数学必修 第二册7.2 复数的四则运算精练

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2．A [由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1，1)．故选A．]
3．A [由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故b+4=0，a+3=0，4-b≠0，解得a＝－3，b＝－4．]
4．B [依题意，AC对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5．]
5．ACD [由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点(3，2)与点(1，1)，所以3+2i-1+i表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离，故A说法正确，B说法错误；3+2i-1+i＝2+i，2+i可表示点2，1到原点的距离，故C说法正确；3+2i-1+i＝1+i-3+2i＝|－2－i|，|－2－i|可表示点(－2，－1)到原点的距离，即坐标为(-2，-1)的向量的模，故D说法正确．故选ACD．]
6．4－3i [z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i．]
7．2 －8－2i 217 [向量OA+OB对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2．
∵BA＝OA-OB，
∴向量BA对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i．
∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝-82+-22＝217．]
8．±23－2i [因为z＋2i是实数，所以可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±23，
所以z＝±23－2i．]
9．解 由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i．
(1)若复数z1－z2＋z3是实数，
则a＋4＝0，即a＝－4．
(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，则1-2a+a2=0，a+4≠0， 解得a＝1．
10．C [由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得a2-2+a=0，a2-3a+2≠0， 得a＝－2．]
11．B [根据复数加(减)法的几何意义，可知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．]
12．AD [因为复数z与其共轭复数为z的实部相等，虚部互为相反数，所以z＋z∈R，A正确；
当z为实数时，z也为实数，则z－z是实数，B错误；若z＝cs π5＋isin 3π5，
则|z|＝cs2π5+sin23π5≠1，C错误；
若|z－i|＝1，设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x2＋(y－1)2＝1，则|z|表示满足方程x2＋(y－1)2＝1的圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确．]
13．3＋32 [z1＋z2＝3＋3i，故f (z1＋z2)＝f (3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋32．]
14．在复平面内，已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝32，求|z1＋z2|．
解 设OA对应的复数为z1，OB对应的复数为z2，
则OA+OB对应的复数为z1＋z2，OA-OB对应的复数为z1－z2，因为|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝32，
所以△AOB为等腰直角三角形，且|BA|＝32．
作正方形AOBC，如图所示，
则OA+OB＝OC对应的复数为z1＋z2，
故|z1＋z2|＝|OC|＝|BA|＝32．
15．解 (1)AB对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
BC对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
AC对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i．
(2)∵|AB|＝2，|BC|＝10，|AC|＝8＝22，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝12×2×22＝2．