河北省保定市唐县第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量和的夹角为，，，则等于（ ）
A. 15B. 12C. 6D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积运算求解即可.
【详解】∵向量和的夹角为，，，
∴.
故选：B.
2. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. 3D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列方程求的值.
【详解】，
，则有，解得.
故选：B
3. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A. 重心B. 外心C. 内心D. 垂心
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合向量的线性运算以及三角形的性质分析判断
【详解】由题意，当时，如图
可知：点在边上的中线所在直线上，∴动点的轨迹一定通过的重心，
故选：A．
4. 在中，内角、、的对边分别为、、.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理结合已知条件可得出关于的方程，即可得解.
【详解】由余弦定理可得，即，解得.
故选：A.
5. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ）
A. 2B. 5C. 2或5D. 或5
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得.
【详解】由向量，，两两的夹角相等，得或，
当时，，
当时，
.
故选：C
6. 如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且=，＝y，则的值为( )
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】特殊化，令计算出x、y的值，带入即可。
【详解】利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，得x＝y＝，则＝。
【点睛】本题考查平面向量基本定理，属于基础题。
7. 在中，，，，为边上的高，若，则等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题意得， ，，则，所以,，则,故选A.
考点：平面向量基本定理
8. 扇形的半径为1，圆心角为，是上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题设有，，，，即可得，分析使的最小时的位置关系，进而求的最小值.
【详解】
由题设，，，
∴，
∴，，
∴，要使的最小，即同向共线.
又，
∴.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分得3分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若向量与向量共线，则
C. 与共线的单位的量的坐标为
D. 在方向上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，利用夹角公式即可直接求解；选项B，利用向量的共线定理即可直接求解；选项C，利用向量的共线单位向量公式即可直接求解；选项D，利用投影向量的公式即可直接求解.
【详解】，故A正确；
若向量与向量共线，
则存实数使得，
所以，解得，故B正确；
与共线的单位向量为，即或，故C错误；
在方向上的投影向量，故D正确.
故选：ABD
10. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ）
A. 当时，满足条件的三角形共有个
B. 若则这个三角形的最大角是
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，，则为等腰直角三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正弦定理求得,即可判定A错误；利用正弦定理转化为边的比值，进而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，对B作出判定；注意到三角形的各个角的情况，周全考虑，即可判定C错误；根据已知条件,综合使用正余弦定理可求得角A的值，进而证明D正确.
【详解】对于Ａ，，无解，故A错误；
对于B,根据已知条件，由正弦定理得：,
不妨令,则,最大角的余弦值为：,
∴，故B正确；
对于C，由条件，结合余弦定理只能得到,即角为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C错误；
对于D,,得到,
又
,
,
为等腰直角三角形，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查正余弦定理，熟练掌握并灵活运用正余弦定理是关键.
11. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）.
A. 、为实数，若，则与共线
B. 若、，则
C 两个非零向量、，若，则与垂直
D. 若，、分别表示、的面积，则
【答案】AB
【解析】
【分析】由零与任何向量共线，即可判断B；由三角形的重心的向量表示和性质可判断D；由向量共线的性质可判断A；根据平面向量数量积的运算律判断C．
【详解】解：对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误，
对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错，
对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确，
若，设，，可得为的重心，
设，，，
则，，，由，
可得，故D正确；
故选：AB.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角，若，，则的值为 _________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用平面向量夹角余弦坐标表示求得，从而求得，进而利用定义即可得解.
【详解】因为，，
则，，
则，
又，则，
则.
故答案为：.
13. 某中学校园内的香樟树已有较长的历史.如图，小明为了测量香樟树高度，他在正西方向选取与香樟树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得香樟树根部C在西偏北的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北的方向上，树梢D的仰角为，则香樟树的高度为__________米.
【答案】
【解析】
【分析】根据图象可得，中，，，运用正弦定理可得，通过在中求解三角形的边长即可．
【详解】中，，
，
运用正弦定理可得，，解得，
在中，，
．
故答案为：．
14. 已知向量，，，，若，则的最小值______.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据向量平行的坐标表示得到，再根据“1”的变形，利用基本不等式求最值.
【详解】，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“1”的妙用，变形，展开后，即可利用基本不等式求最值.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.
（1）求A的大小；
（2）若a＝7，且顶点A到边BC的距离等于，求b和c的长.
【答案】（1）
（2）b＝3，c＝5或b＝5，c＝3
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求解；
（2）利用面积公式求出，联立方程组可求答案.
小问1详解】
由正弦定理，，
即.
因为，，
所以
【小问2详解】
由（1）可知①.
又因为，所以②，
联立①②解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.
16. 在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）若的面积为，求的值；
（2）设，，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；
（2）由结合二倍角公式可求得，求得和的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】（1），，则，
的面积为，.
因此，；
（2），，且，所以，，即，.
，.
，
，
因此，.
【点睛】本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题.
17. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
（1）求角A；
（2）若D点在线段上，且平分，若，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及三角形中即可求解.
（2）可设,则，利用余弦定理及正弦定理求解三者的值，再利用三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
解：∵，由正弦定理得：，即，
则，
又在中，，，故，
故.
【小问2详解】
由题可知，设,则，
由正弦定理得：，即，
解得，
由余弦定理得，解得；
又，故.
由余弦定理得，即，
解得，则，.
的面积为.
18. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，利用余弦定理即可求出的值，从而得的大小；
（2）利用（1）中的结论及基本不等式和三角形三边关系定理，即可求出的取值范围．
【小问1详解】
根据及正弦定理，得，
得，
根据余弦定理，得，
又，所以．
【小问2详解】
由（1）知，，
因为，所以，（若，因为，
所以为正三角形，则，这与中相矛盾，所以，
即不等式中等号取不到），解得，即．
因三角形任意两边之和大于第三边，即，
综上，则有，
故的取值范围为．
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）若为的相伴特征向量，求实数m的值；
（2）记向量的相伴函数为，求当且时的值；
（3）已知，，为（1）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在点，使得.
【解析】
【分析】（1）利用特征向量的定义即得；
（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；
（3）由题可得的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.
【小问1详解】
∵，
又为的相伴特征向量，
∴；
【小问2详解】
∵向量的相伴函数为，
又，
.
，，
，
∴；
【小问3详解】
由题可知，
∴，
设，，
，，
又，
，
，
即，
，
，，
，
又，
当且仅当时，和同时等于，
在图像上存在点，使得.