人教版七年级数学下册常考提分精练专题28不等式(组)应用之几何问题(原卷版+解析)

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专题27 不等式（组）应用之几何问题【例题讲解】如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．（Ⅰ）直接写出三个点的坐标；（Ⅱ）设两点运动的时间为秒，用含的式子表示运动过程中三角形的面积；（Ⅲ）当三角形的面积的范围小于16时，求运动的时间的范围．【详解】解：（Ⅰ）轴，，，轴，，；（Ⅱ）∵点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒，∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间的取值范围为，点运动到点所用时间为4秒，点运动到点所用时间为，因此，分以下两种情况：①如图，当时，，则三角形的面积为；②当时，如图，过点作，交延长线于点，，，则三角形的面积为，，，综上，当时，三角形的面积为；当时，三角形的面积为；（Ⅲ）①当时，则，解得，则此时的取值范围为；②当时，则，解得，则此时的取值范围为，综上，当三角形的面积的范围小于16时，或．【综合解答】1．小明同学在计算一个多边形（每个内角小于）的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是，则少算了这个内角的度数为________．2．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是_____．3．将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ___________．4．如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2．点Q与点P同时从点A出发，点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动，当P，Q两点相遇时，它们同时停止运动．设Q点运动的时间为（秒），在整个运动过程中，当△APQ为直角三角形时，则相应的的值或取值范围是_________．5．平面直角坐标系中，点A坐标为（2m－3，3m＋2）．(1)若点A在坐标轴上，求m的值：(2)若点A在第二象限内，求m的取值范围．6．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．(1)当时，求的值；(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．7．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，且，满足方程为二元一次方程．（1）求，的坐标．（2）若点为轴正半轴上的一个动点．①如图1，当时，与的平分线交于点，求的度数；②如图2，连接，交轴于点．若成立．设动点的坐标为，求的取值范围．8．△ABC在平面直角坐标系内如图1摆放，A、C两点的横坐标都是5，BC∥x轴．已知B点坐标为(－3，m)，AB交y轴于点D，且AC＝BC．     (1) 填空：BC＝_____；△ABC的面积为______；用m表示点A的坐标为______.(2) 射线BO交直线AC于点Q，若△ABQ的面积为16，试求m的值(3) 如图2，点D在y轴负半轴上，∠BAC的三等分线AP与∠BOD的角平分线OP交于点P，其中∠BAC＝3∠BAP＝45°．若∠P＞2∠B，试求∠BOD的取值范围.9．如图，长方形AOCB的顶点A(m，n)和C(p，q)在坐标轴上，已知和都是方程的解，点B在第一象限内．（1）求点B的坐标（2）将线段AB沿着y轴负半轴方向向下平移6个单位长度到线段EF，点P从点O出发以每秒1个单位长度沿的路线做匀速运动，同时点Q也从点O出发以每秒2个单位长度沿的路线做匀速运动．当点Q运动到点C时，两动点均停止运动，设运动的时间为秒，四边形OPCQ的面积为S．①当时，求的值；②若时，求的取值范围．10．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿运动，最终到达点D，若点Q运动时间为秒．（1）当时， 平方厘米；当时， 平方厘米；（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求的取值范围；（3）若的面积为平方厘米，直接写出值．11．如图，某农场准备用80米的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x米，宽为y米．（1）当y＝22时，求x的值；（2）由于受场地条件的限制，y的取值范围为16≤y≤26，求x的取值范围．12．在平面直角坐标系中，我们规定：点关于“的衍生点”，，其中为常数且，如：点（，）关于“的衍生点”，即，即.（1）求点关于“的衍生点” 的坐标；（2）若点关于“的衍生点” ，求点的坐标；（3）若点在轴的正半轴上，点关于“的衍生点” ，点关于“的衍生点” ，且线段的长度不超过线段长度的一半，请问：是否存在值使得到轴的距离是到轴距离的倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.专题27 不等式（组）应用之几何问题【例题讲解】如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．（Ⅰ）直接写出三个点的坐标；（Ⅱ）设两点运动的时间为秒，用含的式子表示运动过程中三角形的面积；（Ⅲ）当三角形的面积的范围小于16时，求运动的时间的范围．【详解】解：（Ⅰ）轴，，，轴，，；（Ⅱ）∵点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒，∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间的取值范围为，点运动到点所用时间为4秒，点运动到点所用时间为，因此，分以下两种情况：①如图，当时，，则三角形的面积为；②当时，如图，过点作，交延长线于点，，，则三角形的面积为，，，综上，当时，三角形的面积为；当时，三角形的面积为；（Ⅲ）①当时，则，解得，则此时的取值范围为；②当时，则，解得，则此时的取值范围为，综上，当三角形的面积的范围小于16时，或．【综合解答】1．小明同学在计算一个多边形（每个内角小于）的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是，则少算了这个内角的度数为________．【答案】##度【分析】n边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得，则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程，多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角．【详解】解：设多边形的边数是n，依题意有，解得：，则多边形的边数n＝14；多边形的内角和是；则未计算的内角的大小为．故答案为．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．2．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是_____．【答案】-4【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1．则2x﹣1≥﹣3∵x△k＝2x﹣k≥2，∴2x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3，∴k＝﹣4．故答案填：﹣4．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．3．将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ___________．【答案】3或【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：；第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得：∴当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得：解得： ∵∴符合题意；当剩下的正方形边长为：时，得：解得： ∵∴符合题意；∴的值为：3或故答案为：3或．【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解．4．如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2．点Q与点P同时从点A出发，点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动，当P，Q两点相遇时，它们同时停止运动．设Q点运动的时间为（秒），在整个运动过程中，当△APQ为直角三角形时，则相应的的值或取值范围是_________．【答案】0＜≤或x=2．【分析】由题意可得当0＜x≤△AQM是直角三角形，当 ＜x＜2时△AQM是锐角三角形，当x=2时，△AQM是直角三角形，当2＜x＜3时△AQM是钝角三角形．【详解】解：当点P在AB上时，点Q在AD上时，此时△APQ为直角三角形，则0＜x≤；当点P在BC上时，点Q在AD上时，此时△APQ为锐角三角形，则＜x＜2；当点P在C处，此时点Q在D处，此时△APQ为直角三角形，则x=2时；当点P在CD上时，点Q在DC上时，此时△APQ为钝角三角形，则2＜x＜3．故答案是：0＜x≤或x=2．【点睛】本题主要考查矩形的性质和列代数式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质，还要熟练掌握三角形形状的判断，此题难度一般．二、解答题(共0分)5．平面直角坐标系中，点A坐标为（2m－3，3m＋2）．(1)若点A在坐标轴上，求m的值：(2)若点A在第二象限内，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点在x轴上纵坐标为0求解；（2）根据点在第二象限横坐标小于0，纵坐标大于0求解．(1)解：∵点A在x轴上，∴，解得：．(2)∵点A在第二象限内，，解得，．【点睛】此题考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，掌握以上知识是解题的关键．6．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．(1)当时，求的值；(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．【答案】(1)10；(2)．【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=30代入所列式子中求出b的值；（2）由（1）可得a，b之间的关系式，用含有b的式子表示a，再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组即可求出b的取值范围．（1）解：由题意，得，当时，．解得．（2）解：∵，∴，，∴解这个不等式组，得．答：矩形花园宽的取值范围为．【点睛】此题主要考查了列代数式及不等式组的应用，正确理解题意得出关系式及不等式组是解题关键．7．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，且，满足方程为二元一次方程．（1）求，的坐标．（2）若点为轴正半轴上的一个动点．①如图1，当时，与的平分线交于点，求的度数；②如图2，连接，交轴于点．若成立．设动点的坐标为，求的取值范围．【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）①45°；②【分析】（1）根据可得，，，，即可求得a、c的值，坐标可求；2）①作PH∥AD，根据角平分线的定义、平行线的性质计算，得到答案；②连接AB，交y轴于F，根据点的坐标特征分别求出S△ABC、S△ABD，根据题意列出不等式，解不等式即可．【详解】解：（1）由题意得，，，，解得，，，则点的坐标为，点的坐标为；（2）①如图1，作，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵与的平分线交于点，∴，，∴，∵，，∴，，∴； ②连接，交轴于，∵，∴，即，∵，，，∴，过作轴的平行线，作、垂直，交于点、，，，由题意得，，解得，，∵点为轴正半轴上的一个动点，∴．【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义、平行线的性质、坐标与图形性质、三角形的面积计算，一元一次不等式，掌握平行线的性质、三角形面积公式是解题的关键．8．△ABC在平面直角坐标系内如图1摆放，A、C两点的横坐标都是5，BC∥x轴．已知B点坐标为(－3，m)，AB交y轴于点D，且AC＝BC．     (1) 填空：BC＝_____；△ABC的面积为______；用m表示点A的坐标为______.(2) 射线BO交直线AC于点Q，若△ABQ的面积为16，试求m的值(3) 如图2，点D在y轴负半轴上，∠BAC的三等分线AP与∠BOD的角平分线OP交于点P，其中∠BAC＝3∠BAP＝45°．若∠P＞2∠B，试求∠BOD的取值范围.【答案】（1）8，32，(5,m+8)；（2）m= 或m= （3）40°2(45°-2α)解得，α>20°∴∠BOD>40°∵∠BDM >∠BOD,∴∠BOD