陕西省西安市滨河学校2023-2024学年八年级下册第一次月考数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市滨河学校2023-2024学年八年级下册第一次月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

八年级数学
（总分：120分 时间：110分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．在一个直角三角形中，一个锐角等于，则另一个锐角的度数是( )
A．B．C．D．
2．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C． D．
3．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9B．7C．12D．9或12
5．将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50°B．70°C．75°D．80°
7．如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为（ ）

A．B．C．D．
8．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人至少有一本，但不到3本．那么这些图书有（ ）．
A．26本B．25本C．24本D．23本
9．关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为（ ）
A．B．C．0D．7
10．如图，中，，，O为中点，点P在边上，且，点Q为边上一动点，将沿直线翻折，使得点B落在点M，连接，则长的最小值为（ ）
A．1.5B．2C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分）
11．已知：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设 ．
12．如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是 .
13．关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为 ．
14．如图，在中，，，，，以为圆心，为半径画弧，交斜边于点，，则下列说法正确的是 ．（填序号）
①是等边三角形，②，③，④
15．商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．现有27元钱，最多可以购买该商品的件数是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段的中点．若动点C在x轴上，连接，以为直角边，点B为直角顶点作等腰直角，连接，则长度的最小值是 ．
三、解答题（共8小题，共计72分）
17．解不等式：
(1)；
(2)．
18．解不等式组：
(1)；
(2)．
19．已知中，，，请你利用尺规在边上找一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹）

20．已知关于x的方程．
(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
21．在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求度数．
22．已知函数，（m为常数，）．
(1)若点在的图象上，求m的值．
(2)如图，当时，求自变量x的取值范围．
23．为积极响应国家“双减政策”，某校特开展了一系列丰富学生课余生活的活动。活动之一的“艺术周特卖”中，八年级一班购进学习用品类和文娱玩具类商品共200件，在活动中学习用品的平均售卖价为元/件，文娱玩具的平均售价为元/件.
(1)若商品全部售完，营业额为元，其中有多少件学习用品？（用方程或方程组求解）
(2)若购进的商品总价不高于1440元，其中学习用品的平均进价为6元/件，文娱玩具的平均进价为8元/件，商品全部售完，请求出利润最大的采购方案以及最大利润.
24．已知，和都是以为斜边的直角三角形，连接．
(1)如图1，和在两侧时，若，过点D作交CA的延长线于点E．．
①猜想：______；（请填入“＞”、“＝”或“＜”）
②证明：；
(2)如图2，和在同侧时，若，猜想线段AC、BC、CD三者之间的数量关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据直角三角形中两个锐角互余即可求解．
【解答】在一个直角三角形中，一个锐角等于，
∴另一个锐角的度数是：．
故选：A
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中两个锐角互余是解题的关键．
2．D
【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【解答】∵，
∴不一定成立，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，故D符合题意；
故选D．
3．B
【分析】根据所学的定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．
【解答】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补,它是真命题；
②若，则的逆命题是：若，则，它是真命题；
③锐角与钝角互为补角的逆命题是：互补的角是锐角与钝角，它是假命题；
④相等的角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了命题与逆命题，正确把握相关性质是解题关键．
4．C
【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故选：C．
5．B
【分析】直接在数轴上表示两个不等式的解集即可．
【解答】解：不等式组的解集为无解，
在数轴上表示为：．
故选：B．
【点拨】本题考查了不等式组的解集在数轴上表示的方法，解题的关键是把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
6．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．
【解答】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，
故选B．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．A
【分析】连接，根据角平分线的性质可得点到三边的距离相等，利用即可求解．
【解答】解：如图，连接，

点是、平分线的交点，
点到三边的距离相等，
设点到边的距离为h，
，，，
根据勾股定理得：，
∴
即，
即，
解得：，
点到边的距离为．
故本题选：A．
【点拨】本题考查角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，三角形的面积被分割成三个小三角形的面积，再进行求解．
8．A
【分析】设有x本图书，有y名同学，根据题意列出方程和不等式，由于x、y只能取正整数，可得到y的值，代入方程求出x的值．
【解答】解：设有x本图书，有y名同学，根据题意得
解得：
∵x、y只能为正整数
∴y=6
则x=3×6+8=26
即有26本图书，
故选 A
【点拨】本题考查了二元一次方程和不等式，利用代入消元法，把方程的一个未知数代入不等式变成一元一次方程求解是解题的关键．
9．D
【分析】分别表示出不等式组两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有2个整数解确定出a的范围，进而求出整数a的值，求出和即可．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为：，
∵关于x的不等式组有且只有2个整数解，
∴，
解得，
∵a为整数，
∴a为3，4，
∴和为，
故选：D．
【点拨】本题考查了根据不等式组的解集求参数，根据不等式的解集得出参数的取值范围是解本题的关键．
10．D
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，连接，根据，进行求解即可．
【解答】解：连接，则：，
∵，，O为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∴；即：的最小值为；
故选D．
11．≠
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此解答．
【解答】解：∠B＝∠C的反面是∠B≠∠C，
故可以假设∠B≠∠C，
故答案为：∠B≠∠C．
【点拨】本题主要考查了反证法的基本步骤，正确确定∠B＝∠C的反面，是解决本题的关键．
12．
【分析】本题考查了一次函数与不等式，与解析式构成不等式解集的关系，确定交点的横坐标，结合不等式，利用数形结合思想解答即可．熟练掌握数形结合思想解决问题是解题的关键．
【解答】解：依题意得：
的解集是：，
故答案为：．
13．
【分析】把两个方程相减，可得，x与y的和不小于5，即可求出答案．
【解答】把两个方程相减，可得
x与y的和不小于5
解得：
k的取值范围为．
故答案为．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式知识点是解题的关键．
14．①③
【分析】根据作图可得，根据等边三角形的判定可判断①；在中利用三边关系定理可判断②；根据等边三角形的性质和的直角三角形可判断③；根据勾股定理可判断④
【解答】解：∵，，
∴，
∵以为圆心，为半径画弧，交斜边于点，，
∴，
∴是等边三角形，故说法①正确；
在中，，，，
∴，故说法②错误；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故说法③正确；
∵，，，，，
∴，
∴，故说法④错误，
∴说法正确的是①③．
故答案为：①③．
【点拨】本题考查尺规作图—作一条线段等于已知线段，等边三角形的判定和性质，勾股定理，的直角三角形，三角形三边关系定理等知识点，掌握等边三角形的判定和性质和直角三角形的性质是解题的关键．
15．10件
【分析】设购买该商品x件，先判断购买件数在5件之上，再根据总价=3×5+3×0.8×超过5件的数量，结合总价不超过27元，即可得出关于x的一元一次不等式，求出x的解集即可得出结论．
【解答】解：设购买该商品x件，
因为共有27元，所以最多购买的件数超过5件，
依题意得：3×5+3×0.8(x-5)≤27，
解得：x≤10，
故答案为：10件．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16．
【分析】作轴且，连接，作轴于点，求出点坐标为，点坐标为，得出，得出点，设点，则，证明得出，，得出，，三点共线，从而得到，得出，再由勾股定理表示出，即可得出答案．
【解答】解：如图，作轴且，连接，作轴于点，
，
直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则，解得，令，，
点坐标为，点坐标为，
，
轴，
，，
点坐标为，
设点，则，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，三点横坐标相同，都为，
，，三点共线，
，
，
点是线段的中点，
，
，
，
当即时，最小，为，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合程度较高，难度大，属于填空题中的压轴题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次不等式：
（1）移项，合并，系数化1，求解即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求解即可．
【解答】（1）解：，
，
，
∴；
（2），
，
，
，
∴．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查求不等式组的解集：
（1）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可．
【解答】（1）解：，
由①，得：；
由②，得：，
∴不等式组的解集为；
（2），
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为．
19．作图见解析
【分析】以为圆心，长为半径画弧交于，则是等边三角形，，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接与交点为，则，，，则，由可得，，则，进而可得，如图，点即为所求．
【解答】解：如图，点即为所求；

【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式：
（1）先求出方程的解，再根据，求出a的取值范围即可；
（2）求出的最大整数解，代入方程，求出a的值即可．
【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，解得：；
（2）解，得：
∴不等式的最大整数解为，
∴当时，，解得：．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据可证明，从而得出答案；
（2）由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
由（1）知：，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】本条考查一次函数与不等式：
（1）将点代入解析式进行求解即可；
（2）图象法求自变量x的取值范围即可．
【解答】（1）解：把代入，得到，
∴；
（2）联立，解得，
∴两条直线的交点的横坐标为，
∵，
∴当时：，解得：，
由图可知：当时，．
23．(1)有件学习用品
(2)利润最大的采购方案是购买件学习用品，购买120件文娱玩具，最大利润为1160元
【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用：
（1）设有件学习用品，文娱玩具有件，根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设利润为元，学习用品有件，则文娱玩具有件，根据数量关系得，根据一元一次不等式得，再根据一次函数的性质得当时，有最大值，最大为，进而可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程组及根据数量关系列出函数表达式是解题的关键．
【解答】（1）解：设有件学习用品，文娱玩具有件，
依题意得：，
解得：，
答：有件学习用品．
（2）设利润为元，学习用品有件，则文娱玩具有件，
依题意得：，
随的增大而减小，
购进的商品总价不高于1440元，
，
解得：，
当时，有最大值，最大为，
，
答：利润最大的采购方案是购买件学习用品，购买120件文娱玩具，最大利润为1160元．
24．(1)①②见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）①根据四边形内角和为和邻补解互补分别证明，可得到；②先证明，可证，可得，利用，，即可证出；
（2）过点D作交于点E，设交于点M，通过证明，得到，利用即可证明．
【解答】（1）解：①，理由：
和是以为斜边的直角三角形
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
②证明：，
，
，
又
，
，
，
，
即，
；
（2）解：过点D作交于点E，设交于点M，
，
，
，
，
，
，
，
且，
，
，
，
即，
．