高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用精练

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2．C [由题意知F3＝－(F1＋F2)，
所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F12+F22＋2F1·F2
＝4＋16＝20，∴|F3|＝25．]
3．B [设BC边的中点为M，则12(AB+AC)＝AM，
∴OP＝OA+AM＝OM，
∴P与M重合，
∴|AP|＝12|BC|＝1．]
4．C [由条件知CA2＝CB2，即|CA|＝|CB|，即△ABC为等腰三角形．]
5．BD [根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．]
6．10 [如图，由题意，得
∠AOC＝∠COB＝60°，|OC|＝10，
则|OA|＝|OB|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N．]
7．(10，－5) [由题意知，P0P＝5v＝(20，－15)，
设点P的坐标为(x，y)，则x+10=20，y-10=-15，
解得点P的坐标为(10，－5)．]
8．π2 5 [由AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0知AC⊥BD，故向量AC与BD的夹角为π2．
又∵|AC|＝5，|BD|＝-42+22＝25，
∴S＝12|AC||BD|＝12×5×25＝5．]
9．解 (1)物体m的位移大小为|s|＝2sin37°＝103(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cs 90°＝0(J)．
(2)重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|·cs 53°＝5×9.8×103×0.6＝98(J)．
10．B [因为AB＝4，AC＝22，∠BAC＝135°，
所以AB·AC＝－8．
因为BM＝AM-AB＝12AD-AB
＝14AB+AC-AB＝－34AB＋14AC，
所以BM＝-34AB+14AC2
＝916AB2-38 AB·AC+116AC2＝522．
故选B．]
11．D [设船的实际速度为v，v1与南岸上游的夹角为α，如图所示．
要使得游船正好到达A′处，
则|v1|cs α＝|v2|，即cs α＝v2v1＝25，
又θ＝π－α，所以cs θ＝cs(π－α)＝－cs α＝－25．]
12．B [如图，设D为BC边的中点，
则AD＝12(AB+AC)．
因为3AM-AB-AC＝0，
所以3AM＝2AD，所以AM＝23AD，
所以S△ABM＝23S△ABD＝13S△ABC．]
13．9 [法一(坐标法)：由题意可知AC⊥BC，所以以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3，0≤x≤4，则CP·(BA-BC)＝CP·CA＝(x，y)·(0，3)＝3y，当y＝3时，CP·(BA-BC)取得最大值9．
法二(基向量法)：∵CP＝CA+AP，BA-BC＝CA，
∴CP·(BA-BC)＝(CA+AP)·CA
＝CA2＋AP·CA＝9－AP·AC
＝9－|AP||AC|cs ∠BAC
＝9－3|AP|cs ∠BAC．
∵cs ∠BAC为正且为定值，
∴当|AP|最小即|AP|＝0时，CP·(BA-BC)取得最大值9．]
14．解 如图建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)．
(1)BE＝OE-OB＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)，
CF＝OF-OC＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1)，
∵BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴BE⊥CF，即BE⊥CF．
(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)．
∵FP∥CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2．
同理由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2，
解得x＝65，∴y＝85，即P65，85．
∴AP2＝652＋852＝4＝AB2，
∴|AP|＝|AB|，即AP＝AB．
15．解 (1)当m＝n时，
CM＝12(CD+CE)＝12(mCA＋mCB)＝m2(CA+CB)，CN＝12(CA+CB)，故CM＝mCN，故C，M，N三点共线，即得证．
(2)当m＋n＝1时，CM＝12(CD+CE)＝12(mCA＋nCB)，CN＝12(CA+CB)，
故MN＝CN-CM＝12(CA+CB)－12(mCA＋nCB)＝12(nCA＋mCB)，
故|MN|2＝14|nCA＋mCB|2
＝14(9n2＋16m2＋2mnCA·CB)
＝14(9n2＋16m2)
＝1491-m2+16m2＝14(25m2－18m＋9)，
故当m＝182×25＝925时，|MN|2取得最小值1425×9252-18×925 +9＝3625，
即|MN|的最小值为65．