北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项38三角形的内心与外心(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项38三角形的内心与外心(原卷版+解析)，共49页。
考点1 三角形的内心
（1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆；
（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形 的三个内角平分线交点；

【解题技巧】
（3）见到三角形的内心就想以下两点：
①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.
如图，点O为△ABC的内心，连接AO、BO、CO，
必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
②等距：内心到三角形三边的距离必定相等.
如图，点O为△ABC的内心，过点O作三边的垂线，
必有OD=OE=OF.
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
B
O
A D
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 C
考点2 三角形的外心
（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，
这个圆叫作三角形的外接圆；
（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形 的 三条边的垂直平分线交点；
【解题技巧】
（3）见到三角形的外心就想以下两点：
①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边.
如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC，
必有AD=CD，BE=CE.
②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等.
如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC，
必有PA=PB=PC.
（4）与三角形外心有关的角度问题：
①外心在三角形的内部 三角形为锐角三角形 三个角都小于90°
②外心在三角形的边上 三角形为直角三角形 有一个角为90°；

③外心在三角形的外部 三角形为钝角三角形 有一个角大于90°.

【考点1 三角形的内心】
【典例1】（2022•河池模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则AD的长是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【变式1-1】（2022•五华区校级三模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．已知△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，则AF的长为（ ）
A．4B．5C．9D．13
【典例2】（2019秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（ ）
A．4B．C．D．
【变式2-1】（2021秋•南丹县期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于 ．
【变式2-2】（2021秋•南开区期末）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 ．
【典例3】（2019秋•岳麓区校级月考）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线分别交AB、AC于D、E两点，若△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，则BC的长为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【变式3-1】（2021秋•陵城区期末）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．14cmB．8cmC．7cmD．9cm
【变式3-2】（2022春•西乡塘区校级期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 ．
【典例4】（2022•黄石模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是 步．
【变式6】（2022•石家庄模拟）如图，已知△ABC的周长是20，点O为三角形内心，连接OB、OC，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．20B．25C．30D．35
【典例7】（2022•海曙区校级开学）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（ ）
A．100°B．104°C．105°D．114°
【变式7-1】（2021秋•大余县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（ ）
A．125°B．115°C．100°D．130°
【变式7-2】（2020秋•曲靖期末）如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．65°B．140°C．55°D．70°
【考点2 三角形的外心】
【典例8】（2022•沈阳模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．3D．4
【变式8-1】（2022•东营模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，AB为∠OBC的角平分线，则∠BCA等于（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2022•瓜州县校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径．则∠DAB的度数是（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
【典例9】（2022•邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】（2022•怀宁县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，，则⊙O的直径为（ ）
A．B．C．6D．12
【变式9-2】（2021秋•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2021秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【变式10】（2021秋•盐都区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）
1．（2021秋•古县期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求内切圆⊙O的半径．
2．（2021秋•周村区期末）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝8，AC＝6，BE＝4，求AI的长．
3．（2022•汉阳区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
（1）求∠EOD的度数；
（2）若r＝2，求阴影部分的面积．
4．（2021秋•海安市期中）如图，⊙O是△GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，切线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于点E、F．
（1）若△PEF的周长为12，求线段PA的长；
（2）若∠G＝90°，GD＝3，GP＝4，求⊙O半径．
5．（2021秋•惠城区校级期中）已知：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相交于点D、E、F且AB＝8，BC＝12，CA＝10，求AF、BD、CE的长．
6．（2021•瑶海区模拟）已知：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC．
求证：（1）DI＝DB；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求DI的长．
7．（2020秋•宁蒗县期末）已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．
（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．
（2）若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．
8．（2021•饶平县校级模拟）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．
9．（2020秋•高新区校级月考）如图△ABC内接于圆O，点I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D．
（1）若∠BAC＝60°，BD＝5，求⊙O的半径．
（2）求证：DI＝DC．
10．（2020•雨花区校级模拟）如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16
①求⊙O的半径；
②求△ABC的内心到点O的距离．
11．（2019秋•拱墅区校级期末）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？
12．（2022秋•番禺区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
13．（2019秋•临清市期中）如图，有一块三角形余料ABC，∠B＝90°，BC＝3m，AB＝4m，现有两种余料的再利用方案，分别制作正方形和圆形桌面．
方案一，如图1，作正方形DEFG使它的四个顶点都在△ABC边上；
方案二，如图2，作△ABC的内切圆O，它与三边分别相切于点G、H、I．
请通过计算，比较哪种方案的利用率高．
14．（2019秋•南宁期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点D、E、F，
（1）求证：四边形OECF是正方形；
（2）若AF＝10，BE＝3，求⊙O的面积．
15．（2018•武汉模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，与△ABC的三边相切于D，E，F．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，连接CD，DE，求tan∠CDE的值．
专项38 三角形的内心与外心
考点1 三角形的内心
（1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆；
（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形 的三个内角平分线交点；

【解题技巧】
（3）见到三角形的内心就想以下两点：
①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.
如图，点O为△ABC的内心，连接AO、BO、CO，
必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
②等距：内心到三角形三边的距离必定相等.
如图，点O为△ABC的内心，过点O作三边的垂线，
必有OD=OE=OF.
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
B
O
A D
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 C
考点2 三角形的外心
（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，
这个圆叫作三角形的外接圆；
（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形 的 三条边的垂直平分线交点；
【解题技巧】
（3）见到三角形的外心就想以下两点：
①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边.
如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC，
必有AD=CD，BE=CE.
②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等.
如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC，
必有PA=PB=PC.
（4）与三角形外心有关的角度问题：
①外心在三角形的内部 三角形为锐角三角形 三个角都小于90°
②外心在三角形的边上 三角形为直角三角形 有一个角为90°；

③外心在三角形的外部 三角形为钝角三角形 有一个角大于90°.

【考点1 三角形的内心】
【典例1】（2022•河池模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则AD的长是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【答案】D
【解答】解：设AD＝x，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD，CE＝CF，BD＝BE，
∵AB＝14，BC＝13，CA＝9，
∴BD＝BE＝14﹣x，CF＝CE＝9﹣x，
∵CE+BE＝BC＝13，
∴9﹣x+14﹣x＝13，
∴x＝5，
∴AD＝5．
故选：D．
【变式1-1】（2022•五华区校级三模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．已知△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，则AF的长为（ ）
A．4B．5C．9D．13
【答案】A
【解答】解：设AF＝a，
∵△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，
∴AC＝13，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，
∵AB＝9，BC＝14，CA＝13，
∴BD＝BF＝9﹣a，CD＝CE＝13﹣a，
∵BD+CD＝BC＝14，
∴（9﹣a）+（13﹣a）＝14，
解得：a＝4，
即AF＝4．
故选：A．
【典例2】（2019秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解答】解：连接OE、OF，如图所示：
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴AD＝AF＝10，BD＝BE，CE＝CF，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE＝CE＝CF，
设BD＝BE＝x，则OE＝CF＝CE＝5﹣x．AC＝AF+CF＝10+5﹣x＝15﹣x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：52+（15﹣x）2＝（10+x）2，
解得：x＝3，
∴BE＝3，OE＝2，
∴OB＝＝＝；
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•南丹县期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于 ．
【答案】2
【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，F，E，
∴AC⊥OE，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
∴四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OF＝r，
∴AE＝AE＝AC﹣CE＝6﹣r，BF＝BD＝BC﹣CF＝8﹣r，
∵AD+BD＝AB＝10，
∴6﹣r+8﹣r＝10，
∴r＝2．
∴⊙O的半径等于2．
故答案为：2．
【变式2-2】（2021秋•南开区期末）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 ．
【答案】6
【解答】解：连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3，
又∵∠C＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO＝DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2，
故（x+2）2+（x+3）2＝52，
解得：x＝1，
∴BC＝3，AC＝4，
∴S△ABC＝×3×4＝6，
故答案为：6．
【典例3】（2019秋•岳麓区校级月考）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线分别交AB、AC于D、E两点，若△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，则BC的长为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】D
【解答】解：如图，设⊙I与DE的切点为点M，⊙I与△ABC三边的切点分别为N、G、H，
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴DM＝DN，EM＝EH，BN＝BG，CH＝CG，
∵△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，
∴AB+AC+BC﹣（AD+DE+AE）＝12，
即AD+DN+BN+AE+EH+CH+BC﹣（AD+DM+EM+AE）＝12，
∴2BC＝12，
∴BC＝6；
故选：D．
【变式3-1】（2021秋•陵城区期末）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．14cmB．8cmC．7cmD．9cm
【答案】B
【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），
∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），
故选：B．
【变式3-2】（2022春•西乡塘区校级期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 ．
【答案】7cm
【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故答案为：7cm．
【典例4】（2022•黄石模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是 步．
【答案】6
【解答】解：
设三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴AB＝＝＝17，
设内切圆的半径为r，则S△ABC＝（AB+BC+CA）•r，
∴AC•BC＝（AB+BC+CA）•r，即×8×15＝×（8+15+17）•r，
解得r＝3，
∴内切圆的直径是6步，
故答案为：6．
【变式6】（2022•石家庄模拟）如图，已知△ABC的周长是20，点O为三角形内心，连接OB、OC，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．20B．25C．30D．35
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∵点O为三角形内心，OD⊥BC，
∴OD＝OE＝OF＝3，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝AB•OE+AC•OF+BC•OD
＝×OD（AB+AC+BC）
＝3×20
＝30．
故选：C．
【典例7】（2022•海曙区校级开学）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（ ）
A．100°B．104°C．105°D．114°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝28°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝152°，
∵⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝∠ABC+∠ACB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝76°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣76°
＝104°，
故选：B．
【变式7-1】（2021秋•大余县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（ ）
A．125°B．115°C．100°D．130°
【答案】A
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．
故选：A．
【变式7-2】（2020秋•曲靖期末）如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．65°B．140°C．55°D．70°
【答案】D
【解答】解：连接IE、IF，如图，
∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
∵∠EDF＝∠EIF，
∴∠EDF＝90°﹣∠A，
∵∠B＝65°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
∴∠EDF＝90°﹣×40°＝70°．
故选：D．
【考点2 三角形的外心】
【典例8】（2022•沈阳模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，
∴2OA2＝36，
∴OA＝3，
即⊙O的半径是3，
故选：C．
【变式8-1】（2022•东营模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，AB为∠OBC的角平分线，则∠BCA等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：连接OC，
∵∠A＝α，
∴∠O＝2∠A＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝×（180°﹣∠O）＝90°﹣α，
∵AB为∠OBC的角平分线，
∴∠ABC＝OBC＝45°﹣，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣α﹣（45°﹣）＝135°﹣α，
故选：C．
【变式8-2】（2022•瓜州县校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径．则∠DAB的度数是（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝110°，
∴∠C＝35°，
∴∠D＝∠C＝35°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠D＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
【典例9】（2022•邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBE＝30°，
又∵OE⊥BC，
∴BE＝BC＝AB＝，
在Rt△OBE中，cs30°＝，
∴，
解得：OB＝，
故选：C．
【变式9-1】（2022•怀宁县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，，则⊙O的直径为（ ）
A．B．C．6D．12
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，
∴∠APO＝90°，
在Rt△AOP中，OP＝2，∠OAC＝30°，
∴OA＝2OP＝4，
∴圆O的直径为8．
故选：B．
【变式9-2】（2021秋•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC＝2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC＝×360°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，
∴BD＝OB•cs∠OBD＝2×cs30°＝2×＝，OD＝OB＝1，
∴BC＝2．
∴等边△ABC的面积为3S△BCO＝3×BC•OD＝3××1＝3．
故选：D．
【典例10】（2021秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【答案】D
【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，1）．
故选：D．
【变式10】（2021秋•盐都区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）
【答案】D
【解答】解：∵点A，B的坐标为（1，4），（5，4），
∴线段AB的垂直平分线方程为x＝3，
同理，线段AC的垂直平分线方程为y＝1，
∴△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），
故选：D．
1．（2021秋•古县期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求内切圆⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，
又∠C＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD＝OE，
∴四边形ODCE是正方形．
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵四边形ODCE是正方形，
∴OD＝DC＝CE﹣r，
在RtABC中，
BC＝＝4，
则BD＝4﹣r，AE＝3﹣r，
∵⊙O与△ABC各边相切于点D，E，F，
∴AE＝AF＝3﹣r，BF＝BD＝4﹣r，
∵AB＝AF+BF＝5，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得：r＝1，
∴内切圆的半径是1．
2．（2021秋•周村区期末）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝8，AC＝6，BE＝4，求AI的长．
【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIE＝∠BAE+∠ABI，∠IBE＝∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE＝∠CAE，
∴∠BIE＝∠EBI，
∴EB＝EI；
（2）解：连接EC．
∵∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴BE＝EC＝4，
∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠DCE，
∴△ADB∽△CDE，
∴＝＝＝＝2，设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n，
同法可证：△ADC∽△BDE，
∴＝，
∴＝，
∴n：m＝3：2，设n＝3k，m＝2k，
∵∠CED＝∠AEC，∠ECD＝∠BAE＝∠CAE，
∴△ECD∽△EAC，
∴EC2＝ED•EA，
∴8＝m•（m+2n），
∴8＝2k（2k+6k）
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴DE＝2，AD＝6，
∴AE＝8，
∵EI＝BE＝4，
∴AI＝AE﹣EI＝4．
3．（2022•汉阳区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
（1）求∠EOD的度数；
（2）若r＝2，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∵∠B＝60°，∠A＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠EOD＝360°﹣∠C﹣∠OEC﹣∠ODC＝150°；
（2）连接OB，OC，则∠OBD＝∠OBF＝，
∴BF＝BD＝，
∵∠A＝∠AFO＝∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF为矩形，
由切线长定理知，AE＝AF，
∴四边形AEOF为正方形，
∴AE＝AF＝OE＝OF＝2，
∴AB＝AF+BF＝2+2，
∵∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝4+4．
∴CD＝CE＝BC﹣BD＝2+4，
∴S阴影＝S△OCE+S△OCD﹣S扇形ODE＝＝4+8﹣．
4．（2021秋•海安市期中）如图，⊙O是△GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，切线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于点E、F．
（1）若△PEF的周长为12，求线段PA的长；
（2）若∠G＝90°，GD＝3，GP＝4，求⊙O半径．
【解答】解：（1）∵⊙O是△GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，
∴PA＝PB，
∵切线EF与⊙O相切于点C，
∴EA＝EC，FB＝FC，
∵△PEF的周长为12，
∴PE+EC+PF+FC＝12，
∴PE+EA+PF+FC＝12，即PA+PB＝12，
∴PA＝6；
（2）如图，连接OB，OH，设⊙O的半径为r，
∵∠G＝90°，GD＝3，GP＝4，
∴DP＝＝＝5，
∴PA+DA＝5，
∵⊙O是△GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，
∴OH⊥DG，OB⊥PG，PA＝PB，DA＝DH，
∴∠OBG＝∠OHG＝∠G＝90°，
∴四边形OBGH是矩形，
又∵OB＝OH＝r，
∴四边形OBGH是正方形，
∴GB＝GH＝r，
∵GP+GD＝GB+PB+GH+DH＝2r+PA+DA＝2r+5，
∴2r+5＝7，
解得：r＝1，
∴⊙O半径＝1．
5．（2021秋•惠城区校级期中）已知：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相交于点D、E、F且AB＝8，BC＝12，CA＝10，求AF、BD、CE的长．
【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相交于点D、E、F，
∴AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE，
设AF＝x，则AE＝x，BF＝BD＝AB﹣AF＝8﹣x，
∴CE＝CD＝CA﹣AE＝10﹣x，
∵BD+CD＝BC，
∴8﹣x+10﹣x＝12，解得x＝3，
∴AF＝3，BD＝5，CE＝7．
6．（2021•瑶海区模拟）已知：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC．
求证：（1）DI＝DB；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求DI的长．
【解答】（1）证明：连接BI，如图1所示：
∵点I是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BID＝∠BAI+∠IBA，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，
∴∠BID＝∠IBD，
∴DI＝DB；
（2）解：过点D作DE⊥BC于E，如图2所示：
由（1）得：∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD，
∵DE⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝30°，
∴DE＝BE＝1，BD＝2DE＝2，
∴DI＝BD＝2．
7．（2020秋•宁蒗县期末）已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．
（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．
（2）若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．
【解答】解：（1）四边形IECF是正方形，理由如下：
∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，即AC、BC都是⊙I的切线，
∴∠IEC＝∠IFC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形IECF是矩形，
∵IE＝IF，
∴四边形IECF是正方形；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
由切线长定理可知：
AE＝AD，BD＝BF，CE＝CF，
设半径IE的长为x，则CE＝CF＝x，
∴AE＝AD＝8﹣x，BD＝BF＝6﹣x，
∴（8﹣x）+（6﹣x）＝10，
解得x＝2，
∴IE的长为2．
8．（2021•饶平县校级模拟）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．
【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIE＝∠BAE+∠ABI，∠IBE＝∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE＝∠CAE，
∴∠BIE＝∠EBI，
∴EB＝EI；
（2）解：连接EC．
∵∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴BE＝EC＝2，
∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠DCE，
∴△ADB∽△CDE，
∴＝＝＝＝2，设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n，
同法可证：△ADC∽△BDE，
∴＝，
∴＝，
∴n：m＝3：2，设n＝3k，m＝2k，
∵∠CED＝∠AEC，∠ECD＝∠BAE＝∠CAE，
∴△ECD∽△EAC，
∴EC2＝ED•EA，
∴4＝m•（m+2n），
∴4＝2k（2k+6k）
∴k＝或﹣（舍弃），
∴DE＝1，AD＝3，
∴AE＝4，∵EI＝BE＝2，
∴AI＝AE﹣EI＝2．
解法二：过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N．
利用全等三角形的性质证明AM＝AN，BM＝CN，EM＝EN，
求出BM，EM，AE，可得结论．
9．（2020秋•高新区校级月考）如图△ABC内接于圆O，点I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D．
（1）若∠BAC＝60°，BD＝5，求⊙O的半径．
（2）求证：DI＝DC．
【解答】（1）解：连接OB，OD，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴OB＝BD＝5，
∴⊙O的半径为5；
（2）证明：连接BI，
∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABI＝∠CBI，
∵∠CBD＝∠CAD，∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BID＝∠ABI+∠BAD，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠IBD，
∴ID＝BD，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴CD＝BD，
∴DC＝DI．
10．（2020•雨花区校级模拟）如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16
①求⊙O的半径；
②求△ABC的内心到点O的距离．
【解答】解：（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF
∵AF是直径
∴∠ACF＝90°
∴∠F+∠FAC＝90°，
∵∠F＝∠ABC，∠ABC＝∠EAC
∴∠EAC＝∠F
∴∠EAC+∠FAC＝90°
∴∠EAF＝90°，且AO是半径
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）①如图，连接AO，
∵D为AB的中点，OD过圆心，
∴OD⊥AB，AD＝BD＝AB＝8，
∵AO2＝AD2+DO2，
∴AO2＝82+（AO﹣6）2，
∴AO＝，
∴⊙O的半径为；
②如图，作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，
∵OD⊥AB，AD＝BD
∴AC＝BC，且AD＝BD
∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB
∴点H是△ABC的内心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB
∴MH＝NH＝DH
在Rt△ACD中，AC＝＝＝BC，
∵S△ABC＝S△ACH+S△ABH+S△BCH，
∴×16×6＝×10×MH+×16×DH+×10×NH，
∴DH＝，
∵OH＝CO﹣CH＝CO﹣（CD﹣DH），
∴OH＝﹣（6﹣）＝5．
11．（2019秋•拱墅区校级期末）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？
【解答】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D
则AD＝30，BD＝CD＝40，
设最大圆半径为r，
则S△ABC＝S△ABO+S△BOC+S△AOC，
∴，
解得：r＝；
（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，
∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，
∴BD＝CD＝40，AD＝＝30，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R2＝402+（R﹣30）2，
∴R＝；
若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，
∵＞40，
∴最小为40cm．
12．（2022秋•番禺区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝＝5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CF＝CE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．
13．（2019秋•临清市期中）如图，有一块三角形余料ABC，∠B＝90°，BC＝3m，AB＝4m，现有两种余料的再利用方案，分别制作正方形和圆形桌面．
方案一，如图1，作正方形DEFG使它的四个顶点都在△ABC边上；
方案二，如图2，作△ABC的内切圆O，它与三边分别相切于点G、H、I．
请通过计算，比较哪种方案的利用率高．
【解答】解：设DE＝x，则AD＝4﹣x，
∵DE⊥AB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝，
∴S正方形＝（）2＝；
∵△ABC中，∠B＝90°，BC＝3m，AB＝4m，
∴AC＝＝5m．
∵点O是△ABC的内心，
∴OI＝OG＝OH＝r，
∴（AB+BC+AC）•r＝AB•BC，即（4+3+5）r＝4×3，解得r＝1，
∴S⊙O＝π．
∵＜π，
∴方案二利用率高．
14．（2019秋•南宁期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点D、E、F，
（1）求证：四边形OECF是正方形；
（2）若AF＝10，BE＝3，求⊙O的面积．
【解答】解：（1）∵点E、F是圆的切点，
∴OE⊥BC，OF⊥AC．
∴∠OFC＝∠OEC＝∠C＝90°．
∴四边形OECF是矩形．
∵OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形．
（2）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AF＝AD，BE＝DB．
∴AB＝AD+BD＝10+3＝13．
设圆O的半径为r，则AC＝10+r，BC＝3+r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得；AC2+BC2＝AB2，即（10+r）2+（r+3）2＝132．
解得：r＝2或r＝﹣15（舍去）．
∴⊙O的面积＝4π．
15．（2018•武汉模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，与△ABC的三边相切于D，E，F．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，连接CD，DE，求tan∠CDE的值．
【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝5，AC＝7，BC＝8，
∴AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，
∴52﹣（8﹣CH）2＝72﹣CH2，
解得：CH＝5.5，
∴AH＝＝，
∴S△ABC＝8×＝10，
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，
设⊙O的半径为r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD＝OE＝OF＝r，
∴×5r+rr＝10，
∴r＝；
∴⊙O的半径为；
（2）∵AH＝，AB＝5，
∴sin∠ABC＝＝
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝5，AC＝7，BC＝8，
∴BD＝BE＝＝3，CE＝5，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝3，∰
作CG⊥DE于G，
∴∠CEG＝BED＝60°，
∴CG＝CE•sin60°＝，EG＝CE•cs60°＝，
∴DG＝DE+EG＝，
∴tan∠CDE＝＝．