湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了已知函数，且，则，函数的部分图象大致为，已知，则，若函数的值域为，则的取值范围是，在菱形中，，若，则等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分得分
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若角的终边与单位圆相交于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数，且，则（ ）
A.-5 B.-3 C.-1 D.3
3.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.《红楼梦》､《西游记》､《水浒传》､《三国演义》为我国四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜､程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军.第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6.若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.在菱形中，，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则的最小值是1
10.已知，则（ ）
A.，使得
B.若，则
C.若，则
D.若，则的最大值为
11.已知定义域为的函数满足，且，则（ ）
A.
B.是偶函数
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，在直角梯形中，，则直角梯形的直观图的面积为__________.
13.在中，角的对边分别为，若，且12，则的值为__________.
14.定义：为实数中较大的数.若，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知向量.
（1）求向量与夹角的正切值；
（2）若，求的值.
16.（15分）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在中，角的对边分别为，已知__________，.
（1）求；
（2）如图，为边上一点，，求边.
17.（15分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.记梯形的周长为.
（1）将表示成的函数；
（2）求梯形周长的最大值.
18.（17分）设函数.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若，使成立，求实数的取值范围；
（3）求证：函数在上有且只有一个零点，并求（[x]表示不超过的最大整数，如，）.
参考数据：.
19.（17分）设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.
（1）证明：在上为凹函数；
（2）设，且，求的最小值；
（3）设为大于或等于1的实数，证明：.（提示：可设）
长沙市第一中学2023—2024学年度高一第二学期第一次阶段性检测
数学参考答案
一､二､选择题
2.C 【解析】由题意，
故，又，则.故选C.
3.B 【解析】因为，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C项､D项，
又，排除项.故选.
5.A 【解析】因为在上单调递减，所以，
又在上单调递增，故，
又，故.故选A.
6.D 【解析】当时，，
因为函数的值域为，所以当时，，分两种情况讨论：
①当时，，所以只需，解得，所以；
②当时，，所以只需，显然成立，所以.
综上，的取值范围是.故选D.
7.D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为，所以，因为，所以，即是的中点，
所以，
所以，
由题知，故，所以，所以.故选D.
8.C 【解析】当时，因为，所以，
因为函数在上存在最值，所以，解得，
当时，，
因为函数在上单调，则，
所以其中，解得，所以，解得，
又因为，所以.
当时，；当时，；当时，.
又因为，所以的取值范围是.故选C.
9.ABD 【解析】设，
对于选项，所以，所以，故选项A正确；
对于选项，所以，即，故选项B正确；
对于选项C：，则，故选项C不正确；
对于选项D：因为，所以，所以，即，所以，所以，所以的最小值为1，故选项D正确.故选ABD.
10.BD 【解析】对于A，，若，可得，
因为，可得，解得，
又因为当时，，所以方程无解，所以错误；
对于，因为，可得，所以，
又因为，所以，
则，所以正确；
对于，
，所以错误；
对于，因为，所以，
又，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为，所以正确.故选BD.
11.BC 【解析】，
令，则，故选项A错误；
令，则，
又，所以，令，则，
所以函数关于对称，
令，则，
令，则，所以，
又函数的定义域，所以函数为偶函数，故选项B正确；
令，则，
又，所以，故选项C正确；
因为，所以，所以函数的一个周期为8，
令，则，所以，
所以，所以，
，
所以
，
所以，故选项D错误.故选BC.
三､填空题
12.
13.4或8 【解析】由，得，
由余弦定理得，，
化简得，解得或.
14.2 【解析】设，
则由题意可得，
因为，
所以①当时，，只需考虑，
所以，
所以，可得，当且仅当时取等号；
②当时，，只需考虑，
所以，
可得，当且仅当时取等号.
综上所述，的最小值为2.
四､解答题
15. 【解析】（1）因为，所以.
设向量与的夹角为，则，
解得.
又，所以，故.
（2）因为，所以，
即，解得.
16. 【解析】（1）若选择条件①，则答案为：
在中，由正弦定理得，
，两边平方可得：，则，
.
若选择条件②，则答案为：，
由正弦定理得，
，
，
由，解得：，
，
.
（2）设，
易知，
在中，由余弦定理得，解得或（舍去），
在直角三角形中，.
17. 【解析】（1）由是半圆的直径，得，则，
过点作交于点，连接，则，
因此，所以.
（2）由（1）知，
设，则，显然当时，有最大值10，
所以梯形周长的最大值是10.
18. 【解析】（1）令，解得，
又，得的单调递增区间是和；
令，解得，
又，得的单调递减区间是和.
函数在上的单调递增区间是和，单调递减区间是和.
（2）若，使成立，
则当时，的值域应为的值域的子集.
由（1）知，在上单调递减，的值域为，
，当时，令，
则，开口方向向上，对称轴是直线，
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，即，解得，所以.
（3）由（1）知在上是减函数，易知在上是增函数，
所以在上是减函数，
又，
根据零点存在性定理知在上有唯一零点，
当时，，
所以，
即在上无零点，
综上，在上有且只有一个零点.
，
，
，
.
19. 【解析】（1）设，
则
，
所以在上为凹函数.
（2）令，由（1）知在上为凹函数，所以函数在上也为凹函数.
由琴生不等式，得，
即，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为.
（3）设，因为，所以，
要证，只需证，
由琴生不等式，只需证在上为凹函数.
设，则，
下证，即证，
即证，
化简得，
即证
又式显然成立，
所以成立，在上为凹函数，
题号
]
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
B
B
A
D
D
C
ABD
BD
BC