陕西省安康市高新中学2023-2024学年高二下学期第1次月考（3月）数学试题（3月+3月）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应的位置上）
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知分别是平面的法向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 7
4. 据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（ ）
A. 45B. 50C. 51D. 53
5. 曲线在点处的切线方程为
A. B.
C. D.
6. 如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为
A 96B. 84C. 60D. 48
7. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列，已知，，且满足（），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人
A 225B. 255C. 365D. 465
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．）
9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是极小值点
C. 函数在上有极大值D. 是的极大值点
10. 已知双曲线的方程为，则（ ）
A. 渐近线方程为B. 焦距为
C. 离心率为D. 焦点到渐近线的距离为8
11. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是（ ）
A. 若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种
B. 若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同排列方式共有6种
C. 若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种
D. 若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种
12. 数列中，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13. 在等比数列 中，，则 _________．
14. 已知，，若，则实数的值为______．
15. 用、、、、这个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为______（用数字作答）.
16. 已知对任意实数都有，且，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在前项和为的等差数列中，．
（1）求数列的首项和公差；
（2）当时，求的最大值．
18. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；
（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
19. 已知函数
（1）的单调区间.
（2）求函数在区间上的最大、最小值.
20. 如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示.

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21. 已知椭圆的离心率，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线：，若原点到直线的距离为，且直线与椭圆交于两点，证明：.
22. 已知函数．
（1）设函数，若函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围．