四川省南充高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟 总分150分 ）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A. 1B. C. D.
2. 数列，…的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
4. 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知圆，则直线与圆C（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切
6. 已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点(在轴右侧)．若是线段AF的中点，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. 2C. D. 3
7. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：，， 已知是该数列的第100项，则（ ）
A. 98B. 99C. 100D. 101
8. 已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（ ）
A. 运动员在时的瞬时速度是
B. 运动员在时瞬时速度是
C. 运动员在附近以的速度上升
D. 运动员在附近以的速度下降
10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
11. 已知抛物线的焦点为，且，B，C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的坐标为
B. 若直线过点F，O为坐标原点，则
C. 若，则线段的中点到轴距离的最小值为
D. 若直线，是圆的两条切线，则直线的方程为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数导函数为，则__________.
13. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为___________.
14. 数列满足，前16项和为668，则__________.
四、解答题：本大题共5小题，共13+15+15+17+17=77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知函数.
（1）曲线在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标.
（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.
16. 设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件：
①，； ②；
③．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和 ．
17. 已知函数.
（1）当 时， 求 的单调区间；
（2）若在上是增函数，求的取值范围；
（3）讨论 的单调性．
18. 已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
19. 已知数列中，，().
（1）证明：数列是等比数列，并求前项和；
（2）令，求证：