山东省日照市曲阜师范大学附属实验学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的绝对值是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．
【详解】解：的绝对值是3．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2. 在今年的全国两会报道中，央视新闻频道首次把央视新闻新媒体平台作为报道主战场，重点打造“V观两会”微视频和“云直播”，以独特的优势引领媒体两会报道工作。截至3月15日，央视新闻新媒体各平台两会报道阅读总量突破3900000000，请将数据3900000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方计算即可．
【详解】A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法、积的乘方运算法则．
4. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得的度数，然后求得的度数．
【详解】解：如图，
∵，直尺两边互相平行，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
5. 实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数轴可知，，可判断A的正误；根据，可判断B的正误；根据，可判断C的正误；根据，，可判断D的正误．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，故A错误，不符合题意；
∵，
∴，故B错误，不符合题意；
∵，
∴，故C错误，不符合题意；
∵，，
∴，故D正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据点在数轴的位置判断式子的正负，不等式的性质等知识．解题的关键在于明确．
6. 关于的不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别解两个不等式，求出其对应的解集，再由不等式组有且只有3个整数解列出关于a的不等式组即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴关于的不等式组有且只有三个整数解，
∴，
故选：D．
7. 如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果，
所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为，
故选：A．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比．
8. 如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长是（ ）

A. 8B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由尺规作图可知，BE为∠ABC的平分线，结合等腰三角形的性质可得BE⊥AC，AE= CE=AC= 2，利用勾股定理求出AB、 BC的长度，进而可得EF= AB=2， CF=BC=，即可得出答案．
【详解】由题意得，BE为∠ABC的平分线，
∵ AB= BC，
BE⊥AC， AE= CE=AC = 2，
由勾股定理得，
AB= BC=，
∵点F为BC的中点，
∴EF=AB=， CF=BC=，
∴∆CEF的周长为：+2= 2+ 2．
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
9. 如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象经过点．若，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义．分别过点C，B作轴，轴，垂足分别为点D，E，连接，根据平行四边形的性质可得，从而得到，可证明，可得，进而得到，然后根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图，分别过点C，B作轴，轴，垂足分别为点D，E，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∵的图象经过点，
∴．
故选：A．
10. 如图，二次函数的图象与轴的交点，与轴交点的纵坐标在2到3之间，对称轴为直线，函数最大值为，下列四个结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④.其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质，以及二次函数各项系数与图象的联系，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系综合判断即可．
【详解】解：由图象可知，二次函数的图象与轴交于两点，
∴有两个不相等的实数根，
∴，
故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随着x的增大而减小，
∴当时，随的增大而减小，
故②错误，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∵二次函数的图象与轴的交点，
∴，即，解得，
∵二次函数的图象与轴交点的纵坐标在2到3之间，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时， 函数的最大值为，
∵，
∴，即，
故④正确；
综上所述，正确的有①③④共3个．
故选：C
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分.）
11. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解中的提公因式法和完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，涉及到提公因式法和完全平方公式，解题的关键需要掌握完全平方公式．
12. 若，则以为根的一元二次方程是____________．
【答案】
【解析】
【分析】设该方程为，利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：设该方程为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴该方程为，
以为根的一元二次方程是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
13. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于的方程的解为正数，
∴，
∴且，
故答案为：且．
14. （2016辽宁省沈阳市）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发______h时，两车相距350km．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：根据图象可得A与C的距离等于B与C的距离，即AC=BC=240km，所以甲的速度240÷4=60km/h，乙的速度240÷30=80km/h．设甲出发x小时甲乙相距350km，由题意，得60x+80（x﹣1）+350=240×2，解得x=，即甲车出发h时，两车相距350km.
考点：一次函数的应用.
15. 如图，已知扇形，点D在上，将扇形沿直线折叠，点A恰好落在点O，作交于点E，若，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由折叠性质可将图中阴影部分的面积转化为的面积，即可求解．
【详解】连接，如图，
∵将扇形沿直线CD折叠，点A恰好落在点O，
∴，
∴拱形的面积等于拱形的面积，
∴图中阴影部分的面积为的面积．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴图中阴影部分的面积为的面积=．
故答案为：．
【点睛】本题考查求不规则图形的面积，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．解题的关键是转化思想的应用．
16. 如图，点O是正方形的中心，．中，，过点D．分别交于点G、M，连接．若， ，则的长______．
【答案】
【解析】
【分析】过点F做于点H，根据求出的长度，再证明，求出的长度，证得，得出的结论，进而求得的长度．
【详解】解：如图，过点F做于点H，
正方形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形和全等三角形的判定，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形．
三、解答题（本大题共8个小题，共68分.）
17. 计算： .
【答案】
【解析】
【分析】将二次根式化为最简二次根式，再用幂的运算公式及特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则及特殊角的三角函数值是解题的关键．
18. 解不等式组：，并写出它的正整数解.
【答案】，正整数解为：，
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，根据解集求得正整数解即可求解．．
【详解】解：
由①得，
由②得，
∴原不等式组的解集是
∴正整数解为：，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
19. 学校组织九年级全体500名学生观看了在中国空间站直播的“天宫课堂”第三课，并进行了一次航空航天知识竞赛，随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分，但两班均无满分）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息（用x表示成绩：A：，B：，C：，D：，E：）
乙班成绩在D组的具体分数是：
42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，43，44，45，45
根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据统计图，甲班在C等级的人数是________；
（2）直接写出n的值，n=____________；
（3）小明这次竞赛中的成绩是43分，在班中排名中游略偏上，那么小明是甲、乙哪个班级学生？请说明理由；
（4）假设该校九年级学生都参加了此次竞赛，成绩达到46分及46分以上为优秀，请你估计该校本次竞赛成绩优秀的学生人数.
【答案】（1）10； （2）42；
（3）小明是乙班学生；理由见解析；
（4）可以估算该校本次竞赛成绩优秀的人数为160人
【解析】
【分析】（1）观察频数分布直方图即可；
（2）根据中位数的意义和计算方法分别计算即可；
（3）利用中位数的意义进行判断；
（4）根据用样本估计总体的方法，估计总体的优秀率，进而计算出优秀的人数．
【小问1详解】
由频数分布直方图可知：C等级的人数是10人；
【小问2详解】
乙班的成绩从小到大排列，处在第25，26位的两个数都是42，因此中位数是42，即n＝42；
【小问3详解】
∵甲班成绩中位数为44.5分，乙班成绩中位数为42分，
已知小明的成绩为43分，且在班上排名属中游略偏上，
∴小明是乙班学生；
【小问4详解】
甲班成绩在46分及以上的人数为人，乙班成绩在46分及以上的有20人，
两个班的整体优秀率为：
答：可以估算该校本次竞赛成绩优秀的人数为人．
【点睛】本题考查中位数的意义和计算方法，用样本估计总体，明确各个统计量的意义是正确解题的关键．
20. 2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，
（1）求此滑雪运动员的小腿的长度；
（2）求此运动员的身高．（运动员身高由三条线段构成；参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】在Rt中，，即可得出；
由（1）得，则)，在中，，解得，根据运动员的身高为可得出答案．
【小问1详解】
在中，，
解得，
∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为．
【小问2详解】
由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
，
∴，
∴运动员的身高为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21. 如图，是的直径，点是上一点，过点作切线，与延长线交于点，连接，点是上一点，，交于点，连接交于点，．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是圆的圆周角、切线长性质、解直角三角形
（1）利用推出，根据半径推出，从而证明，再根据和求出，即可求出．
（2）利用切线长的性质求出度数，从而求出度数，根据三角形外角定理求出的度数，最后利用正切的定义去求边长即可求出长度，进而求得．
【小问1详解】
证明： ，
．
，
，
．
为的直径，
，
．
，
，
，
．
【小问2详解】
解：是的切线，
，
，
，
在中，，
连接，

是为的直径，
，
在中，．
22. 学校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计后义卖，将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场分别花元购买了红、蓝两种颜色的文化衫若干件，其中每件红色文化衫比蓝色文化衫贵5元，红色文化衫比蓝色文化衫少买了件，手绘后红色文化衫的零售价为元/件，蓝色文化衫的零售价为元/件．
（1）学校购进红、蓝文化衫的批发价格各是多少？
（2）若学校再次购进红、蓝两种颜色文化衫件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：这次学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）学校购进红、蓝文化衫的批发价格各是25元、元
（2）学校购进红色文化衫件时获得最大利润，最大利润是元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列
出方程组或不等式是解题的关键．
（1）设学校购进红文化衫的批发价格为元，蓝文化衫的批发价格元，根据红色文化衫比蓝色文化衫少买了件，列出方程求解即可；
（2）设学校再次购进红文化衫件，则蓝文化衫件，获得的利润为元，
列出方程，然后由一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设学校购进红文化衫的批发价格为元，蓝文化衫的批发价格元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验是原方程解，且符合题意，
故学校购进红、蓝文化衫的批发价格各是元、20元；
【小问2详解】
设学校再次购进红文化衫件，则蓝文化衫件，获得利润为元，
则
，
由题意得，
解得，
随的增大而增大．
当时，最大利润元．
故学校购进红色文化衫件时获得最大利润，最大利润是元．
23. （1）①如图1，等腰（为底）与等腰（为底），，则与的数量关系为______；
②如图2，矩形中，，，则______；
（2）如图3，在（1）②的条件下，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，使，连接.当时，求的长度；
（3）如图4，矩形中，若，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连结，中点为，中点为，若，求.
【答案】（1）①；②（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）①先证明，再根据边角边证明，即可求解；
（2）作于，先证明，得到，，，再在中，由勾股定理即可得解；
（3）如图，延长、交于点，过点A作于N，连接、，过点H作于P，连接并延长交AM延长线于Q，根据正切的定义可得，根据旋转的性质可证明是等边三角形，通过证明点、、、四点共圆，可得是等边三角形，通过证明≌， ≌得出是的中位线，设，分别表示出、，利用勾股定理列方程求出的值，进而求得的值，勾股定理求得的值，即可求解．
【详解】（1）①；理由如下：
∵与都是等腰三角形，，；
又因为，所以，即，
所以，所以.

故答案为：．
②矩形中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
故答案为：．
（2）解：点在线段上运动，如图，作于，
∵，∴，
∵，，
∴，
由旋转的性质可得，，
∵，
∴在和中，
，
∴，，
∵，，，
∴在中，由勾股定理得，
∵
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴，，
∵，
∴.
∴在中，由勾股定理得.

（3）解：.理由如下：
如图，延长、交于点，过点作于，连接、，过点作于，连接并延长交延长线于，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点、、、四点共圆，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴是的中位线，
设，则，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵点在上，
∴
∴，即

∴
在中，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、四点共圆的判定、圆周角定理、全等的判定和性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
24. 图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．P是抛物线上一点，且在直线的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点E为中点，作轴交于点Q，若四边形为平行四边形，求点P的横坐标；
（3）如图3，连结，交于点M，作交于点H．记，，的面积分别为．判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在；
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标是，则，由四边形为平行四边形，E为中点可以得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，求得，即可得到点P的横坐标；
（3）由得到 ，作交y轴于N，作轴交于Q，则，，求出,再证明，设，则，得到，得到，即可得到答案．
【小问1详解】
∵抛物线经过，，
∴，
解得，
∴，
【小问2详解】
当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
∵四边形为平行四边形，E为中点，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
，
，
∴点P的横坐标为；
【小问3详解】
∵，
∴，
，
作交y轴于N，作轴交于Q，
∴，，
∴，
∴,,
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
．
∴最大值．
即存在最大值，最大值为．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．班级
甲班
乙班
平均分
44.1
44.1
中位数
44.5
n
众数
45
42
方差
7.7
17.4