新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2023-2024学年高三下学期4月月考数学试题

这是一份新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2023-2024学年高三下学期4月月考数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足方程（为虚数单位），则复数的共轭复数对应的点在（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
4．已知对任意实数，有，，且时，导函数分别满足，，则时，成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．且
6．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( )
A．B．C．D．
7．已知，，则（ ）（是的半角）
A．B．C．D．
8．已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．面积的最小值为8
C．以焦半径为直径的圆与直线相切
D．
10．下面命题正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．不等式的解集为
C．不等式在是恒成立，则实数的取值范围为
D．函数在区间内有一个零点，则实数的范围为
11．已知事件满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．如果，那么
C．如果与互斥，那么
D．如果与相互独立，那么
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。
12．已知向量满足，且与的夹角为60°，则 13．若一个正棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为，则的最小值为
14．已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l的倾斜角，则的所有可能取值区间为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。
15．中的内角、、的对边分别是、、，若，.
（1）求；
（2）若，点为边上一点，且，求的面积.
16．已知正项数列中，，前项和为，且______．请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答．
条件：①；②．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点E在上，且．
(1)在棱上是否存在一点F，使得平面?若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由；
(2)求二面角的平面角的大小．
18．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，且该抛物线经过点，其焦点在轴上.
（Ⅰ）求过点且与直线垂直的直线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交抛物线于，两点，，求的最小值.
19．设函数，
(1)当时，求函数的单调增区间；
(2)若函数在区间上为减函数，求的取值范围；
(3)若函数在区间内存在两个极值点，，且，求的取值范围.
数学答案及解析：
1．D
【解析】本题先化简集合，再根据判断是的子集，最后直接求的取值范围即可.
【解析】解：因为，所以，因为，所以是的子集，故，
故选：D．
2．C
【分析】先令，代入中，利用等式两边对应项系数相等，可求出的值，从而可得复数的共轭复数对应的点，由此可确定出其所在的象限.
【解析】解：设，则由得，则，解得，则，在复平面内对应的点为，位于第三象限，
故选：C．
3．B
【分析】根据条件的比例关系求解出老年人和青年人的人数 即可.
【解析】由题设老年人和青年人人数分别为x,y,
由分层抽样得x:12:y=1:3:6,解得x=4,y=24, 则n=4+12+24=40
故选B.
4．B
【分析】根据导函数的正负和原函数的增减，以及奇偶性在对称区间上的单调性求解.
【解析】解：，
在上为奇函数，
，
在上为增函数，
在为增函数，
即 ，
，
是偶函数，
因为时，，
在上为减函数，
则在为增函数，
所以．
故选：B．
5．D
【解析】求出直线恒过的定点，根据题意，该定点必在椭圆内或椭圆上，根据点与椭圆的位置关系，代入点的坐标，即可求得结果.
【解析】由于直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，且直线y＝kx＋1与椭圆总有公共点，
所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则且m≠5，解得m≥1且m≠5.
故选：D.
6．A
【分析】f(x)在上单调递增，等价于恒成立，据此即可求出a的范围．
【解析】由题可知，恒成立，
故，即．
故选：A﹒
7．A
【分析】直接利用半角公式求解即可
【解析】∵，∴，
∴．
故选：A
8．A
【分析】根据等比数列的通项公式、求和公式及等差中项计算，分两类讨论即可求出.
【解析】因为，，成等差数列，
所以,
若，则，解得，不符合题意；
当时，，
化简得，
即，
所以，
解得，
又，
所以，
解得，
故选：A
9．BC
【分析】求抛物线的焦点和准线，设直线为，联立方程结合韦达定理可得，，进而结合抛物线方程和定义逐项分析判断.
【解析】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，
显然直线的斜率不为0，且可以不存在，此时直线与抛物线必相交，
设直线为，
联立方程，消去x得，
则，，
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，
原点到直线的距离，
所以面积，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为8，故B正确；
对于选项C：由题意可知：线段的中点，
则到y轴的距离为，
所以以焦半径为直径的圆与直线相切，故C正确；
对于选项D：因为
，
即，故D错误；
故选：BC.
10．AC
【分析】对于A，利用因式分解直接解一元二次不等式即可；对于B，先将分式不等式转化为再解不等式即可；对于C，可将不等式恒成立问题转化成函数的最大值小于0，然后对参数进行分类讨论即可；对于D，根据时函数在区间内有一个零点，与题干矛盾，即可判断.
【解析】对于A，不等式即为，解得，所以不等式的解集为，选项A正确；
对于B，不等式可转化为，解得，不等式的解集为，选项B错误；
对于C，可将不等式恒成立问题转化成函数的最大值小于0，
当时，恒成立；
当时，函数，为开口向上的二次函数，对称轴为，此时函数在区间上为增函数，
所以当时，函数有最大值，所以，解得；
当时，函数，为开口向下的二次函数，对称轴为，此时函数在区间上为减函数，
所以当时，函数有最大值， 恒成立，此时满足题意；
综上，实数m的取值范围为，选项C正确；
对于D，当时，，
令，解得或，可知在区间内，满足在区间内有一个零点，则选项D错误.
故选：AC.
11．BCD
【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可
【解析】对于选项A，，故选项A错误；
对于选项B，如果 ， 那么，选项B正确；
对于选项C， 如果与互斥，那么 ， 所以选项C正确；
对于选项D，如果与相互独立，那么
，所以选项D正确.
故选：BCD

【分析】把模平方转化为数量积运算即可求得答案
【解析】因为，与的夹角为60°，
所以，
所以，
，
所以
6
【分析】根据正棱台共有条棱，从而得到不等式，求出的最小值为6，得到棱的长度之和最小值.
【解析】因为正棱台的侧棱有条，底面有条棱，所以正棱台共有条棱，
由，得，
所以的最小值为6，
14．，
【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，结合x的范围，求出角的范围即可．
【解析】求导
在区间上是单调函数，
则有在恒大于等于0或恒小于等于0，
若在区间上单调减，则，
故即
若在区间上单调增，则，
,
所以即
综上所述，，，
故答案为，
15．（1）；（2）.
【解析】（1），，
由正弦定理得，，
又，，；
（2），，由余弦定理得，，
，即，解得或（舍），
，，，则为锐角，，
因此，.
16．(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）若选①，由，得(，
即(，
因为为正项数列，所，
∴是公差为2的等差数列，又，
∴.
若选②，，当时，，
两式作差得：，则，
两式作差得：，
即，所以数列为等差数列，
时，，可得
公差，
∴.
（2）∵，
∴.
17．(1)当F是棱的中点时，平面，证明见解析
(2)
【解析】（1）当是棱的中点时，平面，证明如下：
取的中点，连接，记与交于点O，连接．
易得平面平面 平面．
由是的中点，知是的中点，
由四边形是正方形，知O为的中点，所以，
平面平面平面．
又，平面，∴平面平面，
平面平面.
（2）作交于G，作于H，连接，
由平面，知平面，
平面，平面，
又平面，，
是二面角的平面角．
由题意得，
在中，，
∴二面角的平面角的大小为.
18．（Ⅰ）.（Ⅱ）12.
【解析】试题分析：（I）设抛物线方程为，由点在上，得，从而得点的坐标为，又直线的斜率为1，从而其垂线的斜率为-1，根据点斜式可得结果；（II）直线的方程是，.将代入，有，利用求根公式求得，由知 ，化简得，根据两点间距离公式，可化为，利用基本不等式求解即可.
试题解析：（Ⅰ）设抛物线方程为，由点在上，得.从而点的坐标为.又直线的斜率为1，从而其垂线的斜率为-1，因此所求直线方程为.
（Ⅱ）设点和的坐标为和，直线的方程是，.
将代入，有，解得.
由知 ，化简得.
因此 .
所以 ，当且仅当时取等号，即的最小值为12.
19．(1)，.
(2)
(3)
【解析】（1）当时，，则，由解得：或，
所以函数的单调增区间是，.
（2）函数，则，因函数在区间上为减函数，则，成立，
即，，显然在上单调递减，即，，则，
所以a的取值范围是.
（3）由(2)知，，因函数在区间内存在两个极值点，，则在区间内有两个不等根，，
即有，解得，且有，
不妨令，则，当或时，，当时，，
则在处取得极大值，在取得极小值，显然，，
由两边平方得，
而，即，
整理得：，
把代入上述不等式并整理得：，解得，
综上得，
所以实数a的取值范围是.