数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直当堂达标检测题

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2．B [A中，α，β可能平行也可能相交，所以A错误；易知B正确；C中，若α∥β，仍然可以满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，所以C错误；D中，α，β可能平行也可能相交，所以D错误．故选B.]
3．C [如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角．设A1A＝a，则AO＝22a，所以tan ∠A1OA＝a22a＝2.]
4．D [∵四边形ABCD是矩形，
∴DA⊥AB.又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DA.又AB∩PA＝A，
∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB.
又易证AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，
∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．]
5．C [由题设VA⊥AB，VA⊥AC，且AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，又VA⊂平面VAB，VA⊂平面VAC，
∴平面VAC⊥平面ABC，平面VAB⊥平面ABC，则A，B正确；又易知VA⊥BC，BC⊥AB，且VA∩AB＝A，∴BC⊥平面VAB，又BC⊂平面VBC，从而平面VAB⊥平面VBC，故D正确，故选C.]
6．70° [如图，PB⊥α，PC⊥β，易知∠BAC＝70°，由四边形PBAC的内角和为360°，可知∠BPC＝110°.由空间中两直线所成角的取值范围可知，这两条垂线所成的角的大小为70°.]
7．90° [∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，
∴所求二面角的大小为90°.]
8．面面垂直的判定定理 [如图所示，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.]
9．证明：(1)法一：(利用定义证明)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝22a，BD＝BC2＝22a.
在Rt△ABD中，AD＝22a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为等腰直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面SBC.
10．C [设P在底面ABC内的射影为O，过O分别作AB，BC，CA垂线，垂足分别为D，E，F(图略)，则α＝∠PDO，β＝∠PEO，γ＝∠PFO，从而tan α＝POOD，tan β＝POOE，tan γ＝POOF，因为PA>PB>PC，所以OA>OB>OC,OD>OF>OE，即tan α