河北省廊坊市文安县第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，，则（ ）
A. -1B. 1C. -5D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由共轭复数的定义求出即可.
【详解】复数，，
由共轭复数的定义可知，，则有.
故选：A
2. 已知集合，，，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出，根据并集结果得到答案.
【详解】或，，，
故，则的取值范围为.
故选：D
3. 下列各式中不能化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.
【详解】对于A：，故A不合题意；
对于B：，故B满足题意；
对于C：，故C不合题意；
对于D：，故D不合题意.
故选：B
4. 若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出，再解一元二次不等式即可.
【详解】因为不等式解集是：，
所以和是方程的两个实数根，
由，解得：，
故不等式，即为，
解不等式，得：，
所求不等式的解集是：.
故选：C．
5. 已知，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量公式求解即可.
【详解】由题意，向量在向量方向上的投影向量为.
故选：A
6. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义分析判断即得.
【详解】，取，此时，而，
反之，若，则，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7. 已知向量，，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及夹角公式求解即可.
【详解】因为，
所以．
故选：A.
8. 已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简，利用三角函数值域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，，
，
由解得.
，
由于三角形锐角三角形，所以，
所以，所以，
所以，
所以.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每题满分5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．
9. 已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数在复平面内对应点位于第四象限
C.
D. 为纯虚数
【答案】ABC
【解析】
【分析】先利用复数的四则运算求出，求出其模后可判断A的正误，求出其对应的点后可判断B的正误，结合四则运算求出、可判断CD的正误.
【详解】，
故，故，故A正确，
而在复平面上对应的点为，它在第四象限，故B正确.
，故C正确.
，它不为纯虚数，故D错误，
故选：ABC.
10. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 向量，夹角为
【答案】AC
【解析】
【分析】对进行平方运算，可求，可判断AD选项，再对BC选项进行平方运算，代入，可判断BC选项.
【详解】，又因为，所以，故，
所以A正确，D不正确；
，故，所以B不正确，
，所以，C正确.
故选：AC
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值是3
B. 的最大值是5
C. 的最小值是2
D. 的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A，C选项构造基本不等式即可，B选项利用基本不等式计算即可，D项变形构造基本不等式即可
【详解】选项A，因为
所以
当且仅当时取等号，故A正确.
选项B，因为
所以
当且仅当时取等号，故B正确.
对于C，，
当且仅，即时，等号不成立，
令，则在上单调递增，
所以时取得最小值为，故选项C错误；
对于D，当时，，
当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故D正确.
故选：ABD.
12. 如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ）

A. 观测点位于处的北偏东方向
B. 当天10：00时，该船到观测点的距离为
C. 当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D. 该船在由行驶至的这内行驶了
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．
【详解】A选项中，,，
因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确.
B选项中，在中，，，则,又因为，
所以km,故B错误.
C选项中，在中，由余弦定理，得
，即km，故C正确.
D选项中，在中，，，则.
由正弦定理，得AC=km，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. 已知为平面内两个不共线向量，，.若M，N，P三点共线，则λ=_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据三点共线列方程组，解方程组求得的值.
【详解】因为M，N，P三点共线，所以存在实数使得，
所以
又为平面内两个不共线的向量，
所以， 解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查向量相等的知识，属于基础题.
14. 已知向量与向量夹角为，且，，要使与垂直，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由与垂直可得，代入条件列方程求解即可.
【详解】解：因为与垂直，
则，
解得.
故答案为：.
15. 已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】依题意可得，从而得到是以为周期的周期函数，再根据所给函数解析式及函数的周期性、奇偶性计算可得.
【详解】，，是的一个周期，
又当时，，
．
故答案为：
16. 已知的内角所对的边分别为，满足，，若M为的外心，AM的延长线交BC于D，且，则=____；的面积为__________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】由正弦定理边角关系得，结合三角形内角性质、三角恒等变换化简可得，即可求大小，进而求得外接圆半径，结合正弦定理可得，即可求三角形面积.
【详解】由题设，而，
所以，
则，又，可得，，故.

所以外接圆半径为，
等腰中，且，
所以，则，即，故，
又，，则的面积为.
故答案为：，
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知两个非零向量与不共线.
（1）若与平行，求实数的值；
（2）若，，且，求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】根据向量平行设出，从而得到方程组，求出；
（2）表达出，根据模长得到方程，求出的值.
【小问1详解】
因为与平行，且与不共线
所以
所以，解得
【小问2详解】
因为
所以，解得或.
经检验，均满足与不共线，故或
18. 记内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，将边化为角，根据三角函数值，即可求解；
（2）根据（1）的结果，写出余弦定理，再结合基本不等式和三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理，得，
又，所以，
即.
又，所以.
【小问2详解】
由余弦定理，得，
所以.
由基本不等式知，
于是.
当且仅当时等号成立.
所以的面积，
当且仅当时，面积取得最大值.
19. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可；
（2）利用整体代入法，结合三角函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为的最小正周期为，
所以，，则，
故.
【小问2详解】
令，解得，
故的单调递增区间为.
20. 如图，在平面四边形中，，，，.

（1）求线段的长度；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出线段的长度.
（2）在中，中利用正弦定理，通过，可以求出的值.
【小问1详解】
因为，
得，在中，由余弦定理可得：
，
.
故线段的长度.
【小问2详解】
由（1）知，，
在中，由正弦定理可得：,
即， 得，
又，所以,
在中，由正弦定理可得：,
即， .
所以的值为.
21. 若函数为定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值，并判断函数的单调性；
（2）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】21. ；增函数.
22.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质得，解得的值；最后代入验证；利用单调性的定义判断证明；
（2）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果.
小问1详解】
根据题意，可得，
即，解得，所以，
又，符合函数为奇函数.
在R上为增函数，证明如下：
设，且，
，
，，即，，，
，即，
所以函数为R上的增函数.
【小问2详解】
因为对任意的，恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为为R上的奇函数，所以，
又为R上的增函数，所以上式转化为对任意的恒成立，
即，令，，
又，当且仅当时等号成立，
.
所以实数的取值范围为.
22. 如图，现有一直径百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点．
（1）设，试将管道总长（即线段）表示为变量θ的函数；
（2）求管道总长的最大值．
【答案】（1），，
（2）2百米
【解析】
【分析】（1）在和中，根据余弦定理即可求得；
（2）结合（1），对函数平方处理，可得，即可求得最值.
【小问1详解】
在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
所以，，
∴将管道总长（即线段EC+ED）表示为变量θ的函数为：
，，
【小问2详解】
由（1）可得：
，因为，，所以，
（百米）
当且仅当，即时取等号，
因为，∴（百米）．
∴管道总长的最大值为2百米.