+浙江省湖州市德清县2022-2023学年九年级下学期期中数学试卷

这是一份+浙江省湖州市德清县2022-2023学年九年级下学期期中数学试卷，共28页。
A．2x5﹣3x3＝﹣x2B．2
C．（﹣x）5（﹣x2）＝﹣x10＝1D．（﹣ab3）2＝a2b6
2．（3分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图所示，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是（ ）个．
A．8B．9C．10D．11
4．（3分）某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（ ）
A．参加本次植树活动共有30人
B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵
D．每人植树量的平均数是5棵
5．（3分）如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．（3分）如图的数轴上有O、A、B三点，其中O为原点，A点所表示的数为106，根据图中数轴上这三点之间的实际距离进行估计，下列何者最接近B点所表示的数（ ）
A．2×106B．4×106C．2×107D．4×108
7．（3分）已知一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．x＞1D．x＜1
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（ ）
A．50°B．48°C．45°D．36°
9．（3分）如图，▱ABCD的顶点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（0，﹣2），顶点C，D均在函数 的图象上，AD交y轴于点E，若S四边形ABCD＝6S△ABE＝12，则k的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，CF＝2，则AF的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若，则∠A的度数是 ．
12．（3分）动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位．某天，小刘计划从龙岩坐动车前往福州出差，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率为 ．
13．（3分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形ABCD拼成的一个大正方形EFGH，如图，若EA＝3，EH＝5，则小正方形ABCD的面积是 ．
14．（3分）已知M（x1，y1），N（x2，y2）两点都在反比例函数y＝的图象上，且x1＞0＞x2，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝8，∠ABC＝60°，点E在边AD上，且AE＝3DE，点P是线段OD上的动点，则AP+PE的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（6分）先化简：，再选取一个合适的a值代入求值．
17．（8分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝8，菱形ADCF的面积为40，求AB的长．
18．（9分）某山区学校为开发学生特长，培养兴趣爱好，准备开设“第二课堂培训班”，每周进行一次．拟开设科目有：A．数学兴趣，B．古诗词欣赏；C．英语特长；D．艺术赏析；E．竞技体育等五类．学校对学生进行了抽样调查（每人只能选择一项），并将调查结果绘制成图1和图2所示的两个不完整统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求x的值，并将图1补充完整；
（2）在图2中，D科目所占扇形圆心角的度数为 °；
（3）为提高学生对C、E科目的了解与关注，学校准备从选C、E科目的学生中随机选出2名出黑板报进行宣传，请你用列表法或树状图法求这2名同学选择不同科目的概率．
19．（8分）新中考理化科目更重视对学生独立思考、创新能力、分析和解决问题能力的考查．某校为培养学生动手和解决问题的能力，在期末考试中增设实验考试，规定每位学生必须在“A．观察凸透镜所成的像，B．用弹簧测力计测力，C．粗盐的提纯，D．过氧化氢分解制氧气”四个实验中抽取一个实验完成，假设小刚抽到每个实验的可能性相同．
（1）若小刚从中任意抽取一个实验，则小刚抽到实验C的概率为 ；
（2）若将A、B、C、D四个实验分成两组，每组2个实验，请用列表或画树状图中的一种方法，求两个物理实验均在同一组的概率．
20．（8分）在一次全县初中数学核心素养评价活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为学生奖品．已知每本笔记本比每支钢笔多3元，用390元购买的笔记本数量与用300元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全县前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的奖品，要使购买奖品的总费用不超过560元，最多可以购买多少本笔记本？
21．（10分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数的图象交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）将直线y＝﹣x向上平移a个单位长度，与反比例函数在第二象限的图象交于点C，与y轴交于点D，与x轴交于点E，若，求a的值．
22．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，，D为BC的中点，E，F为别为线段AB，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AC于点M，点N在AB上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求；
（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AB的中点，连接CE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△CEH沿EH翻折至ABC所在平面内，得到△C′EH，连接C'G，直接写出线段C′G长度的最小值．
23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于C点，且OC＝3OB，顶点为D点，连接OD．
（1）求抛物线解析式；
（2）P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标．
（3）在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平移后的新抛物线对称轴上找一个点M，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形，请直接写出N点坐标．
2022-2023学年浙江省湖州市德清县九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x5﹣3x3＝﹣x2B．2
C．（﹣x）5（﹣x2）＝﹣x10＝1D．（﹣ab3）2＝a2b6
【解答】解：A、2x5与3x3不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、2与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
C、（﹣x）5（﹣x2）＝x7，原计算错误，不符合题意；
D、（﹣ab3）2＝a2b6，正确，符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
3．（3分）如图所示，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是（ ）个．
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：由俯视图易得最底层有6个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，第三层最少有1个正方体，那么共有6+2+1＝9个正方体组成．
故选：B．
4．（3分）某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（ ）
A．参加本次植树活动共有30人
B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵
D．每人植树量的平均数是5棵
【解答】解：A、∵4+10+8+6+2＝30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；
C、∵共有30个数，第15、16个数为5，
∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．
故选：D．
5．（3分）如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：原几何体的主视图是：
．
故取走的正方体是①．
故选：A．
6．（3分）如图的数轴上有O、A、B三点，其中O为原点，A点所表示的数为106，根据图中数轴上这三点之间的实际距离进行估计，下列何者最接近B点所表示的数（ ）
A．2×106B．4×106C．2×107D．4×108
【解答】解：由数轴的信息知：OA＝106；
∴B点表示的实数为：20•OA＝2×107；
故选：C．
7．（3分）已知一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．x＞1D．x＜1
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，
∴b＞0，a＜0，
把（2，0）代入解析式y＝ax+b得：0＝2a+b，
解得：2a＝﹣b
＝﹣2，
∵a（x﹣1）﹣b＞0，
∴a（x﹣1）＞b，
∵a＜0，
∴x﹣1＜，
∴x＜﹣1，
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（ ）
A．50°B．48°C．45°D．36°
【解答】解：连接AD，∵BC与⊙A相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝6，AG＝AD＝3，
∴AD＝AB，
∴∠B＝30°，
∴∠GAD＝60°，
∵∠CDE＝18°，
∴∠ADE＝90°﹣18°＝72°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+36°＝96°，
∴∠GFE＝GAE＝96°＝48°，
故选：B．
9．（3分）如图，▱ABCD的顶点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（0，﹣2），顶点C，D均在函数 的图象上，AD交y轴于点E，若S四边形ABCD＝6S△ABE＝12，则k的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，连接BD，
∵ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，
∵BO∥DG，
∴∠OBC＝∠GDE，
∴∠HDC＝∠ABO，
∴△CDH≌△ABO（ASA），
∴CH＝AO＝1，DH＝OB＝2，
∵S四边形ABCD＝6S△ABE＝12，
∴S△ABD＝3S△ABE，
∴S△BDE＝2S△ABE，
∴DE＝2AE，
∵A（﹣1，0），
∴点D的横坐标为2，C的横坐标为3，
设D（2，m），则C（3，m﹣2），
∵顶点C、D均在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴2m＝3（m﹣2），
解得m＝6，
∴D（2，6）
∴k＝12．
故选：D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，CF＝2，则AF的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，AB＝AD＝DC，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∵E是BC的中点，CF＝2，
∴，
解得：AB＝8，
在Rt△ADF中，AD＝8，DF＝DC﹣CF＝6，
∴，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若，则∠A的度数是 60° ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，若，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
故答案为：60°．
12．（3分）动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位．某天，小刘计划从龙岩坐动车前往福州出差，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率为 ．
【解答】解：∵动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位，
∴小刘的座位是靠窗的概率为，
故答案为：．
13．（3分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形ABCD拼成的一个大正方形EFGH，如图，若EA＝3，EH＝5，则小正方形ABCD的面积是 1 ．
【解答】解：∵EA＝3，EH＝5，∠EAH＝90°，
∴AH＝＝＝4，DH＝EA＝3，
∴AD＝AH﹣DH＝4﹣3＝1，
∴小正方形ABCD的面积是AD2＝12＝1，
故答案为：1．
14．（3分）已知M（x1，y1），N（x2，y2）两点都在反比例函数y＝的图象上，且x1＞0＞x2，则y1 ＜ y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【解答】解：∵反比例函数y＝中，﹣5＜0，
∴反比例函数y＝的图象在第二、四象限．
∵x1＞0＞x2，
∴N（x2，y2）在第二象限，M（x1，y1）在第四象限．
∴y1＜0，y2＞0．
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝8，∠ABC＝60°，点E在边AD上，且AE＝3DE，点P是线段OD上的动点，则AP+PE的最小值是 ．
【解答】解：连接PC，EC，
∵菱形的对角线所在直线是菱形的一条对称轴，
∴CP＝AP，
∴AP+PE＝CP+PE≥CE，
∴AP+PE的最小值是CE的长；
过点E作EF⊥CD于点F，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，∠ABC＝60°，
∴AD＝CD＝AB＝8，∠ADC＝60°，
∵AE＝3DE，
∴ED＝2，
在Rt△EFD中，
EF＝ED•sin∠EDF＝2×sin60°＝，
DF＝ED•cs∠EDF＝2×cs60°＝1，
∴CF＝CD﹣DF＝8﹣1＝7，
在Rt△EFC中，
由勾股定理，得CE＝，
∴AP+PE的最小值是，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（6分）先化简：，再选取一个合适的a值代入求值．
【解答】解：原式＝1﹣•
＝1﹣
＝﹣
＝，
当a＝4时，原式＝．
17．（8分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝8，菱形ADCF的面积为40，求AB的长．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
∵AD为BC边上的中线，
∴DB＝DC，
∴AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC
＝AC•AB＝×8AB＝40，
∴AB＝10．
18．（9分）某山区学校为开发学生特长，培养兴趣爱好，准备开设“第二课堂培训班”，每周进行一次．拟开设科目有：A．数学兴趣，B．古诗词欣赏；C．英语特长；D．艺术赏析；E．竞技体育等五类．学校对学生进行了抽样调查（每人只能选择一项），并将调查结果绘制成图1和图2所示的两个不完整统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求x的值，并将图1补充完整；
（2）在图2中，D科目所占扇形圆心角的度数为 72 °；
（3）为提高学生对C、E科目的了解与关注，学校准备从选C、E科目的学生中随机选出2名出黑板报进行宣传，请你用列表法或树状图法求这2名同学选择不同科目的概率．
【解答】解：（1）∵被调查人数为16÷40%＝40人，
∴C科目的人数为40×5%＝2，
∴B科目的人数为40﹣（16+2+8+2）＝12人，
则x%＝×100%＝30%，
补全图1如图所示：
（2）在图2中，D科目所占扇形圆心角的度数为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中2名同学选择不同科目的情况有8种，
所以2名同学选择不同科目的概率为＝．
19．（8分）新中考理化科目更重视对学生独立思考、创新能力、分析和解决问题能力的考查．某校为培养学生动手和解决问题的能力，在期末考试中增设实验考试，规定每位学生必须在“A．观察凸透镜所成的像，B．用弹簧测力计测力，C．粗盐的提纯，D．过氧化氢分解制氧气”四个实验中抽取一个实验完成，假设小刚抽到每个实验的可能性相同．
（1）若小刚从中任意抽取一个实验，则小刚抽到实验C的概率为 ；
（2）若将A、B、C、D四个实验分成两组，每组2个实验，请用列表或画树状图中的一种方法，求两个物理实验均在同一组的概率．
【解答】解：（1）小刚抽到实验C的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两个物理实验均在同一组的结果数为4，
所以两个物理实验均在同一组的概率＝＝．
20．（8分）在一次全县初中数学核心素养评价活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为学生奖品．已知每本笔记本比每支钢笔多3元，用390元购买的笔记本数量与用300元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全县前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的奖品，要使购买奖品的总费用不超过560元，最多可以购买多少本笔记本？
【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则笔记本的单价为（x+3）元，
依题意得：，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴x+3＝10+3＝13，
答：笔记本的单价为13元，钢笔的单价为10元；
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，
依题意得：13y+10（50﹣y）≤560，
解得：y≤20，
答：最多购买20本笔记本．
21．（10分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数的图象交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）将直线y＝﹣x向上平移a个单位长度，与反比例函数在第二象限的图象交于点C，与y轴交于点D，与x轴交于点E，若，求a的值．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣x与反比例函数的图象交于A，B两点，
∴﹣x＝﹣，
解得x＝±3，
∴A（﹣3，3），B（3，﹣3）；
（2）∵如图，过点C作CF⊥y轴于点F，
∴CF∥OE，
∴∠FCD＝∠OED，∠CFD＝∠EOD，
∴△CFD∽△EOD，
∴，
∵直线y＝﹣x向上平移a个单位长度得到y＝﹣x+a，
根据图象可知a＞0，
令x＝0，得y＝a，令y＝0，得x＝a，
∴E（a，0），D（0，a），
∴，C（﹣a，），
依题意，得，解得或（舍去），
∴．
22．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，，D为BC的中点，E，F为别为线段AB，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AC于点M，点N在AB上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求；
（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AB的中点，连接CE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△CEH沿EH翻折至ABC所在平面内，得到△C′EH，连接C'G，直接写出线段C′G长度的最小值．
【解答】（1）解：如图1，
连接CP，由旋转知，CF＝CG，∠FCG＝90°，
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵点P是FG的中点，
∴CP⊥FG，
∵点D是BC的中点，
∴DP＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，
∴BC＝AB＝4，
∴DP＝2；
（2）证明：如图2，
过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，
∴∠AEH＝90°，
由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠AEH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，
∴AE＝HE，
∴△EGA≌△EFH（SAS），
∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，
∵AB⊥AC，HE⊥AC，
∴AB∥HE，
∴∠AMF＝∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵∠AGN＝∠AEG，
∴∠AGN＝∠HEF，
∴∠AGN＝∠AMF，
∵GN＝MF，
∴△AGN≌△AMF（AAS），
∴AG＝AM，
∵AG＝FH，
∴AM＝FH，
∴AF+AM＝AF+FH＝AH＝AE；
（3）解：∵点E是AC的中点，
∴AE＝AC＝，
根据勾股定理得，BE＝＝，
由折叠知，BE＝B'E＝，
∴点B'是以点E为圆心，为半径的圆上，
由旋转知，EF＝EG，
∴点G在点A右侧过点A与AD垂直且等长的线段上，
∴B'G的最小值为B'E﹣EG，
要B'G最小，则EG最大，即EF最大，
∵点F在AD上，
∴点F在点A或点D时，EF最大，最大值为，
∴线段B′G的长度的最小值﹣．
23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于C点，且OC＝3OB，顶点为D点，连接OD．
（1）求抛物线解析式；
（2）P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标．
（3）在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平移后的新抛物线对称轴上找一个点M，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形，请直接写出N点坐标．
【解答】解：（1）∵点A（3，0），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1．
∵OC＝3OB，
∴OC＝3．
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得：
．
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵y＝﹣x2+2x＝3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
过点E作EM⊥OA于M，过点P作PN⊥OA于N，连接EP，如图，
∵DE∥PF，
∴S△DPF＝S△EPF．
∴S四边形DPAF＝S△APF+S△DPF＝S△APF+S△EPF＝S△APE．
设点P（m，﹣m2+2m+3），
则ON＝m，PN＝﹣m2+2m+3．设直线AC的解析式为y＝kx+n，
∴．
解得：．
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3．
设直线OD的解析式为：y＝dx，
∴d＝4．
∴直线OD的解析式为：y＝4x．
∴．
解得：．
∴E（，）．
∴OM＝，ME＝．
∴MN＝m﹣，NA＝3﹣m．
∵S△APE＝S四边形EMPN+S△ANP﹣S△AME，
∴S△APE＝
＝﹣
＝﹣
＝．
∵，
∴当m＝时，S△APE有最大值．
∴四边形DPAF面积的最大值为．
此时点P的坐标为：（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x＝3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4，对称轴为x＝3．
①当四边形DPNM为矩形时，如图，
过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H，
则DK＝DE﹣PF＝4﹣＝，KP＝OF﹣OE＝﹣1＝．
易证△DKP≌△MHN．
∴NH＝KP＝，MH＝＝DK＝．
设DP的解析式为y＝ex+f，
∴．
解得：．
∴y＝﹣x+．
∴设直线DM的解析式为y＝2x+n，
∴4＝1×2+n．
∴n＝2．
∴直线DM的解析式为y＝2x+2．
当x＝3时，y＝2×3+2＝8．
∴MG＝8，
∴HG＝MG﹣MH＝．
∴N（）．
②当四边形DPNM为矩形时，如图，
过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H，
则DK＝DE﹣PF＝4﹣＝，KP＝OF﹣OE＝﹣1＝．
易证△DKP≌△MHN．
∴NH＝KP＝，MH＝DK＝．
设DP的解析式为y＝ex+f，
∴．
解得：．
∴y＝﹣x+．
∴设直线PM的解析式为y＝2x+h，
∴．
∴h＝．
∴直线PM的解析式为y＝2x+．
∴当x＝3时，y＝2×3+＝．
∴MG＝．
∴GH＝MG+MH＝7．
∴N（）．
综上，N点的坐标为：（）或（）．