河南省南阳市宛城区黄台岗镇第一初级中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题．（每题3分，共30分）
1. 下列有理式：①，②，③，④，其中分式有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的定义，理解“分母含有字母的式子叫做分式”是解题的关键．
【详解】解：①是分式，②是整式，③是分式，④是整式，
分式有个，
故选：B．
2. 对下列分式约分，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了约分，对分子、分母进行因式分解，约去公因式，逐一判断，即可求解；掌握约分的方法是解题的关键．
【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意；
B.不能进行约分，结论错误，故不符合题意；
C.，结论错误，故不符合题意；
D.，结论正确，符合题意；
故选：D．
3. 化简：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式的运算．题中分母相同，分子相减再运算即可．
【详解】解：
．
故选：A．
4. 在函数y=中,自变量x的取值范围是 ( )
A. x>5B. x≥5C. x≠5D. x<5
【答案】A
【解析】
【分析】根据分母不为零且被开方数是非负数列式求解即可.
【详解】由题意得
x-5≥0，且x-5≠0，
∴x>5
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从几个方面考虑：
①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
5. 计算结果为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂和负指数幂，掌握（），（）是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：C．
6. 下列式子中，不是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数的定义．在一个变化过程中，有两个变量，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
【详解】解：A．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意；
B．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意；
C．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意；
D．对于每一个取值，都有两个确定的值与之对应，不是的函数，此项符合题意．
故选：D．
7. 若关于x的分式方程有增根，则的值是（ ）
A. B. 2C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式方程的增根．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程分母为0的根．
【详解】解：
方程两边都乘得
当分母即时，方程有增根
把代入得
．
故选：A．
8. 若与 互为相反数，则x的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可．
【详解】由题意得+=0，
去分母3x+4(1-x)=0，
解得x=4．
经检验得x=4是原方程的解．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的意义及解分式方程，解分式方程务必要检验．
9. 若x=－1，y=2，则 的值等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：通分后，约分化简．然后代x、y的值求值：
，
当x=－1，y=2时，．故选D．
10. 某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．
【详解】解：设他第一次买了x本资料，则这次买了（x+20）本，
根据题意得：．
故选：D．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
二、填空题．（每题3分，共15分）
11. 当______时，分式无意义．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查分式无意义的条件．当分式的分母为0时，分式无意义．
【详解】分式无意义
．
故答案为：3．
12. 0.0000064用科学记数法表示为_____．
【答案】6.4×10﹣6．
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.0000064＝6.4×10﹣6，
故答案为6.4×10﹣6．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13. 若分式值为零，则x的值为 _____．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：由分式的值为零的条件得|x|﹣2＝0，x﹣2≠0，
由|x|﹣2＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
由x﹣2≠0，得x≠2，
综上所述，得x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．
14. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的运算．先化简式子，再根据已知条件代入即可．
【详解】
．
15. 若函数y=，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于_____．
【答案】或4
【解析】
【分析】把y＝8，分别代入解析式，再解方程，要注意x的取值范围.
【详解】由已知可得x2+2=8或2x=8,
分别解得x1=(不符合题意舍去)，x2=-，x3=4
故答案为或4
三、解答题．（共75分）
16. 计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，分式的运算．
（1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减，即可求解；
（2）先算括号里面的减法，再算括号外的除法，即可求解．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
17. 解方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，注意要检验．
（1）先去分母，两边同时乘最简公分母，化成整式方程再求解，最后检验；
（2）先去分母，两边同时乘最简公分母，化成整式方程再求解，最后检验．
【小问1详解】
解：去分母，得
解得
经检验是原分式方程的解
原分式方程的解为；
【小问2详解】
去分母，得
解得
经检验是原分式方程的增根
原分式方程无解．
18. 先化简：，再求当x+1与x+6互为相反数时代数式的值．
【答案】原式=，1．
【解析】
【分析】先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分后化为最简分式，然后利用x+1与x+6互为相反数可得到原式的值．
【详解】解：原式=
=
=，
∵x+1与x+6互为相反数，
∴原式=﹣1．
19. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是______米，小红在商店停留了______分钟；
（2）本次去舅舅家，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
【答案】（1）1500，4
（2）2700，14
【解析】
【分析】本题考查利用函数图象解决实际问题．
（1）根据图象，路程的最大值即为小红到舅舅家的路程，即1500米；图象中平行与横轴的那部分图象对应的时间即为小红再商店停留的时间，即分钟；
（2）图象一共分为4段，除了第3段路程为0外，其余三段路程的和就是小红去舅舅家一共行驶的路程；时间看图易得．
【小问1详解】
解：根据图象，路程的最大值即为小红到舅舅家的路程，即1500米，
图象中平行与横轴的那部分图象对应的时间即为小红再商店停留的时间，即分钟；
【小问2详解】
由图可得小红去舅舅家一共行驶了米，
一共用了14分钟．
20. 如果关于x的方程1+=的解，也是不等式组的解，求m的取值范围．
【答案】且．
【解析】
【分析】先根据分式方程的解法求解方程,再根据分式方程解的情况分类讨论求m的取值,
再解不等式组,根据不等式组的解集和分式方程解的关系即可求解.
【详解】方程两边同乘,得，,解得,
当时,,,
当时,,,
故当或时有,
方程的解为,其中且,
解不等式组得解集,
由题意得且,解得且,
的取值范围是且.
【点睛】本题主要考查解含参数的分式方程和解不等式组,解决本题的关键是要熟练掌握解含参数的分式方程.
21. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．

（1）_______，_______，点的坐标为_______；
（2）当点移动4秒时，求出点的坐标；
（3）在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，求点移动的时间．
【答案】（1）4；6；
（2）
（3）当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒
【解析】
【分析】（1）根据，可以求得、的值，根据长方形的性质，可以求得点的坐标；
（2）根据题意点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点移动4秒时，点的位置和点的坐标；
（3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点移动的时间即可．
小问1详解】
解：∵a、b满足，
∴，，
解得：，，
∴点B的坐标是．
故答案是：4；6；．
【小问2详解】
解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，
∴，
∵，，
∴当点P移动4秒时，在线段上，离点C的距离是：，
即当点P移动4秒时，此时点P在线段上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是．
【小问3详解】
解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在上时，
点P移动的时间是：（秒），
第二种情况，当点P在上时,
点P移动的时间是：秒，
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22. 已知，，求分式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式．先化简式子，然后把，代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】解：，
．
23. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【答案】（1）甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【解析】
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为(x+8)元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为，
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
，
解得，
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键．