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2024八年级数学下册第6章特殊平行四边形综合素质评价试卷(附解析鲁教版五四制)
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这是一份2024八年级数学下册第6章特殊平行四边形综合素质评价试卷(附解析鲁教版五四制),共12页。
第六章综合素质评价一、选择题(每题3分,共36分)1.【2023·济南期末】菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )A.四条边相等,四个角相等 B.对角线相等C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分2.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AC=16,则OD等于( )A.16 B.12 C.10 D.83.【2023·烟台期末】如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若AB=5,AC=6,则BD的长为( )A.4 B.6 C.7 D.84.【2023·泰安泰山区期末】如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB的度数是( )A.20° B.30° C.50° D.22.5°5.如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5, BC=8,则EF的长为( )A.2 B.1.5 C.2.5 D.36.在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.如果再添加一个条件可推出四边形ABCD是正方形,那么这个条件可以是( )A.AB=CD B.BC=CD C.∠D=90° D.AC=BD7.【2023·潍坊安丘市期末】如图,在△ABC中,点D在BC上,DE∥AC,DF∥AB,下列四个判断中不正确的是( ) A.四边形AEDF是平行四边形B.若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形C.若AD⊥BC且AB=AC,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是矩形8.如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任意一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于点F,则阴影部分的面积是( )A.10 B.7.5 C.5 D.2.59.如图,小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具,他先把活动学具做成图①所示的菱形,并测得∠B=60°,点A,C之间的距离是1 cm,接着把活动学具做成图②所示的正方形,则图②中点A,C之间的距离为( )A.eq \r(2)cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm10.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD于点E, ∠DAE=2∠BAE,AB=2,则OE的长为( )A.1 B.eq \r(3) C.2 D.eq \f(\r(3),2)11.如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F,G与点C的距离分别为d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为( )A.eq \r(2) B.2 C.eq \r(8) D.412.【2023·济南章丘区月考】如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,过点B作BF⊥AC交CD于点F,交AC于点M,过点D作DE∥BF交AB于点E,交AC于点N,连接FN,EM.则下列结论:①DN=BM;②EM∥FN;③AE=CM;④当AO=AD时,四边形DEBF是菱形.其中,正确结论的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(每题3分,共18分)13.如图,在菱形ABCD中,E为CD的中点,菱形ABCD的周长为32,则OE=________.14.【2023·滨州二模】如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC和AC边的中点,请添加一个条件:________,使四边形BEFD为矩形. 15.如图,将正方形OACD放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点D的坐标为(3,4),则点A的坐标为________.16.【2023·内江】出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形,任意切成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则 EF+EG=________.17.如图,在△ABC中,∠ACB =90°,AD是△ABC的角平分线,分别以点A,D为圆心,大于eq \f(1,2)AD的长为半径作弧,两弧交于点M,N,作直线MN,分别交AB,AC于点E,F,连接DE,DF,若△CDF的周长为12,AC=8,则四边形AEDF的面积为________.18.【2023·天津】如图,在边长为3的正方形ABCD的外侧,作等腰三角形ADE,EA=ED=eq \f(5,2).(1)△ADE的面积为________.(2)若F为BE的中点,连接AF并延长,与CD相交于点G,则AG的长为________.三、解答题(19~21题每题8分,22~24题每题10分,25题12分,共66分)19.【2023·济南长清区期末】如图,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,求证:AE=AF.20.【2023·怀化】如图,矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.(1)证明:△BOF≌△DOE.(2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.21.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB的中点,DE∥AC, CE∥AD,连接BE,CD.求证:四边形CDBE是正方形. 22.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.求证:(1)四边形ADEF是平行四边形.(2)∠DHF=∠DEF.23.【2022·泰州】如图,线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.(1)求证:AF与DE互相平分.(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时,四边形ADFE为矩形?请说明理由.24.【2023·枣庄薛城区月考】如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M,N,与边AD交于点E,垂足为点O.(1)求证:△AOM≌△CON.(2)若AB=3,AD=6,求AE的长.25.如图①,在正方形ABCD中,点P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F,(1)证明:PC=PE.(2)求∠CPE的度数.(3)如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,连接CE,当 ∠ABC=120°时,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.答案一、1.D2.D 【点拨】∵在矩形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,∴AC=BD,OD=eq \f(1,2)BD.∵AC=16,∴OD=eq \f(1,2)BD=eq \f(1,2)AC=8.3.D 【点拨】∵四边形ABCD是菱形,AC=6,∴OA=OC=3,OB=OD, AC⊥BD.在Rt△AOB中,根据勾股定理,得OB=eq \r(AB2-OA2)=eq \r(52-32)=4,∴BD=2OB=8.4.D 【点拨】∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,∴∠CAB=eq \f(1,2)∠DAB=45°.∵四边形AEFC是菱形,AF是对角线,∴∠FAB=eq \f(1,2)∠CAB=22.5°.5.B 【点拨】∵DE为△ABC的中位线,BC=8,∴DE=eq \f(1,2)BC=4,点D是AB的中点.∵∠AFB=90°,AB=5,∴DF=eq \f(1,2)AB=2.5. ∴EF=DE-DF=4- 2.5=1.5.6.B7.D 【点拨】因为DE∥CA,DF∥BA,所以四边形AEDF是平行四边形,故A正确;若∠BAC=90°,则▱AEDF是矩形,故B正确;若AD⊥BC且AB=AC,则▱AEDF是菱形,故C正确;由AD平分∠BAC,易知AE=DE,所以▱AEDF是菱形,故D错误.8.D 【点拨】设EF交AC于点O,易得四边形AEPF是平行四边形, ∴S△AOE=S△POF.∴S阴影=eq \f(1,2)S菱形ABCD=eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×2×5=2.5.9.A 【点拨】如图①,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC.∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=1 cm.如图②,连接AC,∵四边形ABCD是正方形,∴BC=AB=1 cm,∠B=90°,∴AC=eq \r(12+12)=eq \r(2)(cm).10.A 【点拨】∵∠DAE=2∠BAE, ∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°,∴∠BAE=30°, ∠DAE=60°.∵AE⊥BD,∴∠ADB=30°.∵AB=2,∴BD=2AB=4, BE=eq \f(1,2)AB=1.∵四边形ABCD是矩形,∴OB=eq \f(1,2)BD=2,∴OE=OB-BE=1.11.C 【点拨】如图,连接AE,CG,CF,∵四边形DEFG是正方形,∴∠EDG=90°,EF=DE=DG.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠ADE=∠CDG,∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG,∴d1+d2+d3=EF+ CF+AE,∴点A,E,F,C在同一条直线上时,EF+CF+AE最小,即d1+d2+d3最小.连接AC,∴d1+d2+d3的最小值为AC的长,在Rt△ABC中, AC=eq \r(22+22)=eq \r(8),∴d1+d2+d3的最小值为eq \r(8).12.C 【点拨】∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD∥CB,AD=BC, ∠DAE=∠BCF=90°,OD=OA,∴∠DAN=∠BCM.∵BF⊥AC,DE∥BF,∴DE⊥AC,∠BMC=90°,∴∠DNA=90°=∠BMC.在△DNA和△BMC中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAN=∠BCM,,∠DNA=∠BMC,AD=BC,)),∴△DNA≌△BMC(AAS),∴DN=BM,∠ADE=∠CBF,故①正确.在△ADE和△CBF中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADE=∠CBF,,AD=BC,,∠DAE=∠BCF,))∴△ADE≌△CBF(ASA),∴AE=FC,DE=BF.∵CF>CM,∴AE>CM,故③错误.∵DE=BF,DN=BM,∴DE-DN=BF-BM,即NE=MF.又∵DE∥BF,∴四边形NEMF是平行四边形,∴EM∥FN,故②正确.∵AB=CD,AE=CF,∴BE=DF. 又∵DE=BF,∴四边形DEBF是平行四边形.∵AO=AD,OA=OD,∴AO= AD=OD,∴△AOD是等边三角形,∴∠ADO=∠DAN=60°,∴∠ABD= 90°-∠ADO=30°. ∵DE⊥AC,AD=OD,∴∠ADN=∠ODN=30°, ∴∠ODN=∠ABD,∴DE=BE,∴▱DEBF是菱形,故④正确.故正确结论的个数是3.二、13.4 【点拨】∵菱形ABCD的周长为32,∴菱形ABCD的边长为8,即 AD=8.∵四边形ABCD为菱形,∴O为AC的中点.∵E为CD的中点, ∴OE=eq \f(1,2)AD=4.14.AB⊥BC(答案不唯一) 【点拨】∵D,E,F分别是AB,BC和AC边的中点,∴DF,EF都是△ABC的中位线,∴DF∥BC,EF∥AB,∴四边形BEFD为平行四边形.当AB⊥BC时,∠B=90°,∴平行四边形BEFD为矩形.15.(-4,3) 【点拨】如图,过点A作AB⊥x轴于点B,过点D作DE⊥x轴于点E,则∠OAB+∠AOB=90°. ∵四边形OACD是正方形,∴OA=OD, ∠AOD=90°,∴∠DOE+∠AOB=90°,∴∠OAB=∠DOE. 在△AOB和△ODE中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABO=∠OED=90°,,∠OAB=∠DOE,,AO=OD,))∴△AOB≌△ODE(AAS),∴AB=OE,OB=DE. ∵点D的坐标为(3,4), ∴OE=3,DE=4.∵点A在第二象限,∴点A的坐标为(-4,3).16. eq \f(60,13) 【点拨】连接OE,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BC= AD=12,AO=CO=BO=DO.∵AB=5,∴AC=eq \r(AB2+BC2)=13,∴OB= OC=eq \f(13,2).∵S△BOC=S△BOE+S△COE=eq \f(1,2)×eq \f(13,2)EG+eq \f(1,2)×eq \f(13,2)EF,S△BOC=eq \f(1,2)S△ABC=eq \f(1,2)× eq \f(1,2)×5×12=15,∴eq \f(1,2)×eq \f(13,2)EG+eq \f(1,2)×eq \f(13,2)EF=15,∴EG+EF=eq \f(60,13).17.20 【点拨】由题可知MN是线段AD的垂直平分线,∴AF=FD,AE=ED,AD⊥EF.∵AD是△ABC的角平分线,∴∠EAD=∠FAD,∴∠AFE=∠AEF,∴AF=AE,∴AF=FD=AE=ED,∴四边形AEDF是菱形.∵△CDF的周 长=CD+DF+CF=CD+AF+CF=AC+CD=12,AC=8,∴CD=4.设AF=FD=x,则CF=8-x.∵在Rt△CDF中,FC2+CD2=FD2,∴(8-x)2+42=x2,解得x=5,∴S四边形AEDF=AF·CD=5×4=20.18.(1)3 (2)eq \r(13) 【点拨】(1)如图,过E作EM⊥AD于M, ∵EA=ED=eq \f(5,2), AD=3,∴AM=DM=eq \f(1,2)AD=eq \f(3,2),∴EM=eq \r(AE2-AM2)=2,∴△ADE的面积为 eq \f(1,2)AD·EM=eq \f(1,2)×3×2=3.(2)如图,延长EM交AG于N,交BC于P,∵四边形ABCD是正方形, ∴AB∥CD,∠BAD=∠ABC=90°.∵EM⊥AD,∴∠AMP=90°,∴四边形ABPM是矩形, ∴PM=AB=3,AB∥EP,∴PM∥CD,EP=5,∠ABF=∠NEF. ∵F为BE的中点,∴BF=EF.在△ABF和△NEF中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABF=∠NEF,,BF=EF,,∠AFB=∠NFE,)) ∴△ABF≌△NEF(ASA),∴EN=AB=3,∴MN=1.由PM∥CD,易知AN=NG,∴GD=2MN=2, ∴AG=eq \r(AD2+GD2)=eq \r(13).三、19.【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=DC=AD,∠B=∠D. ∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠CEB=∠CFD=90°.在△BCE和△DCF中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CEB=∠CFD,,∠B=∠D,,BC=DC,))∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,∴AB-BE=AD-DF,即AE=AF.20.【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO.∵点O是BD的中点,∴DO=BO.又∵∠EOD=∠FOB,∴△BOF≌△DOE(ASA).(2)由(1)知△BOF≌△DOE,∴BF=DE.∵AD∥BC,即DE∥BF,∴四边形EBFD是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形.21.【证明】∵DE∥AC, CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形. ∴DE=AC, CE=AD.又∵AC = BC,∴BC = DE.∵D为AB的中点,∴AD=DB,∴CE=DB.又∵CE∥DB,∴四边形CDBE是平行四边形.又∵BC=DE.∴四边形CDBE是矩形.∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=DB.∴四边形CDBE是正方形.22.【证明】(1)∵点D,E分别是AB,BC的中点,∴DE∥AC.同理可得EF∥AB,∴四边形ADEF是平行四边形.(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形,∴∠DAF=∠DEF.在Rt△AHB中, ∵D是AB的中点,∴DH=eq \f(1,2)AB =AD.∴∠DAH=∠DHA.同理可得∠FAH= ∠FHA.∴∠DAH+∠FAH=∠DHA+∠FHA.∴∠DAF=∠DHF.∴∠DHF= ∠DEF.23.(1)【证明】∵DE是△ABC的中位线,∴点D是AB的中点,点E是AC的中点,∴AD=eq \f(1,2)AB.∵AF是△ABC的中线,∴点F是BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥AB,EF=eq \f(1,2)AB,∴EF=AD,∴四边形ADFE是平行四边形,∴AF与DE互相平分.(2)【解】当AF=eq \f(1,2)BC时,四边形ADFE为矩形.理由:∵线段DE为△ABC的中位线,∴DE=eq \f(1,2)BC.∵AF=eq \f(1,2)BC,∴AF=DE.由(1)得四边形ADFE是平行四边形,∴四边形ADFE为矩形.24.(1)【证明】∵MN是AC的垂直平分线,∴AO=CO.∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠M=∠N.在△AOM和△CON中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠M=∠N,,∠AOM=∠CON,,AO=CO,))∴△AOM≌△CON(AAS).(2)【解】如图,连接CE, ∵MN是AC的垂直平分线,∴CE=AE,设AE=CE=x,则DE=6-x.∵四边形ABCD是矩形,∴∠CDE=90°,CD=AB=3.在Rt△CDE中,由勾股定理得CD2+DE2=CE2,即32+(6-x)2=x2,解得x=eq \f(15,4),即AE的长为eq \f(15,4).25.(1)【证明】在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°. 在△ABP和 △CBP中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB=BC,,∠ABP=∠CBP,,PB=PB,))∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC.∵PA=PE,∴PC=PE.(2)【解】由(1)知△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP.∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠DAP=∠DCP.∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E.∵∠CFP=∠EFD,∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,即∠CPE=∠EDF=90°.(3)【解】AP=CE.理由如下:在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP, ∠BAD=∠BCD,∠ADC=∠ABC=120°.在△ABP和△CBP中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB=BC,,∠ABP=∠CBP,,PB=PB,))∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∠BAP=∠BCP, ∴∠DAP=∠DCP.∵PA=PE,∴PC=PE,∠DAP=∠AEP,∴∠DCP=∠AEP.∵∠CFP=∠EFD,∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP,即 ∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°,∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE.
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