广西柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题及答案

这是一份广西柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．70%B．60%C．50%D．40%
2．已知是虚数单位，若为实数，则实数的值为
A．1B．-2C．-1D．0
3．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3B．-2
C．2D．3
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有
A．60种B．48种C．30种D．10种
6．已知P，A，B，C是半径为2的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．椭圆的离心率为e，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（ ）
A．必在圆内B．必在圆上
C．必在圆外D．与圆的关系与e有关
8．设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
10．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当，时，与平面所成角为
B．当时，有且仅有一个点，使得
C．当，时，平面平面
D．若，则点的轨迹长度为
三、填空题
12．若＝＋是偶函数，则实数a＝______．
13．已知过原点O的一条直线l与圆C：相切，且l与抛物线交于O，P两点，若，则 ．
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为 ．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，F是PB中点，
(1)求证：平面PBC；
(2)求二面角的余弦值.
16．已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意．将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前m项和．
17．某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
附：参考公式：，．
参考数据：，，．
(1)求p的值；
(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）；
(3)用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值．当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数的分布列和期望．
18．已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若为的导函数，设．证明：对任意，．
19．M是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且．
(1)求动点M的轨迹方程E；
(2)设，，过点的直线l与曲线E交于A，B两点（点A在x轴上方），P为直线，的交点，当点P的纵坐标为时，求直线l的方程．
试销单价x（百元）
1
2
3
4
5
6
产品销量y（件）
91
86
p
78
73
70
参考答案：
1．C
【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可．
【详解】由题意可得如下所示韦恩图：
所求比例为：．
故选：C．
2．C
【分析】先由复数的乘法运算将复数整理，再由复数的基本概念即可求出结果.
【详解】为实数，，得．答案：
【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的基本概念，属于基础题型.
3．C
【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】由，，得，则，．故选C．
【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
4．A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
5．C
【详解】根据题意，分步进行：①从名志愿者中选派人参加活动，有种选法；②将人分为组，有种分法；③将组进行全排列，对应星期六和星期日，有种情况，则共有，
故选C.
6．B
【分析】由正弦定理可求得外接圆半径r，进而可得球心到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值， 从而得解.
【详解】设的边长为a，则，所以，

设的外接圆的圆心为M，半径为r，则，得，
则球心到平面的距离，
当共线且位于之间时，三棱锥的高最大，为，
此时三棱锥的体积也最大，最大值为
故选：B．
7．A
【分析】由恒等式以及韦达定理即可得到关于的表达式，然后证明一定小于2，即可得到A正确.
【详解】根据题目条件有，.
由和是方程的两个根，故由韦达定理得，，
从而
.
这表明点一定在圆内，A正确.
故选：A.
8．D
【分析】由的奇偶性可判断 也为奇函数，然后结合，及单调性的定义可判断单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．
【详解】，，
由于是定义在上的奇函数，即，
，故为奇函数，
对于任意的，，有，
，
当时，有，
即，
， 单调递增，
，
，
，
整理可得，，
解可得，或，
故选：D
9．AC
【分析】利用幂函数、对数函数、指数函数的性质，结合特殊值法即可得解.
【详解】对于A，因为在上单调递增，，
所以，即，故A正确；
对于B，取，满足，但，故B错误；
对于C，因为，所以，则，故C正确；
对于D，取，此时，故D错误.
故选：AC.
10．BCD
【分析】根据已知中，对四个答案的结论逐一进行论证，即可求解结论．
【详解】根据条件“对任意的，，有”，则：
A中，无法确定是否一定成立，故A错误；
B中，，一定成立，故B正确；
C中，，一定成立，故C正确；
D中，将看成一个整体，则，故，故D正确.
故选：BCD．
11．ACD
【分析】利用线面夹角定义直接判断选项A，结合平面基本定理和勾股定理即可判断选项B，建立空间直角坐标系，利用向量法判断面面垂直，即可判断选项C，结合长度关系，判断点轨迹，即可判断选项D.
【详解】当，时，与重合，
由已知得，平面，
所以就是与平面所成的角，
因为，
所以，
所以，
即与平面所成角为，A正确；

当时，取线段中点分别为，
连接，
因为，即，
所以，
则点在线段上，
设，则，
则，
，，
若，则，
则，
则，所以或，
则点与、重合时，，
即当时，存在两个点使得，故B错；

当，时，，
则，所以是中点，
取中点，中点，
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，，
，，
设平面和平面的一法向量分别为，
则，，
解得，，
令，，
可得，，
因为，
所以，
即平面平面，C正确；

若，因为，，，
所以点在侧面上，
又平面，，
所以点的轨迹是以Q为圆心，半径为的半圆，轨迹长度为，故D准确.
故选：ACD
12．
【分析】由函数是上的偶函数，则，代入计算并验证即可求出a.
【详解】函数是上的偶函数，则，
＝＋＝，
＝＋＝，
故，即，
因为，
所以函数是偶函数，符合题意，
故答案为：
13．3
【分析】根据直线与圆相切可得，进而联立直线与抛物线方程，可得，即可根据两点间的距离公式求解.
【详解】由于圆心为，半径为，故直线一定有斜率，
设方程为，则，解得，
故直线方程为，
联立与可得或，
故，故，
故答案为：3

14．
【分析】利用三角形面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.
【详解】如图所示，则的面积为，
则，所以，显然，
故，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用角平分线与三角形面积公式得到的关系式，从而得解.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质依次证得平面，平面，从而得证；
（2）依题意建立空间直角坐标系，假设，分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法即可得解.
【详解】（1）平面，平面，，
四边形为正方形，，
又平面，平面，
又平面，
为中点，，
又平面，平面.
（2）易知两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，
故，
设平面的法向量，则，
令，则，故，
设平面的法向量，则，
令，则，故，
设二面角的余弦值为，结合图形可知为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系，作差即可求解，
（2）根据，即可由等比求和公式求解.
【详解】（1）当时，由，得
当时，
两式相减，得
当时，
综上可知，
（2）由题意
,故，,
17．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据平均数的计算即可求解，
（2）利用最小二乘法即可求解，
（3）由超几何分布的概率公式即可求解.
【详解】（1）由，得，
解得．
（2），
而，
，
，
所求的线性回归方程为：；
（3）由（2）可知，，
故有效数据为，
的取值可能为0，1，
，
，
则的分布列为
.
注：若第（2）问代整数计算：
所求的线性回归方程为：
由（2）可知，，
故有效数据为
的取值可能为
则的分布列为
18．(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，可得切点处的导数值，即可求解直线方程，
（2）求导，判断导函数的正负即可求解函数单调性，
（3）构造函数和，利用导数求解函数的单调性，进而可求解最值，即可求证.
【详解】（1），
，
函数在点处的切线方程为：.
（2）函数的定义域为，
令，
当时，，故在单调递减，
，
当时，单调递增,
当时，单调递减,
的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3），
令，
当时，单调递增；当时，单调递减，
，
令，
当时，单调递增，故，
，，
.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式以及诱导公式可得，进而根据点到直线的距离公式，即可根据数量积求解，
（2）联立直线与曲线方程得韦达定理，进而根据点斜式求解直线的方程，即可求解交点，进而可得,进一步可得，即可求解.
【详解】（1）设，直线的倾斜角为，则
为钝角，
，
所以
由于位于第一象限，位于第四象限，
所以的轨迹方程
（2）设
联立：，化简得：
则，
直线，直线
联立消去得：
又
故点，直线的斜率为：
联立，消去化简得：
故，故,
直线的方程为
0
1
0
1
2