四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知数列，根据该数列的规律，8是该数列的（ ）
A. 第7项B. 第8项C. 第9项D. 第10项
【答案】A
【解析】
【分析】观察各项根据规律即可求解.
【详解】，由此可知数列的规律是前后两项的比值为定值，
故所以8是该数列的第7项，
故选:A
2. 已知等差数列，则等于（ ）
A. B. 0C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】设出等差数列的公差为，建立等量关系求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，所以，
解得：，.
故选：B.
3. 设数列满足，且，则（ ）
A. -2B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】判断出数列的周期为4，即可求解.
【详解】因为，，
所以，，，，
显然数列的周期为4，而，因此.
故选：A.
4. 在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A. 3B. 9C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据韦达定理可得，结合等比数列的性质即可求解.
【详解】因为，是方程两根，
所以，即，
在等比数列中，，又，
所以，因，所以，所以.
故选：B.
5. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差中项与等差数列前项和得出，，即可代入已知得出答案.
【详解】由等差数列的性质可得：
，，
则，即，
，
故选：C.
6. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一次函数与指数函数的性质，结合数列的增减性得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为数列是递增数列，且，
所以，解得，
则取值范围是．
故选：D．
7. 小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A. 元B. 元
C. 元D. 元
【答案】A
【解析】
【分析】小李的还款x元每月要产生复利，小李的贷款元每月也要产生复利.这是本题的关键所在.
【详解】设每月还元，按复利计算，则有
即
解之得，
故选：A
8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则（ ）
A. 1B. 0C. 1007D. ﹣1006
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用数列的关系式的应用归纳关系式所表现的规律，进一步求出结果．
【详解】由于，
所以.
故选：A．
【点睛】本题考查了数列求值，归纳推理，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定数列规律是解题的关键.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，三选选对一个得2分，双选选对一个得3分，有选错的得0分.
9. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A. 若p，q为实数，则是等比数列
B. 若数列的前项和为，则，，成等差数列
C. 若数列的公比，则数列是递增数列
D. 若数列的公差，则数列是递减数列
【答案】BD
【解析】
【分析】由等差、等比数列及其前n项和性质直接判断可得.
【详解】取，，显然A不正确；由等差数列片段和性质知B正确；取，易知，但为递减数列，故C不正确；若，则由等差数列定义知，故数列是递减数列，D正确.
故选：BD.
10. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A. B.
C. 当时，是的最大值D. 当时，是的最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可.
【详解】因为，，成等比数列，所以，即，
整理得，因为，所以，
所以，则，故A正确、B错误；
当时单调递减，此时，
所以当或时取得最大值，即，故C正确；
当时单调递增，此时，
所以当或时取得最小值，即，故D正确；
故选：ACD
11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可.
【详解】因为数列满足，，
所以
，
所以，
所以AB正确，C错误，
因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而，
所以，所以D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q=__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，借助等比数列定义求解即得.
【详解】依题意，，即，
而，所以.
故答案为：2
13. 设数列的前项和为，若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．
【详解】解：数列的前项和为，①，
②，
①−②得：，
整理得：，
故：（常数），
所以：数列为首项为，公比为4的等比数列．
由于，
所以：，
解得：，
所以：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前项和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
14. 普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lkandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，下列说法正确的有_________.
①若，则从开始出现数字2；
②若，则的最后一个数字均为；
③可能既是等差数列又是等比数列；
④若，则均不包含数字4.
【答案】②③④
【解析】
【分析】由外观数列的定义可判断①和②；举例子可判断③；由反证法，结合外观数列的定义可判断④.
【详解】对于①，当时，
由外观数列的定义可得：，，，故①错；
对于②，由外观数列的定义可知，每次都是从左向右描述，
所以第一项的始终在最右边，即最后一个数字，故②正确；
对于③，取，则，此时既是等差数列又是等比数列，故③正确；
对于④，当时，
由外观数列的定义可得：，，，.
设第一次出现数字4，
则中必出现了4个连续的相同数字.
而的描述必须包含“个，个”，显然的描述不符合外观数列的定义.
所以当时，均不包含数字4，故④正确.
故答案为：②③④
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义、根据数列的递推关系式写出数列中的项及利用递推关系式研究数列的性质.解题关键在于理解数列的新定义，明确数列的递推关系式.根据数列的定义可判断①和②；举出特殊例子可判断③；通过反证法及数列的定义可判断④.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求和；
（2）设，求数列前项和．
【答案】（1）；；
（2）．
【解析】
分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法求和.
小问1详解】
设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
【小问2详解】
，
所以
．
16. 已知数列为等差数列，是各项为正的等比数列，的前n项和为，___________，且，.在①，②，③.
这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并解答下面的问题.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）选条件①，由基本量法求得，由等差数列通项公式得，由求得，利用得的递推关系，从而得等比数列的公比，得通项公式；
选条件②.由基本量法求得公差，得，根据与关系，把已知等式变形，然后由基本量法求得公比，得通项公式；
选条件③. 由基本量法求得，由等差数列通项公式得，由求得，从而可得；
（2）用分组求和法计算．
【小问1详解】
方案一：选条件①.
设等差数列的公差为，
由，解得，所以.
因为，，所以当时，
由，得，即，所以.
当时，，整理得，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以.
方案二：选条件②.
设等差数列的公差为，由，解得，
所以，所以.
设等比数列的公比为，因为，
所以，
又，，所以，解得或（舍去），
所以.
方案三：选条件③.
设等差数列的公差为，由，解得，
所以.
因为，，，
所以当时，，即，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，则，
所以
17. 京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米．
（1）求，请写出一个递推公式表示与之间的关系；
（2）是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数；
（3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？
（参考数据：，，，）
【答案】17. （万立方米），.
18. ，理由见解析.
19. 至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求.
【解析】
【分析】（1）根据题意可得及递推关系；
（2）假设存在，则有，据（1）中的递推关系可求，再证明此时为等比数列；
（3）令，根据题设中给出的数据可得至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求.
【小问1详解】
（万立方米），
又即.
【小问2详解】
若存在实数，使得数列为等比数列，
则存在非零常数，使得，整理得到，
而，故即.
当，则，
而，故即，
故为等比数列，故存在常数，使得为等比数列.
【小问3详解】
由（2）可得是首项为，公比为的等比数列，
故即，此时为递增数列.
令，则，
当时，，
当时，，
故至少到年才能达到公司速生林木保有量的规划要求.
18. 已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）写出当时的等式，再与原式两式相除求解即可；
（2）由（1），再根据错位相减求解可得，再化简不等式可得，再设，根据作差法判断的单调性，进而可得最大值.
【小问1详解】
，
当时，，
两式相除得；，
又符合上式，故；
【小问2详解】
，
，
，
错位相减得：
，
，
即，由，得，
设，则，
故，
由，
由可知，随着的增大而减小，
故，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则
19. 已知数列和满足，
（1）求的通项公式；
（2）若记的前n项和为，试证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据两递推关系分别相加、相减，可得等比、等差数列，求出通项公式，再相加即可得出的通项公式；
（2）求出的，显然不等式成立，当时，根据放缩不等式及裂项相消求和法证明.
【小问1详解】
数列和满足，①
．②
由①+②得：
所以，即
所以数列是为首项，为公比的等比数列．
所以③．
同理①﹣②得，
即（常数），
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．
所以．④
③+④得，
所以．
【小问2详解】
由数列的前n项和为，
所以＝
．
＝，
所以＜，
因为
即时，都有成立；
当，
综上，成立．