江苏省南通市通州区实验中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列实数中的无理数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】A．=1.1是有理数；
B． =-2是有理数；
C． 是无理数；
D． ，分数是有理数；
故选：C
【点睛】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．
2. 每年月日是中国航天日，年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点米．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
3. 如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（ ）
A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.
【详解】∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°，
故选B.
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
4. 《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可；
【详解】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得到：；
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而应用勾股定理解题．
5. 如图，平行四边形中，是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，由平行四边形的性质可得，，，，再根据各选项给出的条件结合平行四边形的判定方法逐项判断即可求解，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键．
【详解】解：连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
、当时，无法得到，所以不能得出四边形一定为平行四边形，该选项符合题意；
、当时，可得，即，
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能得出四边形一定为平行四边形，该选项不合题意；
、当时，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
根据选项可知，能得出四边形一定为平行四边形，该选项不合题意；
、当时，可得，
又∵，，
∴，
∴，
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能得出四边形一定为平行四边形，该选项不合题意；
故选：．
6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（ ）
A. 正比例函数B. 一次函数C. 二次函数D. 反比例函数
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，观察表格中的数据可知的值是一个定值，则p与V的函数关系最可能是反比例函数，据此可得答案．
【详解】解：由题意可知，；；；；，…
由此可得出p和V的函数关系是为：
故选：D．
7. 已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ）
A. 4≤m＜7B. 4＜m＜7C. 4≤m≤7D. 4＜m≤7
【答案】A
【解析】
【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．
【详解】解:解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞，
∵不等式有最小整数解2，
∴1≤＜2，
解得：4≤m＜7，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，正确解不等式，熟练掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
8. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河集，所挖河架的长度（m）与挖掘时同（h）之间的关系如图所示，根据图像所提供的信息，下列说法正确的是（ ）
A. 甲队的挖掘速度大于乙队的挖掘速度
B. 开挖2h时，甲、乙两队所挖的河渠的长度相差8m
C. 乙队在的时段，与之间的关系式为
D. 开挖4h时，甲、乙两队所挖的河渠的长度相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象依次分析判断．
【详解】解：甲队的挖掘速度在2小时前小于乙队的挖掘速度，2小时后大于乙队的速度，故选项A不符合题意；
开挖2h时，乙队所挖的河渠的长度为30m，
甲队每小时挖=10m，故2h时，甲队所挖的河渠的长度为20m，
开挖2h时，甲、乙两队所挖的河渠的长度相差30-20=10m，故选项B不符合题意；
由图象可知，乙队2小时前后的挖掘速度发生了改变，故选项C不符合题意；
甲队开挖4h时，所挖河渠的长度为，
乙队开挖2小时后的函数解析式为，当开挖4h时，共挖40m，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的图象，利用图象得到所需信息，能读懂函数图象并结合所得信息进行计算是解题的关键．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．动点E与动点D同时从点C出发，点D沿线段CB以1单位长度/秒的速度运动，点E沿线段CA以2单位长度/秒的速度运动，当其中一个点到达端点时，另一个点也停止运动．以CE，CD为边作矩形CDFE，若设运动时间为x秒（0＜x≤4），矩形CDFE与△ABC重合部分的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分0≤x≤2、2＜x≤4两种情况，通过画图确定矩形CDFE的位置，进而求解．
【详解】解：当0≤x≤2时，如图，
y=CE•CD=2x•x=2x2，该函数为开口向上的抛物线；
当2＜x≤4时，如下图，设DF、EF分别交AB于点H、G，
则BD=BC-CD=4-x，则HD=BDtanB=（4-x）×=8-2x，
则HF=DF-DH=CE-DH=2x-（8-2x）=4x-8，则GF=2x-4，
则y=S五边形CDHGE=S矩形CDFE-S△GHF
=2x•x-×（2x-4）（4x-8）
=-2x2+16x-16，该函数为开口向下的抛物线，
故选：A．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，确定函数表达式是本题解题的关键．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为（ ）
A. B. 4C. 1D. 8－
【答案】A
【解析】
【分析】过E点作EM⊥AC于M点，证明△CDB≌△MED，即有BC=MD，ME=CD，则有AM=4-ME，在Rt△AME中，，即可求出当AE最小时的ME，再在Rt△BCD中即可求出BD．
【详解】过E点作EM⊥AC于M点，如图，
在矩形BDEF中，DE=BD，∠EDB=90°，
∵∠C=90°，
∴在△BCD中，∠BDC+∠CBD=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠BDC+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠CBD，
∵EM⊥AC，
∴∠DME=90°，
∴∠DME=90°=∠C，
∵DE=BD，
∴△CDB≌△MED，
∴BC=MD，ME=CD，
∵BC=4，AC=8，
∴MD=4，
∴AM=AC-DC-MD=8-ME-4=4-ME，
∴在Rt△AME中，，
∴，
整理得：，
∴，
∴当ME=2时，AE取的最小值，
∵ME=2，
∴DC=ME=2，
∴在Rt△BCD中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，构造全等三角形是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 分解因式______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 计算的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质化简，再计算括号内的，然后计算乘法，即可求解．
【详解】解：



故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
13. 如图，在△ABC中AB＝AC，以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD，若∠A＝36°，则∠CDB的大小为___度．
【答案】36．
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ACB，根据三角形的外角性质计算即可．
【详解】∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝×（180°﹣36°）＝72°，
由题意得，CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠ACB＝36°，
故答案36．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
14. 如图，在中，分别为的中点，若，则的长度为__________．

【答案】2
【解析】
【分析】根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，计算AB的长，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解得CD的长，再根据中位线性质，解得，解得EF的长即可解题．
【详解】在
是AB的中点
分别是AC、AD的中点，
故答案为：2．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，其中涉及所对直角边的性质、斜边中线的性质、中位线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15. 设，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】2024
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可以求出，可化为，代入求值即可解答．
【详解】∵是方程的两个实数根
由一元二次方程根与系数关系可得：
，
而
故答案为2024．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系式进行计算与转化是解决本题的关键．
16. 如图，反比例函数的图象经过对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，，的面积为4，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
【详解】解：过点P作PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BD⊥x轴，
∴ABDO为矩形，
∴AB＝DO，
∴S矩形ABDO＝S▱ABCD＝4，
∵P为对角线交点，PE⊥y轴，
∴四边形PDOE为矩形面积为2，
∵反比例函数y的图象经过▱ABCD对角线的交点P，
∴|k|＝S矩形PDOE＝2，
∵图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
17. 已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．
【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4）
【解析】
【详解】解：∵A(10，0)，C(0，4)，
∴OA=BC=10，OC=AB=4，
如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，
∴OE=OD-DE=5-3=2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
如图所示，OP=OD=5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得： OE=，
∴此时点P坐标为（3，4）；
如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得： DE=，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
18. （在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围是__．
【答案】.
【解析】
【分析】根据y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）可求出顶点坐标和A、B的坐标，再根据题意结合图象列出关于a的不等式组，求解即可得出答案．
【详解】∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1，
∴顶点坐标为（﹣2，1），
令y＝0，得x＝﹣2±，
设A（﹣2+，0），B（﹣2﹣，0），
∵此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），且顶点坐标为（﹣2，1），
∴﹣6＜﹣2+≤﹣5，1≤﹣2﹣＜2，
解得：﹣≤a＜﹣；
故答案为﹣≤a＜﹣．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确已知条件列出关于a的不等式．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （）解方程组
（）解分式方程：
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）利用加减消元法解答即可求解；
（）按照解分式方程的步骤解答即可求解；
本题考查了解二元一次方程组，解分式方程，掌握解二元一次方程组的方法和解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：（）得，，
把代入得，，
∴，
∴方程组的解为；
（）方程两边同时乘以得，
，
整理得，，
解得，
检验：时，，
∴是原分式方程解．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）能是方程的一个根吗？若能，求出它的另一个根；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）能，另一根为
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，计算判断即可；
（2）把代入方程，求出的值，代入得方程为，用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：当时，有，
解得：，
当时，方程为，
，
∴，，
∴能是方程的一个根，另一根为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键．
21. 已知一次函数，其中．
（1）若点在y的图象上，求k的值．
（2）当时，若函数有最大值9，求y的函数表达式．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质；
（1）将点代入关系式，求出，即可求解；
（2）①当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；②当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；
掌握一次函数性质中的增减性，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键．
【小问1详解】
解：点在的图象上，
，
解得：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：①当时，即：，
当时，函数的最大值为9，
当时，，
，
解得：，
一次函数解析式为；
②当时，即：，
当时，函数的最大值为9，
当时，，
，
解得：，
一次函数解析式为；
综上所述：一次函数解析式为或；
22. 如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）CD=8
【解析】
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，AB=DC，根据CE=BC，得出AD=CE，AD∥CE，可证明四边形ACED是平行四边形，又根据AB=DC，AE=AB，可得AE=DC，即可证明四边形ACED是矩形；
（2）先证明△AOC是等边三角形，可得OC=AC=4，即可得出CD=8．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∵CE=BC，
∴AD=CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB=DC，AE=AB，
∴AE=DC，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵四边形ACED是矩形，
∴OA=AE，OC=CD，AE=CD，
∴OA=OC，
∵∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC=AC=4，
∴CD=8．
【点睛】本题考查了矩形的判断定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握矩形的判定定理和等边三角形的判定定理是解题关键．
23. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多，最多是多少？
【答案】（1）每件衬衫应降价20元
（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多为1250元
【解析】
【分析】本题重在考查根据题意写出利润的表达式是此题的关键．
（1）总利润=每件利润销售量．设每天利润为元，每件衬衫应降价元，据题意可得利润表达式，再求当时的值；
（2）根据函数关系式，运用函数的性质求最值．
【小问1详解】
解：设每天利润为元，每件衬衫降价元，
根据题意得
当时，，解之得．
根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元．
【小问2详解】
解：商场每天盈利．
所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多共1250元．
24. 已知抛物（，为常数）经过点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点，在该抛物线上，当时，试比较与的大小；
（3）点为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点的坐标
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把，代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得对称轴为直线，根据当时，随的增大而增大，即可求解；
（3）依题意，，设，列出关于的二次函数关系式，进而即可求解．
【小问1详解】
解：把，代入得，
，
解得．
所以，该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而增大．
∵，
∴；
【小问3详解】
∵点为该抛物线上一点，
∴，
设
∴当时，最大，
此时．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 在菱形中，，点M在延长线上，点E是直线上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．

（1）如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图②，当点E在上时，请写出线段之间的数量关系，并给出证明；
（3）当点E在直线上时，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）的长为5或1
【解析】
【分析】（1）连接，由旋转的性质得出，得出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）过点M作交的延长线于点N，证明是等边三角形，由等三角形的性质得出，得出是等边三角形，可证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案．
【小问1详解】
解：，
证明，连接，

∵将线段绕点M逆时针得到线段，点E与点B重合，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
结论：．
证明：如图2，过点M作交的延长线于点N，

∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图3，当点E在线段上时，

由（2）可知．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图4，当点E在的延长线上时，

则和都等边三角形，
同（2）可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
综合以上可得的长为5或1．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
26. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点是函数的图象的“2倍点”．
（1）下列函数图象上存在“2倍点”的是______（只需填写序号）；
①直线；②双曲线；③抛物线．
（2）若关于x的函数的图象上存在两个“2倍点”，求c的取值范围；
（3）设关于x的函数的图象上有且只有一个“2倍点”为点A，关于x的函数的图象上有两个“2倍点”分别为点B，点C（点B在点C的左边），且，求，的值．
【答案】（1）③ （2）
（3），或
【解析】
【分析】（1）根据新定义，即函数图象与有交点即存在“2倍点”，据此即可求解；
（2）根据题意，得出令，则，且当和时，，即，列出不等式组，解不等式组即可求解；
（3）根据新定义，得出方程有两个相等实数根，得出，解方程，解得或，进而得出的坐标，根据，建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
（1）依题意，函数图象与有交点即存在“2倍点”，
①∵直线与直线平行，
∴直线不存在“2倍点”，
②联立
即，
∴，无实数解，
∴不存在“2倍点”，
③
∴，
∵
∴抛物线存在“2倍点”，
故答案为：③．
【小问2详解】
∵函数的图象上存在两个“2倍点”
令，则，
且当和时，，即
∴
解得：；
【小问3详解】
令，则
∵关于x的函数的图象上有且只有一个“2倍点”，
∴，
∴．
∴
解得：
∴交点坐标的横坐标为1，则纵坐标为2，
∴，
令，解得或，
∵点B在点C的左边
∴
∴
即
∴，
∵
∴
解得：或
综上所述，，或
【点睛】本题考查了新定义，一次函数的平移问题，反比例函数与一次函数交点问题，二次函数与一次函数交点问题，转化为解一元二次方程的解的问题是解题的关键．立方米
64
48

32
24
…
千帕

2

3
4
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