高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课后测评

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2．B [设实心球的半径为R．由题意可得，2πR2＝4π，∴原来实心球的表面积为4πR2＝8π．故选B．]
3．A [设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r．易知R2＝14R2＋r2，∴34R2＝r2．
则S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝34πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为34πR24πR2＝316．故选A．]
4．D [由题意，得r＝13，d＝23，
所以23≈316V9，解得V≈16．]
5．CD [依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，所以A错误；圆锥的侧面积为πR×5·R＝5πR2，所以B错误；球面面积为4πR2，因为圆柱的侧面积为4πR2，所以C正确；因为V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝13πR2·2R＝23πR3，V球＝43πR3，所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶23πR3∶43πR3＝3∶1∶2，所以D正确．故选CD．]
6．8 [设球的半径为R，正方体的棱长为a，
则43πR3＝43π，故R＝1，由3a＝2R＝2，所以a＝23，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×232＝8．]
7．4 [设铁球的半径为r cm，由题意得πr2×8＝πr2×6r－43πr3×3，解得r＝4．]
8．1 [设两球的半径分别为R，r(R>r)，则由题意得4π3R3+4π3r3=12π，2πR+2πr=6π， 解得R=2，r=1．故R－r＝1．]
9．解：该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．
该组合体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3．
10．A [由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3．]
11．C [由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球O的半径R＝1232+42+122＝132，所以球O的表面积S＝4π×1322＝169π，故选C．]
12．D [由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底面三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝43πr3＝323π，得r＝2．由S柱底＝12a×r×3＝34a2，得a＝23r＝43，所以V柱＝S柱底·2r＝483．]
13．100π [如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π．
]
14．解：因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，
所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°．
又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也是Rt△ABC的外接圆的圆心，
所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，
设O′C＝r，OC＝R，
则球半径为R，截面圆半径为r，在Rt△O′CO中，
由题设知sin ∠O′CO＝OO'OC＝12，
所以∠O′CO＝30°，所以rR＝cs 30°＝32，
即R＝23r，(*)
又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝103．
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×(103)2＝1 200π．
球的体积为V＝43πR3＝43π×(103)3＝4 0003π．
15．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB．
设圆O的半径为R，则有43πR3＝972π，
∴R＝9，∴SE＝2R＝18．
∵SD＝16，∴ED＝2．
连接AE，又SE是圆O的直径，
∴SA⊥AE，
∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝122．
∵AB⊥SD，D为AB中点，
∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝42．
∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×42×122＝96π．
(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，
∵△SAB的周长为2×(122＋42)＝322，
∴12r×322＝12×82×16，解得r＝4．
故圆锥内切球的体积V球＝43πr3＝2563π．