湖南省长沙市一中城南初级中学2023-2024学年七年级下册第一次月考数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市一中城南初级中学2023-2024学年七年级下册第一次月考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了下列各数，是无理数的为，在平面直角坐标系中，点在，下列各式中运算正确的是，下列运用等式的性质变形正确的是，下列四个命题中，真命题有，我国古代问题等内容，欢迎下载使用。
一．单选题（每题3分）
1．据统计，2024年元旦假期，某市推出多项文旅活动，共接待游客204.58万人次，实现旅游收入14.12亿元．将数据1412000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各数，是无理数的为（ ）
A．0B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．下列各式中运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列运用等式的性质变形正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（ ）
A．30°B．25°C．35°D．40°
8．下列四个命题中，真命题有（ ）
（1）两直线被第三条直线所截，内错角相等；
（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）一个角的余角一定小于这个角的补角；
（4）如果两个角是对顶角，那么它们一定相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（每题3分）
11．若，则的值为 ．
12．比较大小：2 ．（横线上填＞、＜、=）
13．如图，将沿方向平移到，若A，D之间的距离为2，，则的长度为
14．如果，那么约等于 ．
15．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别在M、N的位置上，与的交点为G，若，则 ．
16．如图，E在线段的延长线上，，，，连接交于G，的余角比大，K为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分．则下列结论：
①；
②平分；
③；
④．
其中正确的结论是 ．
三．解答题（17-19每题8分，20-21每题9分，22-24每题10分）
17．（1）计算：；
（2）求下面式子中x的值：．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．已知：的平方根是与，且的算术平方根是3．
(1)求的值；
(2)求的立方根．
20．根据解答过程填空（理由或数学式）：
已知：如图，，，求证：．
证明：（ ），
又（ ），
（ ），
（ ），
．
（ ），
，
（ ），
（ ）．
21．如图，在中，点D，E分别在上，点G，F在CB上，连接．，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．春节即将来临，欢乐百货商场用18000元购进了衬衫和卫衣共200件，已知每件衬衫的进价为100元，每件卫衣的进价为80元．
(1)请问欢乐百货商场购进了衬衫和卫衣各多少件？
(2)最初，该商场以每件160元的价格售出了衬衫40件，并且在进价基础上提价50%销售卫衣，由于款式受欢迎迅速售罄．随后，在迎春大促销期间，商场决定降价销售剩余的衬衫，设降价后每件衬衫的售价为m元，若通过这次促销活动使得衬衫和卫衣全部售出后正好获得8200元利润，请求出m的值．
23．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．
例如：如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．
例如：对连续求根整数次，这时候结果为
(1)仿照以上方法计算： ___________ ； ___________ ；
(2)若，写出满足题意的的整数值___________ ；
(3)对100连续求根整数，___________ 次之后结果为1；
(4)计算：．
24．如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点E在点P的右侧，，，设．
(1)填空：___________；
(2)若的平分线交直线于点H，如图2．
①当时，求的度数；
②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当___________秒时，有．
参考答案与解析
1．C
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【解答】∵，
故选C．
2．D
【分析】根据平移后，两部分能够完全重合，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
B、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
C、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
D、能用其中一部分平移得到，符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查平移的性质．熟练掌握平移后两部分能够完全重合，是解题的关键．
3．B
【分析】根据无理数的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、0是整数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是分数，不是无理数，故本选项不符合题意；
D、是有限小数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：B
【点拨】本题主要考查了无理数，熟练掌握无限不循环小数是是无理数是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查了点的坐标以及象限的特征，根据分别对应的是第一、二、三、四象限进行判断，即可作答．
【解答】解：∵
在平面直角坐标系中，点在第二象限，
故选：B
5．A
【分析】根据平方根的定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就是的平方根；算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就是的算术平方根；立方根的定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就是的立方根；据此判断即可．
【解答】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误与，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的知识，熟记相关定义是解本题的关键．
6．C
【分析】根据等式的基本性质进而判断即可．
【解答】A：若，则，故A不正确，不合题意；
B：若，则，故B不正确，不合题意；
C：若，则，故C正确，符合题意；
D：若，则时，故D不正确，不合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查等式的基本性质，正确把握相关性质是解题的关键．
7．B
【分析】根据AB∥CD，∠3＝130°，求得∠GAB＝∠3＝130°，利用平行线的性质求得∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°，由∠1＝∠2 求出答案即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠3＝130°，
∴∠GAB＝∠3＝130°，
∵∠BAE+∠GAB＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAE＝×50°＝25°．
故选：B．
【点拨】此题考查平行线的性质：两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，熟记性质定理是解题的关键．
8．C
【分析】题主要考查学生对命题与定理的理解及对常用知识点的综合运用能力．根据常用知识点对各个选项进行分析，从而判定真命题的个数．
【解答】解：（1）两直线被第三条直线所截，内错角相等，是假命题；
（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；
（3）一个角的余角一定小于这个角的补角，是真命题；
（4）如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，是真命题；
∴是真命题的有个，
故选：C．
9．A
【分析】设井深为x尺，则绳子长度可以表示为：或，依题意即可求解．
【解答】解：设井深为x尺，依题意得，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了点的坐标，数形结合并发现点运动的坐标规律是解题的关键．根据现有点、、、分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般结论，设点，当n为奇数时，运动了秒，方向向下；当n为偶数时，运动了秒，方向向左；然后利用这个结论算出2024秒的坐标．
【解答】解：粒子所在位置与运动的时间的情况如下：
位置：运动了秒，方向向下，
位置：运动了秒，方向向左，
位置：运动了秒，方向向下，
位置：运动了秒，方向向左；
……
总结规律发现，设点，
当n为奇数时，运动了秒，方向向下；
当n为偶数时，运动了秒，方向向左；
∵，，
∴到处，粒子运动了秒，方向向左，
故到2024秒，须由再向左运动秒，
，
∴2024秒时，这个粒子所处位置为．
故选：A．
11．
【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性求得x，y的值，然后利用立方根的定义即可求得答案．本题考查算术平方根及绝对值的非负性，立方根，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．>
【分析】根据立方根的定义可得，再由，即可求解．
【解答】解：∵，
∴，即，
故答案为：>．
13．7
【分析】本题考查平移的性质．根据平移的性质得到，即可求解．
【解答】解：∵将沿方向平移到，若A，D之间的距离为2，
∴，
∵，
∴．
故答案为：7
14．13.33
【分析】根据立方根的性质，即可解答．
【解答】解：∵，
∴，
故答案为：13.33．
【点拨】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的性质．
15．##70度
【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算，即可求出．
【解答】解：∵长方形对边，
∴，
∴，
由翻折的性质得：，
∴．
故答案为：．
16．①②③④
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的计算等知识点，需熟练掌握．由，得出，于是证得；根据得到，因为，所以，从而得出平分；设，，先根据的余角比大求出的度数，再根据角平分线的定义得出，即，从而求出β，即得出的度数，从而判断即可得出正确的结论．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
即平分，故②正确；
∵的余角比大，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
即，
∴，
解得，
即，故③④正确；
故答案为：①②③④．
17．（1）；（2）或
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，利用平方根解方程：
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用立方根的意义进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
（2）
∴，
∴或，
解得：或．
18．
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则是解决本题的关键．
先利用去括号法则、合并同类项法则化简整式，再代入求值．
【解答】解：
．
当时，
原式．
19．(1)，
(2)2
【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义．
（1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值；
（2）将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案．
熟练掌握其定义及性质是解题的关键．
【解答】（1）解：的平方根是与，且的算术平方根是3，
，，
解得：，；
（2）解：，，
，
的立方根是2．
20．邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质定理证明即可．
【解答】证明：（邻补角定义），
又（已知），
（同角的补角相等），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
故答案为：邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定定理得出即可；
（2）根据平行线的性质得出，，根据求出，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练掌握平行线的性质和判定定理是解此题的关键．
22．(1)欢乐百货商场购进了衬衫100件，卫衣100件
(2)130
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设欢乐百货商场购进了衬衫x件，则购进卫衣件，利用进货总价＝进货单价×进货数量，可列出关于x的一元一次方程，即可求解；
（2）根据总利润＝每件的销售利润×销售数量，可列出关于m的一元一次方程，即可得出结论．
【解答】（1）解：（1）设欢乐百货商场购进了衬衫x件，则购进卫衣件，
根据题意得：，
解得：，
∴（件）．
答：欢乐百货商场购进了衬衫100件，卫衣100件；
（2）解：根据题意得：，
解得：．
答：m的值为130．
23．(1)
(2)
(3)3
(4)625
【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值；
（3）根据定义对进行连续求根整数，可得次之后结果为；
（4）根据根整数的定义分别计算相加，即可得出答案．
【解答】（1）解：；

；
故答案为：．
（2）解：，且为整数，
可以取，
故答案为：．
（3）解：第一次求根整数：，
第二次求根整数：，
第三次求根整数：
故答案为：．
（4）解：


【点拨】本题考查了取整函数、估算无理数的大小、阅读能力和猜想能力，准确的估算无理数的大小是解题关键．
24．(1)
(2)①，②或者
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补以及直角三角形中两锐角互余等知识即可作答；
（2）①先求出，根据，可得，即可得，再根据平分，可得，结合、，可得；②根据①先求出，分类讨论：旋转中，当点旋转至直线上方时，存在，根据运动特点可知，，，根据，即可列方程，解方程问题得解；旋转中，当点旋转至直线下方时，存在，根据运动特点可知，，，同理可列方程，解方程问题得解．
【解答】（1）∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②中有：，，
∵，
∴，
∴初始时，
如图，旋转中，当点旋转至直线上方时，存在，
根据运动特点可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即当秒时，有；
如图，旋转中，当点旋转至直线下方时，存在，
根据运动特点可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即当秒时，有；
综上：当或者秒时，有．
【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义等知识，理解运动的特点，掌握平行线的性质，是解答本题的关键．