河南省漯河市高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省漯河市高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析），共21页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 的内角，，的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A B. C. D.
2. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（ ）

A. B.
C. D.
3. 函数，值域为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. ，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D.
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 函数（）的图象如图所示，则（ ）
A. 最小正周期为
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 若（）在上有且仅有两个零点，则
10. 设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的形状为等边三角形
B. 若，则点M是边BC的中点
C. 过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心
D. 若，则点M在边BC的延长线上
11 设函数，则（ ）
A. 函数的单调递减区间为．
B. 曲线在点处的切线方程为．
C. 函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值．
D. 若方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.）
12. 如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为__________．

13. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，则_______．
14. 已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，则的取值范围是______.
四．解答题（共5小题，共77分）
15. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若，求的值．
16 已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
17. 已知向量，设.
（1），求当取最小值时实数t的值；
（2）若，问：是否存在实数t，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由.
18. 为直角三角形，斜边上一点，满足.
（1）若，求；
（2）若，，求.
19. 已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.2023-2024学年高一下学期3月检测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 的内角，，的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用正弦定理计算可得；
【详解】解：因为，由正弦定理，
即，解得.
故选：A
2. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.
【详解】因为,所以,,
所以...①,...②，
由①+②得：，即.
故选：B

3. 函数，的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可.
【详解】
故选：C.
4. 已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数定义得到不等式，求出答案.
【详解】由三角函数定义可得在第四象限，
，解得，
故的取值范围是.
故选：B
5. ，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数运算求得，利用指数的性质与运算比较，从而得解.
【详解】因为，
，
所以．
故选：A．
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.
【详解】由，得，所以，
从而
故选：B
7. 设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的模的平方结合单位向量的定义可得，由此即可得解.
【详解】由题意是两个单位向量，且，
所以，解得，
由，所以.
故选：C.
8. 已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得，所以点在的平分线上，即为的角平分线，利用正弦定理得，，可知，结合三角函数的性质可求最小值.
【详解】表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，
的分向与的平分线一致，
，
所以点在的平分线上，即为的角平分线，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，其中
分析可知当时，取得最小值，即
故选：C
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 函数（）的图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 若（）在上有且仅有两个零点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合给定图象求出，再逐项判断即可.
【详解】依题意，，
由，得，解得，而，
解得，，的最小正周期为，A正确；
是偶函数，B错误；
，令，
则，
的图象关于直线对称，C正确；
，，当时，，
依题意，，解得，D正确.
故选：ACD
10. 设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的形状为等边三角形
B. 若，则点M是边BC的中点
C. 过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心
D. 若，则点M在边BC的延长线上
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.
【详解】对于选线A，如图作的中点，连接，
由，得，
即，结合三角形性质易知，，
同理，，故的形状为等边三角形，故A正确；
对于选项B，由，得，即，
因此点M是边BC的中点，故B正确；
对于选项C，如图当过点时，，
由，得，则直线经过的中点，
同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误；
对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错.
故选：AB.
11. 设函数，则（ ）
A. 函数的单调递减区间为．
B. 曲线在点处的切线方程为．
C. 函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值．
D. 若方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程有两个不等实根转化为与有两个交点，再利用数形结合即可求解.
【详解】对A：由题意可知的定义域为，
，
令，即，解得或，
当时，，
当时，，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，
故A错误；
对B：切线斜率，
曲线在点处切线方程为，
即，故B正确；
对C：当时，取得极大值为，
当时，取得极小值为，
因为，所以极大值小于极小值，故C正确；
对D：由上分析可作出的图象如图所示
要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，
由图可知，，
所以实数的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用求过点处的切线方程的方法及零点的存在性定理判断方程的根，再利用导数法求函数的极值及作出函数的大致图象，将方程有两个不等实根转化为与有两个交点即可.
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.）
12. 如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】在中，由余弦定理求得，然后结合等腰三角形、直角三角形求得结论．
【详解】在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，所以，
又是等边三角形，所以，，
由勾股定理可得，，所以的周长为．
故答案为：.
13. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，则_______．
【答案】1
【解析】
【分析】解法1，先用正弦定理边角互化，再用和差和诱导公式求解即可；
解法2：先用射影定理化简，用正弦定理边角互化即可求解.
【详解】解法1：，
而，
∴．
解法2：由射影定理，，
又由题意，，∴，故，∴，
∵，∴，故．
故答案为：1
14. 已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用的单调性以及已知条件得到，代入，令，利用导数的求得的值域，从而得解.
【详解】因为，
所以在上单调递增，值域为，
在上也单调递增，值域为，
又的两根为，所以，
从而，
令，则，．
因为，所以，
所以在上恒成立，从而在上单调递增．
又，所以，
即的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数，利用导数求取值范围求得的值域，由此得解.
四．解答题（共5小题，共77分）
15. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）由正余弦定理边角互化，结合余弦定理化简计算求解.
【小问1详解】
证明：由正弦定理及条件可得，
由余弦定理可得，化简得．
【小问2详解】
由得，
化简得，又，故，
所以，故．
16. 已知函数.
（1）当时，求函数单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)和；(2)或.
【解析】
【详解】分析：（1）整理函数的解析式可得 ，结合正弦函数的性质可知单调递增区间为，又，故的单调递增区间为和.
（2）由题意可知，由函数的定义域可知的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令，则，原问题等价于在上仅有一个实根.据此讨论可得或.
详解：（1）∵


，
令，
得，
又因为，
所以的单调递增区间为和.
（2）将的图象向左平移个单位后，得，
又因为，则，
的函数值从0递增到1，又从1递减回0.
令，则，
依题意得在上仅有一个实根.
令，因为，
则需或，
解得或.
点睛：本题主要考查三角函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17. 已知向量，设.
（1），求当取最小值时实数t的值；
（2）若，问：是否存在实数t，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）时
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先求出，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到，最后求出的模；
（2）根据数量积的运算律求出，，，再根据得到方程，解得即可；
【小问1详解】
解：当时，，
所以
所以，所以当时
【小问2详解】
解：依题意，
若，则，又，，
所以，
又因为，
所以，，
，
则有，且，
整理得，解得或，
所以存在或满足条件．
18. 为直角三角形，斜边上一点，满足.
（1）若，求；
（2）若，，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理以及的范围，得出的值，再借助即可得解；
（2）设，根据已知条件和勾股定理求出，进而得到的值，再利用余弦定理即可得解.
【详解】（1）由正弦定理：，
得，
，，，
，.
（2）设，
，，，
从而，
由余弦定理，即，
解得，所以.
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题.
平面几何中解三角形问题的求解思路：
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
19. 已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小；
（2）设,利用正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换可得，然后利用三角函数的性质即得.
【小问1详解】
根据正弦定理有
即
展开化简得,
，，，
，,
,
，.
【小问2详解】
由题意可知,设,
,又，
中,由正弦定理可得:.
即:，
，
,
，
所以三角形面积的取值范围为.