四川省凉山州民族中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本题共8个题，每个题5分，每个题只有一个答案是正确的．）
1. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的加减运算法则即可求解.
【详解】解：，
故选：A.
2. 若，那么的值为（ ）．
A. 0B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得，代入计算即可.
【详解】因为，所以．
故选：C.
【点睛】本题考查求函数值，考查三角函数的简单运算，考查学生的计算能力，属于基础题.
3. 已知向量，若，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行向量的坐标表示计算即可.
【详解】且，
解得，
故选：D.
4. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A. B. C. 3D. －3
【答案】C
【解析】
【分析】求出，根据投影向量的概念求出向量在向量方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意知向量，，则
故向量在向量方向上的投影向量为，
故向量在向量方向上的投影向量的模为，
故选：C
5. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象求出函数的解析式，再根据平移变换求出的解析式.
【详解】由图可知；设周期为，则，所以；
又，所以
由，，令，得.
所以；
因为将图象向右平移单位长度得到函数的图象，
所以.
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可.
【详解】令，故，，
故.
故选：B
7. 在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量加法的三角形法则，转化为和即可．
【详解】.
故选：B
8. 已知角，的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，角的终边过点，将角的终边顺时针旋转得到角的终边，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由三角函数的定义求出，，由题知，然后利用两角差的正弦公式即可求出的值.
【详解】由题知，点到原点的距离为，，，.
故选：C.
二、多选题（本题共4个题，每个题5分，每个题有多个答案是正确的．）
9. 在中，设，，，,则下列等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】可画出图形，从而得出，再结合模长逐项判断.
【详解】如图，
；
由得，；
选项A，D都正确；
由得，；即
选项B正确，选项C不正确．
故选：ABD．
10. 已知函数和，则下列正确的是（ ）
A. 的图像可由的图像向右平移个单位得到
B. 时，
C. 的对称轴方程为：
D. 若动直线与函数和的图像分别交于，两点.则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，求出平移后的解析式即可判断；对B，根据范围得出范围即可判断；对C，化简得出，求出对称轴即可判断；对D，可得.
【详解】对A，的图像向右平移个单位得到，故A正确；
对B，当时，，，即，故B正确；
对C，，令，解得，即对称轴为，故C错误；
对D，，则的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题考查正余弦函数的性质，解题的关键是正确理解正余弦函数的图象和性质.
11. 已知梯形ABCD中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的值可能为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，利用坐标表示向量，计算向量的数量积的范围即可求解．
【详解】以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，不妨设，，则；
所以，，
，
因为，所以．
故选：AD．
12. 下列是有关的几个命题，其中正确命题有（ ）
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则是等腰三角形；
C. 若，则是等腰三角形
D. 若，则是直角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】A根据两角和差的正切公式进行判断．B根据三角函数的倍角公式进行化简判断．C根据向量数量积的应用判断．D根据三角函数的诱导公式进行化简判断．
【详解】对A,，
，
，，是内角，故内角都是锐角，故A正确；
对B,
或
或
或，
若，则是等腰三角形或是直角三角形；故B错误
对C,若，
则，
即，
则，即，
则，则是等腰三角形；故C正确，
对D,若，则，或，
即或，则不一定为直角三角形，故D错误，
故选：AC．
三、填空题（本题共4个题，每个题5分．）
13. 已知向量，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】先利用向量加法坐标运算求出，再求模长.
【详解】已知向量，，则,
故.
故答案：5.
14. 已知，，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式即可得结果.
【详解】因为，，所以，
由，，可得，，
所以.
故答案为：.
15. 如图所示，已知，点是点关于点的对称点，，和交于点，若，则实数的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】设，可得，，又因为，即可求解．
【详解】如图所示：
设，由于，所以，
由于点是点关于点的对称点，则为中点，
所以，得
所以
由于 ，又因为
得 ．
故答案为：
【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
16. 已知点P是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点D，若，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可判断为的角平分线，由正弦定理求出，利用基本不等式，结合三角恒等变换，即可求得答案.
【详解】由，得,
即点P在的角平分线上，即为的角平分线，
在中，，则，
在中，，则，
故，而，即有，
故，
当且仅当时等号成立，
而
，
，当，即时，取最大值，
取到最小值，即的最小值为，
则当时，的最小值为，
故答案：
四、解答题（本题共6个题，17题10分，18-22题每个题12分，需要在答题卡上写出解答步骤．）
17. 已知，.
（1）若与的夹角为，求；
（2）若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可；
（2）根据解方程即可得答案.
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：∵向量与互相垂直，
∴，整理得，又，，
∴，解得.
∴当时，向量与互相垂直.
18. 已知函数．
（1）求的最小正周期和对称轴；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；
（2），1
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简，结合正弦函数的周期公式以及对称轴，即可求得答案；
（2）根据x的范围，确定的范围，结合正弦函数的性质，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得
，
故的最小正周期为；
令，即，
故的对称轴为；
【小问2详解】
由于，故，则，
故，
即在区间上当时，取到最大值，当时，取到最小值1.
19. 如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n=1，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析 ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由向量共线定理及平面向量基本定理即得；
（2）由题可得，再利用模长公式及二次函数的性质即得.
【详解】（1）由A，M，N三点共线，得∥，设＝λ (λ∈R)，
即，
∴，
所以m＝n．
（2）因为＝m，＝n，EF的中点为M，BC的中点为N ,
∴,
又m＋n＝1，所以，
∴
，
故当m＝时，．
20. 已知．
（1）若，求的值；
（2）若，且，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，然后利用弦化切进行求值即可．
（2）由两角和差的三角公式进行转化求解即可．
【小问1详解】
，
由已知，，得，
所以．
【小问2详解】
，
，得，
由，得，
则，
，，
．
． ．
．
而，
．
．
．
21. 已知函数．
（1）当时，求在区间上的取值范围；
（2）当时，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】（1）当时，
又由得，所以，
从而.
（2）
由得，
，
所以，得．
22. 设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，称为函数的“相伴向量”．
（1）设函数，求函数的相伴向量；
（2）记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）,
【解析】
【分析】（1）由相伴向量的定义，即可得出；
（2）化简方程，令，，作出在区间上的图象，由图象即可得得范围.
【小问1详解】
因为
，
所以函数的相伴向量为
【小问2详解】
由题意，的“相伴函数” ，
方程为，，
则方程，有四个实数解，
所以， 有四个实数解，
令，，
①当，，
②当，，
据此作出的图像：
由图可知，当时，函数与有四个交点，
即实数的取值范围为,.
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数图像及应用，关键是分离参数并正确画出函数图像.