负数的性质和算术平方根．先根据非负数的性质求出、的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
13．##144度
【分析】本题考查了邻补角的性质，根据邻补角互补解答即可．掌握邻补角的性质是解题的关键．
【解答】解：，
邻补角的度数为：．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．
根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为：．
15．##
【分析】主要考查了新定义的实数的运算．根据新定义的运算法则得出．
【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了平行线的判定，角的和差等，分两种情况进行讨论，画出图形，根据两直线平行，内错角相等及角的和差进行计算即可，熟练掌握知识点，运用分类讨论的思想是解题的关键．
【解答】分两种情况，讨论如下：
①如图1所示，
当时，，
∴；
②如图2所示，

当时，，
∴；
故答案为：或．
17．(1)，
(2)
【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程、立方根、算术平方根、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用平方根定义解方程即可得出答案；
（2）先计算立方根、绝对值、算术平方根，再计算加减即可．
【解答】（1）解：，
，
解得：，；
（2）解：
．
18．已知；；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行；等量代换
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质证明即可，熟记平行线的判定定理与性质定理是解此题的关键．
【解答】证明：，（已知）
，（两直线平行，同位角相等）
（已知）
∴．（同旁内角互补，两直线平行）
∴．
∴．（等量代换），
故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行；等量代换．
19．（1）90° （2）45°；135°
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠1+∠AOC=90°，再求出∠2+∠AOC=90°，然后根据平角等于180°列式求解即可；
（2）根据垂直的定义可得∠AOM=∠BOM=90°，然后列方程求出∠1，再根据余角和邻补角的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠1+∠AOC=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠NOC=∠2+∠AOC=90°，
∴∠NOD=180°-∠NOC=180°-90°=90°；
（2）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠BOM=90°，
∵∠AOD=3∠1，∠AOD=
，整理，得 ，
∠1+∠AOC=90°，

，
【点拨】本题考查了垂线的定义，邻补角的定义，熟记概念并准确识图，找准各角之间的关系是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）根据平行线的性质可以得到，进而可得与的位置关系；
（2）设，则，根据，可得，根据平分，可得，然后列出方程求出的值，进而可得的度数．
【解答】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）设，则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．见解析
【分析】根据DG⊥BC，AC⊥BC，得出，根据平行线的性质得出，由已知，等量代换得到，进而证明，根据EF⊥AB，可得CD⊥AB．
【解答】解：∵DG⊥BC，AC⊥BC，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵EF⊥AB，
∴CD⊥AB．
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
22．
【分析】本题考查了根据数轴判断式子的正负、化简绝对值、二次根式的性质，由数轴得出，，再根据绝对值的意义和二次根式的性质化简即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【解答】解：由数轴可得：，，
，，
．
23．(1)，；
(2)的平方根是．
【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的知识．
（1）由于的算术平方根是3，则；的立方根是2，则，联立解方程即可；
（2）根据（1）中、的值，代入可得16，然后求平方根即可．
【解答】（1）解：的算术平方根是3，
，
解得：；
又的立方根是2，
，
即，
解得：，
，；
（2）解：由（1），，
，
的平方根是．
24．(1)，
(2)2或
(3)
【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可；
（2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可；
（3）利用非负性求出的值，再进行求解即可．
【解答】（1）解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
（2）∵无理数“青一区间”为，
∴，
∴，即，
∵无理数的“青一区间”为，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴的值为2或．
（3）∵
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴的“青一区间”为．
【点拨】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键．
25．(1)
(2)；理由见解析
(3)；理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
（1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；
（2）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（3）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．
【解答】（1）解：如图1，过P作，

∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：．理由如下：
如图2，过K作，

∵，
∴，
∴，，
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图3，过K作，

∵，
∴，
∴，，
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴．