人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步练习题

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2．D [由a∥b得y＋4＝0，
∴y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4，8)，
∴|2a－b|＝45．故选D．]
3．B [cs 3π4＝m·nmn＝-12n＝－22，|n|＝1，故选B．]
4．D [向量a在向量b上的投影向量为a·bb·bb＝-62·b2＝－32b，其坐标为－32(1，3)＝-32，-332．故选D．]
5．BC [由a＋b＝(1，－1)两边平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝12＋(－1)2＝2，则|a＋b|＝2，所以A选项错误；因为a，b是单位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，所以B选项正确；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝2，所以D选项错误；设a与a－b的夹角为θ，则cs θ＝a·a-baa-b＝a2-a·b1×2＝12＝22，θ∈[0，π]，所以a与a－b的夹角为π4，所以C选项正确．故选BC．]
6．－34 [由题意知，a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－34．]
7．1 [如图所示，在正方形OABC中，A(0，1)，C(1，0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB＝(1，0)，AC＝(1，－1)，从而AB·AC＝(1，0)×(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1．]
8．－2 [法一：a＋b＝(m＋1，3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．
法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．]
9．解 (1)因为a∥b，所以－x－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2．
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
所以a－b＝(－2，0)，则|a－b|＝2．
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
所以a－b＝(2，－4)，则|a－b|＝25．
综上，|a－b|＝2或25．
(2)因为a与b的夹角为锐角，
所以a·b＞0，即2x＋3－x2＞0，解得－1＜x＜3．
又当x＝0时a∥b，故x的取值范围是(－1，0)∪(0，3)．
10．A [由题设知AB＝(8，－4)，AC＝(2，4)，BC＝(－6，8)，所以AB·AC＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB⊥AC．所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．]
11．C [由已知有c＝(3＋t，4)，cs 〈a，c〉＝cs 〈b，c〉，故9+3t+16c·5＝3+tc·1，解得t＝5．故选C．]
12．C [设点P的坐标为(x，0)，
则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．
所以AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以当x＝3时，AP·BP有最小值1．
此时点P的坐标为(3，0)．]
13．(0，1) [根据题意，设D(x，y)，则
CD＝(x－3，y)，AB＝(1，3)，
CB＝(－1，2)，AD＝(x－1，y＋1)．
因为CD⊥AB，
所以CD·AB＝(x－3)×1＋3y＝0．①
因为CB∥AD，所以CB∥AD，
则2(x－1)＝(－1)(y＋1)．②
由①②得x＝0，y＝1，
所以点D的坐标为(0，1)．]
14．解 (1)因为m＝22，-22，
n＝(sin x，cs x)，m⊥n．
所以m·n＝0，即22sin x－22cs x＝0，
所以sin x＝cs x，所以tan x＝1．
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cs π3＝12，
即22sin x－22cs x＝12，所以sin x-π4＝12，
因为0