北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项08相似三角形种8字型(2种类型)(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项08相似三角形种8字型(2种类型)(原卷版+解析)，共29页。
基本模型：

【类型1：8字型】
【典例1】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
【变式1-1】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（ ）
A．2米B．3米C．米D．米
【变式1-2】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB＝2，OC＝5，AB＝4，则CD的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式1-3】如图，DE∥BC，则下列比例式正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【典例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝．（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4B．9：16C．16：25D．3：5
【变式2-2】如图，E是▱ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，CD＝3CF，则S△ADF：S△BEF等于（ ）
A．4：1B．3：1C．4：3D．9：4
【典例3】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．
（1）求证：BC＝CD+ED；
（2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．
【变式3-1】如图，在▱ABCD中，F是AB边上一点，连接CF并延长交DA的延长线于点E．
（1）求证：△BCF∽△DEC．
（2）若BC＝10，BF＝4，AE＝5，则AB＝ ．
【变式3-2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB延长线上一点，连接DE交AC于点F，交BC于点G．
（1）求证：；
（2）若DF＝6，FG＝4，求GE的长．
【变式3-3】如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．
（1）求证：△DMN∽△BCN；
（2）求BD的长；
（3）若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．
【类型2：反8字型】
【典例4】已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．
（1）求证：；
（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．
【变式4-1】如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（ ）
A．EF•BF＝DF•CFB．BE•CD＝BF•CF
C．AE•AB＝AD•ACD．AE•BE＝AD•DC
【变式4-2】如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的长度．
1．如图，已知D，E分别在直线AB，AC上，且DE∥BC，若＝，则的值是（ ）
A．B．C．2D．
2．如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，BC：DC＝1：2，S△ACB＝2，则S△DCE等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED＝1：2，BE与AC相交点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DE：AE＝1：2，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．21B．28C．34D．48
5．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E，F分别在CD，AD边上，且△BCE与△BFE关于直线BE对称．点G在AB边上，GC分别与BF，BE交于P，Q两点．若＝，CE＝CQ，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形有 对．
7．如图所示，S矩形ABCD＝36，在边AB，AD上分别取点E，F，使得AE＝3EB，DF＝2AF．DE与CF的交点为O，则S△FOD＝ ．
8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F，若△BEF的面积为1，则正方形ABCD的面积为 ．
9．如图，AD与BC相交于点O，已知：BC＝12cm，OB＝8cm，AD＝18cm，OD＝6cm．
（1）求证：AB∥CD；
（2）当AD与BC垂直时，求AB和CD的长．（结果保留根号）
10．如图，点F为▱ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E．
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）若BC＝6，AF＝2EF，求CE的长．
11．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．
专项08 相似三角形种8字型（2种类型）
基本模型：

【类型1：8字型】
【典例1】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
【解答】解：由题意得：
BD∥AC，
∴∠D＝∠ACD，∠A＝∠ABD，
∴△BDE∽△ACE，
∴，
∴，
解得：AC＝8，
答：井深AC的长为8米．
【变式1-1】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（ ）
A．2米B．3米C．米D．米
【答案】B
【解答】解：由题意知：AB∥CD，
则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝3米，
故选：B．
【变式1-2】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB＝2，OC＝5，AB＝4，则CD的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝10，
故选：D．
【变式1-3】如图，DE∥BC，则下列比例式正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】A
【解答】解：A．∵DE∥BC，
∴＝，
故A符合题意；
B．∵DE∥BC，
∴＝，
故B不符合题意；
C．∵DE∥BC，
∴∠D＝∠B，∠E＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
故C不符合题意；
D．∵DE∥BC，
∴∠D＝∠B，∠E＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
故D不符合题意；
故选：A．
【典例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝．（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD且AB∥CD，
∴△AOE∽△CBO，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴AE：BC＝1：3，
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，
所以S△AOE：S△COB＝1：9，
故选：D．
【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4B．9：16C．16：25D．3：5
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵DE：EC＝4：1，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝，
故选：C．
【变式2-2】如图，E是▱ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，CD＝3CF，则S△ADF：S△BEF等于（ ）
A．4：1B．3：1C．4：3D．9：4
【答案】C
【解答】解：∵E是▱ABCD的边BC延长线上一点，
∴CE∥AD，
∴△ADF∽△ECF，
∴，
∵CD＝3CF，
∴＝，
∴S△ADF：S△ECF＝4：1，AD＝2CE，
∴BC＝2CE，
∴S△BEF：S△ECF＝3：1，
∴S△ADF：S△BEF＝4：3，
故选：C．
【典例3】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．
（1）求证：BC＝CD+ED；
（2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴AE＝CD，
∵AD＝AE+DE，
∴BC＝CD+ED；
（2）∵AF＝3，AC＝8，
∴CF＝AC﹣AF＝8﹣3＝5，
∵∠AEB＝∠EBC，∠AFE＝∠BFC，
∴△AFE∽△CFB，
∴＝＝，
∴设AE＝3x，BC＝5x，
∴AB＝AE＝3x，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴（3x）2+82＝（5x）2，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴AE＝3x＝6，
∴AE的长为6．
【变式3-1】如图，在▱ABCD中，F是AB边上一点，连接CF并延长交DA的延长线于点E．
（1）求证：△BCF∽△DEC．
（2）若BC＝10，BF＝4，AE＝5，则AB＝ ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB∥DC．
∴∠BFC＝∠DCE．
∴△BCF∽△DEC；
（2）解：∵△BCF∽△DEC，
∴，
∴＝，
∴AF＝2，
∴AB＝AF+BF＝6．
故答案为：6．
【变式3-2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB延长线上一点，连接DE交AC于点F，交BC于点G．
（1）求证：；
（2）若DF＝6，FG＝4，求GE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADF＝∠DGC，∠DAF＝∠ACG，
∴△ADF∽△CGF，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，DC∥AB，
由（1）得：△ADF∽△CGF，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴＝2，
∵DC∥BE，
∴＝＝2，
∴GE＝＝＝5，
∴GE的长为5．
【变式3-3】如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．
（1）求证：△DMN∽△BCN；
（2）求BD的长；
（3）若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，
∴△DMN∽△BCN；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，OB＝ODBD，
∵△DMN∽△BCN，
∴＝，
∵M为AD中点，
∴AD＝2DM，
∴BC＝2DM，
∴BN＝2DN，
设OB＝OD＝x，
∴BD＝2x，
∴BN＝OB+ON＝x+1，DN＝OD﹣ON＝x﹣1，
∴x+1＝2（x﹣1），
解得：x＝3，
∴BD＝2x＝6，
∴BD的长为6；
（3）解：∵△MND∽△CNB，
∴DM：BC＝MN：CN＝DN：BN＝1：2，
∵△DCN的面积为2，
∴S△MND＝S△CND＝1，S△BNC＝2S△CND＝4，
∴S△ABD＝S△BCD＝S△BCN+S△CND＝4+2＝6，
∴S四边形ABNM＝S△ABD﹣S△MND＝6﹣1＝5，
∴四边形ABNM的面积为5．
【类型2：反8字型】
【典例4】已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．
（1）求证：；
（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．
【解答】证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，
∴＝，
∵∠ADB＝∠BEC，
∴△DAB∽△EBC，
∴∠DAB＝∠EBC，＝，
∴AD∥EB，
∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∴；
（2）∵BE2＝BF•BD，
∴＝，
∵∠DBE＝∠EBF，
∴△BFE∽△BED，
∴∠BEF＝∠BDE，
∵∠DAF＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠BDE，
∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，
∴△ADF≌△DBE（ASA），
∴DF＝BE．
【变式4-1】如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（ ）
A．EF•BF＝DF•CFB．BE•CD＝BF•CF
C．AE•AB＝AD•ACD．AE•BE＝AD•DC
【答案】C
【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，
∴△EFB∽△DFC，
∴＝，
∴EF•FC＝DF•FB，
故A不符合题意：
∵△EFB∽△DFC，
∴＝，
∴BE•CF＝CD•BF，
故B不符合题意；
∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝，
∴AB•AE＝AD•AC，
故C符合题意；
因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，
故D不符合题意；
故选：C．
【变式4-2】如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的长度．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠APD＝∠BPC，
∴△DAP∽△CBP，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝6．
1．如图，已知D，E分别在直线AB，AC上，且DE∥BC，若＝，则的值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
∵，
∴．
故选：A．
2．如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，BC：DC＝1：2，S△ACB＝2，则S△DCE等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解答】解：∵AB∥DE，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∵S△ACB＝2，
∴S△DCE＝8，
故选：C．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED＝1：2，BE与AC相交点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴，
∴AF：CF＝1：3，
∵OA＝OC，
∴，
故选：B．
4．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DE：AE＝1：2，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．21B．28C．34D．48
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE＝∠F，∠A＝∠EDF，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵DE＝3，DF＝4，
∴AB＝8，AE＝6，
∴AD＝9，
∴C▱ABCD＝2×（8+9）＝34，故选C
5．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E，F分别在CD，AD边上，且△BCE与△BFE关于直线BE对称．点G在AB边上，GC分别与BF，BE交于P，Q两点．若＝，CE＝CQ，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：连接FQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAF＝90°，BC＝AD，
∵＝，
∴设AB＝4a，BC＝5a，
∵△BCE与△BFE关于直线BE对称，
∴BF＝BC＝5a，CQ＝FQ，CE＝FE，
∴AF＝＝＝3a，
∴DF＝AD﹣AF＝5a﹣3a＝2a，
∵CQ＝CE，
∴CQ＝FQ＝FE＝CE，
∴四边形CQFE是菱形，
∴FQ∥CE，
∴AB∥FQ∥CE，
∴＝＝＝，
∴设CQ＝2k，GQ＝3k，
∵CQ＝CE，
∴∠CQE＝∠CEQ，
∵AB∥CD，
∴∠ABQ＝∠CEQ，
∵∠CQE＝∠GQB，
∴∠GBQ＝∠GQB，
∴BG＝QG，
∵AB∥FQ，
∴∠ABF＝∠BFQ，∠BGQ＝∠ECQ，
∴△GBP∽△QFP，
∴＝＝＝，
∴GP＝GQ＝k，
∴＝＝，
故选：D．
故选：C．
6．如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形有 对．
【答案】3
【解答】解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，DC∥AB
∴△ADF∽△EBA∽△ECF
∴有3对，
故答案为：3．
7．如图所示，S矩形ABCD＝36，在边AB，AD上分别取点E，F，使得AE＝3EB，DF＝2AF．DE与CF的交点为O，则S△FOD＝ ．
【答案】4
【解答】解：延长DE，CB相交于点G，过点O作OH⊥AD，垂足为H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠G，∠GBE＝∠A，
∴△ADE∽△BGE，
∴＝＝3，
设BG＝x，
则AD＝BC＝3x，
∵DF＝2AF，
∴DF＝AD＝2x，
∴＝＝，
∵∠DOF＝∠COG，
∴△DOF∽△GOC，
∴＝＝，
∵OH⊥AD，
∴∠OHF＝∠ADC＝90°，
∵∠OFH＝∠CFD，
∴△OFH∽△CFD，
∴＝＝，
∴OH＝CD，
∵S矩形ABCD＝36，
∴AD•CD＝36，
∴S△FOD＝DF•OH
＝•AD•CD
＝×36
＝4，
故答案为：4．
8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F，若△BEF的面积为1，则正方形ABCD的面积为 ．
【答案】24
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴△EBF∽△EDA，
∵点E是OB的中点
∴OB＝2BE，
∴DE：BE＝3：1，
∴＝3，
∴＝9，
∵△BEF的面积为1，
∴S△AED＝9，S△AEB＝3S△BEF＝3，
∴S△ABD＝S△AED+S△AEB＝9+3＝12，
∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝2×12＝24．
故答案为：24．
9．如图，AD与BC相交于点O，已知：BC＝12cm，OB＝8cm，AD＝18cm，OD＝6cm．
（1）求证：AB∥CD；
（2）当AD与BC垂直时，求AB和CD的长．（结果保留根号）
【解答】（1）证明：∵BC＝12cm，OB＝8cm，AD＝18cm，OD＝6cm，
∴OA＝AD﹣OD＝18﹣6＝12cm，OC＝BC﹣OB＝12﹣8＝4cm，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝4，
在Rt△COD中，CD＝＝＝2，
答：AB的长为4，CD的长为．
10．如图，点F为▱ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E．
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）若BC＝6，AF＝2EF，求CE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，
∴∠D＝∠DCE，
又∵∠DFA＝∠CFE，
∴△ADF∽△ECF；
（2）解：∵ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∵△ADF∽△ECF，
∴AF：FE＝AD：CE，
又∵2EF＝AF，
∴AD：CE＝2：1，
∴CE＝AD＝3．
11．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AMB+∠FMC＝90°，
∴∠BAM＝∠FMC，
∴△ABM∽△MCF；
（2）解：∵AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4，
∵BM＝2，
∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，
由（1）得：△ABM∽△MCF，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，
∵BC∥AD，
∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，
∴△DEF∽△CMF，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝6，
∴△DEF的面积＝DE•DF＝×6×3＝9，
答：△DEF的面积为9．