北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项15反比例图像实际应用与综合应用(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项15反比例图像实际应用与综合应用(原卷版+解析)，共35页。
【考点1 反比例函数实际应用】
【典例1】如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表
（1）把表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
【变式1-1】某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求0到2小时期间y随x的函数解析式；
（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
【变式1-2】为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【考点1 反比例函数综合应用】
【典例2】如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣1，3），B（3，a）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（2）求S△AOB．
【变式2-1】如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集．
【变式2-2】如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【变式2-3】如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．
（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．
【典例3】矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线EF交x，y轴子点F，E，交反比例函数y＝（x＞0）图象于点C，D，OE＝OF＝5，以CD为边作矩形ABCD，顶点A与B恰好落在y轴与x轴上．
（1）若矩形ABCD是正方形，求CD的长．
（2）若AD：DC＝2：1，求k的值．
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，OC＝3．
（1）求过点D的反比例函数的解析式；
（2）求△DBE的面积；
（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
1.（2020春•相城区期末）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图．
（1）这批货物的质量是多少？
（2）写出y与x之间的函数表达式；
（3）轮船到达目的地后开始卸货，如果以5t/min的速度卸货，那么需要多少时间才能卸完货物？
2.（2020•阳谷县校级模拟）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
3．（2020秋•虹口区期末）如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2）．
（1）求a和k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标．
4．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．
5．（2021秋•金塔县期末）如右图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集；
（3）连接OA，OB，求△OAB的面积．
6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A的坐标为（a，2）．与y轴交于点C，连接AO、BO，已知OB＝2，tan∠BOC＝．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）在y轴上有一点P，使得S△BCP＝，求点P的坐标．
7.（2021春•德化县期末）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（3，m），B（﹣2，n）两点．连接OA，OB．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，隐去OA，OB，若点P为y轴上一动点，则平面内是否存在点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x（cm）
10
15
20
25
30
y（g）
30
20
15
12
10
专项15 反比例图像实际应用与综合应用
【考点1 反比例函数实际应用】
【典例1】如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表
（1）把表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设 y＝（k≠0），
把x＝10，y＝30代入得：k＝300，
∴y＝，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：y＝；
（3）把y＝24代入y＝ 得：x＝12.5，
∴当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm．
【变式1-1】某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求0到2小时期间y随x的函数解析式；
（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，代入（0，10），和（2，20），得
，解得，
0到2小时期间y随x的函数解析式y＝5x+10；
（2）把y＝15代入y＝5x+10，即5x+10＝15，解得x1＝1，
把y＝15代入y＝，即15＝，解得x2＝16，
∴16﹣1＝15，
答：恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有15小时．
【变式1-2】为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1
∴k1＝
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为（k2＞0）代入（8，6）为6＝
∴k2＝48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）
（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
（3）把y＝3代入，得：x＝4
把y＝3代入，得：x＝16
∵16﹣4＝12，12＞10，
所以这次消毒是有效的．
【考点1 反比例函数综合应用】
【典例2】如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣1，3），B（3，a）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（2）求S△AOB．
【解答】解：（1）把A（﹣1，3）代入y＝得m＝﹣3，
则反比例函数的解析式是y＝﹣，
当x＝3时，y＝﹣1，则B的坐标是（3，﹣1）．
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是y＝﹣x+2；
（2）不等式kx+b＞的解集是：x＜﹣1或0＜x＜3；
（3）在y＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，
则S△AOB＝×2×1+×2×3＝4．
【变式2-1】如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集．
【解答】解：（1）∵S△AOB＝3，OB＝3，
∴OA＝2，
∴B（3，0），A（0，﹣2），
代入y＝kx+b得：，
解得：k＝，b＝﹣2，
∴一次函数y＝x﹣2，
∵OD＝6，
∴D（6，0），CD⊥x轴，
当x＝6时，y＝×6﹣2＝2，
∴C（6，2），
∴n＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式是y＝；
（2）当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集是x＞6．
【变式2-2】如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+5，
得a＝﹣1+5，
解得a＝4，
∴A（1，4），
点A（1，4）代入反比例函数y＝，
得k＝4，
∴反比例函数的表达式y＝，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得或
∴点B坐标（4，1）；
（2）作点B作关于y轴的对称点D（﹣4，1），连接AD，交y轴于点P，此时PA+PB的值最小，
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m＝，n＝，
∴直线AD的解析式为y＝x+，
令x＝0，得y＝，
∴点P坐标（0，）．
【变式2-3】如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．
（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2＝的图象上，
∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，
∴y2＝；
如图，作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上，
，
解得k1＝﹣，b＝﹣，
∴；
（2）由，解得，，
∴C（﹣4，），
∴S△COD＝S△AOC+S△AOD＝×2×+×2×3＝；
（3）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x≤﹣4或0＜x≤2．
（4）如图，作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，
∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为，
令x＝0，则y＝﹣，
∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，）．
【典例3】矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵OA＝3，OB＝4，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F是BC的中点，
∴F（4，），
∵F在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵E点的纵坐标为3，
∴E（2，3）；
（2）∵F点的横坐标为4，
∴F（4，），
∴CF＝BC﹣BF＝3﹣＝
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝，
在Rt△CEF中，tan∠EFC＝＝，
（3）如图，由（2）知，CF＝，CE＝，，
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴∠EGH+∠HEG＝90°，
由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，
∴∠EGH+∠BGF＝90°，
∴∠HEG＝∠BGF，
∵∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴＝，
∴，
∴BG＝，
在Rt△FBG中，FG2﹣BF2＝BG2，
∴（）2﹣（）2＝，
∴k＝，
∴反比例函数解析式为y＝．
【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线EF交x，y轴子点F，E，交反比例函数y＝（x＞0）图象于点C，D，OE＝OF＝5，以CD为边作矩形ABCD，顶点A与B恰好落在y轴与x轴上．
（1）若矩形ABCD是正方形，求CD的长．
（2）若AD：DC＝2：1，求k的值．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADE＝∠BCF＝90°，
∵OE＝OF＝5，
∵∠EOF＝90°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，FE＝10，
∴CD＝DE＝CF＝．
（2）如图2中，作DG⊥OE于G．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∵AD＝DE，BC＝CF，且2CD＝AD，
∴2CD＝DE＝CF，
∵DE+CD+FC＝EF，
∴DE＝EF＝4，
在Rt△ADE中，DG＝EG＝CG＝DE＝2，
∴OG＝OE﹣EG＝5﹣2＝3，
∴D（2，3），
∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点D，
∴k＝12．
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，OC＝3．
（1）求过点D的反比例函数的解析式；
（2）求△DBE的面积；
（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵四边形OABC为矩形，
∴△OCD为直角三角形，
∵OD＝5，OC＝3，
∴CD＝4，
∴D（4，3），
设反比例函数解析式为y＝，
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵D为BC的中点，且BC＝2CD＝8，
∴B（8，3），
∴E点横坐标为8，且E在反比例函数图象上，
在y＝中，令x＝8，可得y＝，
∴E（8，），
∴BE＝3﹣＝，且BD＝4，
∴S△DBE＝BD•BE＝×4×＝3；
（3）∵P在x轴上，
∴可设P（t，0），
∵∠DOA为锐角，
∴当△OPD为直角三角形时，有∠DPO＝90°或∠ODP＝90°，且点P在x轴正半轴上，
①当∠DPO＝90°时，则DP⊥x轴，此时P点坐标为（4，0）；
②当∠ODP＝90°时，由D（4，3），P（t，0），
∴PD2＝（t﹣4）2+32＝t2﹣8t+25，且OD2＝52＝25，OP2＝t2，
由勾股定理可得PD2+OD2＝OP2，即t2﹣8t+25+25＝t2，解得t＝，
∴P（，0）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（4，0）或（，0）．
1.（2020春•相城区期末）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图．
（1）这批货物的质量是多少？
（2）写出y与x之间的函数表达式；
（3）轮船到达目的地后开始卸货，如果以5t/min的速度卸货，那么需要多少时间才能卸完货物？
【答案】（1） 600t （2）y＝ （3）120min
【解答】解：（1）由题意可得，
这批货物的质量是：1.5×400＝600（t），
答：这批货物的质量是600t；
（2）设y与x的函数关系式是y＝，
把（1.5，400）代入得：400＝，
解得：k＝600，
即y与x的函数关系式是y＝；
（3）当x＝5时，y＝＝120（min）．
答：需要120min才能卸完货物
2.（2020•阳谷县校级模拟）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1） y＝x 0≤x≤8 y＝（x＞8）（2）30 （3）有效
【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1
∴k1＝设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝k2＞0）代入（8，6）为6＝
∴k2＝48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（x＞8）
（2）结合实际，令y＝中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
（3）把y＝3代入y＝x，得：x＝4
把y＝3代入y＝，得：x＝16
∵16﹣4＝12
所以这次消毒是有效的
3．（2020秋•虹口区期末）如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2）．
（1）求a和k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标．
【答案】（1）a＝，k＝8 (2) B（﹣4，﹣2） (3)C（0，﹣6）或（0，10）
【解答】解：（1）直线y＝ax（a＞0）过点A（4，2），
∴4a＝2，
∴a＝，
∵双曲线y＝（k＞0）过点A，
∴k＝2×4＝8．
∴a＝，k＝8．
（2）令x＝，解得x＝±4，
∴当x＝﹣4时，y＝﹣2，
∴B（﹣4，﹣2）．
（3）设点C（0，y），
由点A，B，C的坐标可知，AB＝4，AC＝，
∵线段BC的垂直平分线恰好经过点A，
∴AB＝AC，即4＝，
解得y＝﹣6，或y＝10．
∴C（0，﹣6）或（0，10）．
4．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．
【答案】（1） y＝ （2） P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）
【解答】解：（1）∵A点是一次函数和反比例函数图象的交点，
∴m＝×4，
解得m＝2，
即A（4，2），
把A点坐标代入反比例函数得，2＝，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设P点的坐标为（n，0），
若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况：
①当OA＝OP时，
由（1）知，A（4，2），
∴n＝＝2，
即P（2，0）；
②当OA＝AP时，作AH⊥OP于H，
∵A（4，2），
∴OH＝4，
∵OA＝AP，
∴OP＝2OH＝2×4＝8，
即P（8，0）；
③当OP＝AP时，
∵A（4，2），
∴n＝，
即n2＝（4﹣n）2+22，
解得n＝，
即P（，0），
综上，符合条件的P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）．
5．（2021秋•金塔县期末）如右图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集；
（3）连接OA，OB，求△OAB的面积．
【答案】（1）y＝﹣x+5 （2）0＜x≤1或x≥4 (3)
【解答】解：（1）把点A（1，4）代入，得：m＝4，
∴反比例函数的解析式为，
∵B（4，n）在反比例函数图象上，
∴，从而点B（4，1），
把点A（1，4），点B（4，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）观察图象，得：当0＜x≤1或x≥4时，，
∴不等式的解集为0＜x≤1或x≥4；
（3）如图，连结OA，OB，设直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，
当y＝0时，x＝5，
∴点C（5，0），
∴OC＝5，
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝．
6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A的坐标为（a，2）．与y轴交于点C，连接AO、BO，已知OB＝2，tan∠BOC＝．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）在y轴上有一点P，使得S△BCP＝，求点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，过B作BD⊥OC于D，
∵OB＝2，tan∠BOC＝，
∴BD＝2，OD＝6，
∴B（﹣2，﹣6），
代入反比例函数y＝，可得
m＝﹣2×（﹣6）＝12，
∴y＝，
把点A的坐标（a，2）代入，可得
a＝6，
∴A（6，2），
把A、B的坐标代入一次函数y＝kx+b，可得
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣4；
（2）在y＝x﹣4中，令x＝0，则y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BCO
＝×4×（2+6）＝16，
设点P的坐标为（0，y），则CP＝|﹣4﹣y|，
∵S△BCP＝，
∴×|﹣4﹣y|×2＝×16，
解得y＝4或﹣12，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣12）．
7.（2021春•德化县期末）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（3，m），B（﹣2，n）两点．连接OA，OB．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，隐去OA，OB，若点P为y轴上一动点，则平面内是否存在点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） y＝x﹣1 （2）
（3）（0，0）或（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣）或（0，2+）或（0，2﹣）
【解答】解：（1）把x＝3代入y＝，得m＝2，故A（3，2），
把x＝﹣2代入y＝，得n＝﹣3，故B（﹣2，﹣3），
将A、B坐标代入一次函数y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x﹣1；
（2）如图，设直线AB与y轴交于点E，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，
则BD＝2，AC＝3，
把x＝0代入y＝x﹣1中得y＝﹣1，故E（0，﹣1），
∴OE＝1，
∴S△AOB＝S△AOG+S△BOG＝+＝＝＝；
（3）P的坐标为（0，0）或（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣）或（0，2+）或（0，2﹣），理由如下：
①∵OA＝＝，OB＝＝，
∴OA＝OB，
∴当点P与点O重合时，如下图所示，存在以点A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，此时P（0，0）；
②若BP＝BA＝＝5，设点P（0，m），如下图所示：过点B作BD⊥y轴于点D，则BD＝2，
根据勾股定理得：22+（﹣3﹣m）2＝（5）2，
解得：m＝﹣3±，
∴P的坐标为（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣）；
③若AP＝BA＝＝5，设点P（0，m），如下图所示：过点A作AC⊥y轴于点C，则AC＝3，
根据勾股定理得：32+（m﹣2）2＝（5）2，
解得：m＝2±，
∴P的坐标为（0，2+）或（0，2﹣）；
综上，平面内是否存在点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，且P的坐标为（0，0）或（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣）或（0，2+）或（0，2﹣）；
x（cm）
10
15
20
25
30
y（g）
30
20
15
12
10