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    湖南省邵东市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

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    湖南省邵东市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

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    这是一份湖南省邵东市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案),共19页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    2.已知i为虚数单位,若,则( )
    A.B.2C.D.
    3.各项均为正数的等比数列中,成等差数列,是的前n项和,则( )
    A.1008B.2016C.2032D.4032
    4.的展开式中含项的系数为( )
    A.20B.-20C.30D.-30
    5.圆与圆相交于A、B两点,则( )
    A.2B.C.D.6
    6.已知正四棱锥各顶点都在同一球面上,且正四棱锥底面边长为4,体积为,则该球表面积为( )
    A.B.C.D.
    7.函数,若,则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    8.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的直线与双曲线E的右支交于A,B两点,若,且双曲线E的离心率为,则( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.若函数在区间上单调,则的取值可以是( )
    A.1B.C.4D.
    10.下列说法中,正确的是( )
    A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本,则个体被抽到的概率是0.1
    B.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14
    C.若样本数据,,,的方差为8,则数据,,,的方差为2
    D.将总体划分为2层,通过分层抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为,和,,若,则总体方差
    11.在边长为2的正方体中,动点M满足,,且,,下列说法正确的是( )
    A.当,,时,的最小值为
    B.当,时,异面直线与所成角的余弦值为
    C.当,且时,则M的轨迹长度为
    D.当,时,与平面所成角的正弦值的最大值为
    三、填空题
    12.在中,其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则的面积为_______________.
    13.城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一,至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中,组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变,则不同的排法种数为___________.
    14.已知函数,设曲线在点处切线的斜率为,若,,均不相等,且,则的最小值为________________.
    四、解答题
    15.如图,在三棱锥中,为等边三角形,,.
    (1)证明:.
    (2)若,求二面角的余弦值.
    16.已知数列满足,.
    (1)求,;
    (2)求,并判断是否为等比数列.
    17.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足
    (1)求证:;
    (2)若为锐角三角形,求的最大值.
    18.平面内一动点P到直线的距离,是它到定点的距离的2倍.
    (1)求动点P的轨迹的方程;
    (2)经过点F的直线(不与y轴重合)与轨迹相交于M,N两点,过点M作y轴平行线交直线l于点T,求证:直线过定点.
    19.已知函数,(),其中e是自然对数的底数.
    (1)当时,求的最小值;
    (2)讨论函数的零点个数;
    (3)若存在,使得成立,求a的取值范围
    参考答案
    1.答案:C
    解析:由对数函数的性质可得:
    不等式成立,需要满足,
    解得,即,且,
    则,
    故选:C.
    2.答案:B
    解析:因为,所以,
    .
    故选:B.
    3.答案:B
    解析:设等比数列的公比为,
    因为,,成等差数列,则,
    且,则,
    又因为,则,可得,
    所以.
    故选:B.
    4.答案:C
    解析:,
    又的二项展开式的通项公式为,
    故的二项展开式中、的系数为0,的系数为,
    故的展开式中含项的系数为,
    故选:C.
    5.答案:D
    解析:两圆方程相减得直线的方程为,
    圆化为标准方程,
    所以圆C的圆心为,半径,
    圆心C到直线的距离为,
    弦长,
    所以.
    故选:D.
    6.答案:B
    解析:如图,设P在底面的射影为H,则平面,
    且H为,的交点.
    因为正四棱锥底面边长为4,故底面正方形的面积可为16,且,
    故,故.
    由正四棱锥的对称性可知O在直线上,设外接球的半径为R,
    则,故,故,
    故正四棱锥的外接球的表面积为,
    故选:B.
    7.答案:A
    解析:当时,,因为,在上单调递增,此时单调递增,
    当时,易知单调递增,且当时,,
    则在R上单调递增,
    因为,则,
    所以由得,
    所以,解得.
    故选:A.
    8.答案:D
    解析:因为双曲线的离心率为,所以,因为,
    所以,由双曲线的定义可得,
    所以,
    在中,由余弦定理得,
    在中,,设,则,
    由得
    ,解得,所以,
    所以.
    故选:D.
    .
    9.答案:AC
    解析:方法一:当时,,
    在区间上单调,
    或,
    或;
    由得:;又,;,
    又,,,又,;
    由得:;又,,,
    又,,,即;
    综上所述:.
    方法二:,
    当时,;
    在上单调,,;
    由,知:或,解得:或,
    .
    故选:AC.
    10.答案:AC
    解析:选项A:个体m被抽到的概率为,故A正确;
    选项B:由于,第六个数为14,第七个数为16,则第60百分位数为,故B错误;
    选项C:设数据,,,的平均数为,
    方差为,
    则数据,,,的平均数为,
    方差为
    ,
    所以,故C正确;
    选项D:设第一层数据为,,,第二层数据为,,,
    则,,
    所以,
    ,,
    总体平均数,
    总体方差
    因为,则,
    所以
    ,故D错误.
    故选:AC.
    11.答案:AD
    解析:对于A,在上取点H,使,在上取点K,使,
    因为,,即,故M点在上,
    将平面与平面沿着展开到同一平面内,如图:
    连接交于P,此时B,P,D三点共线,取到最小值即的长,
    由于,,则,
    故,,
    即此时的最小值为,A正确;
    对于B,由于,时,则,
    此时M为的中点,取的中点为N,连接,,,

    则,故即为异面直线与所成角或其补角,
    又,,,
    故,
    而异面直线所成角的范围为,
    故异面直线与所成角的余弦值为,B错误;
    对于C,当时,可得点M的轨迹在内(包括边界),
    由于平面,平面,故,
    又,,,平面,故平面,
    平面,故,同理可证,
    ,,平面,故平面,
    设与平面交于点P,由于,
    为边长为的正三角形,则点A到平面的距离为,
    若,则,
    即M点落在以P为圆心,为半径的圆上,
    P点到三遍的距离为,
    即M点轨迹是以P为圆心,为半径的圆的一部分,其轨迹长度小于圆的周长,C错误;
    对于D,因为,平面,平面,故平面,
    因为当,,时,,即M在上,
    点M到平面的距离等于点B到平面的距离,设点B到平面的距离为d,
    则,
    为边长为的正三角形,即,
    解得,
    又M在上,当M为的中点时,取最小值,
    设直线与平面所成角为,,
    则,即与平面所成角的正弦值的最大值为,D正确,
    故选:AD.
    12.答案:3
    解析:在中,,,,
    由余弦定理得:,
    ,
    解得,
    所以,
    故答案为:3.
    13.答案:132
    解析:添加节目后,共有12个节目,
    因为保持原来10个节目的相对顺序不变,
    则只需排好2个“歌王对唱”节目即可,
    所以,不同的排法种数为.
    14.答案:18
    解析:由于,
    故,
    故,,

    ,
    由,得,
    由,即,知位于,之间,
    不妨设,则,,
    故,
    当且仅当,即,时等号成立,
    故则的最小值为18,
    故答案为:18.
    15.答案:(1)见解析;
    (2)
    解析:(1)证明:因为,
    所以,,所以,.
    因为,所以平面.
    因为平面,所以.
    (2)如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,
    则,,,
    所以,,
    取平面的一个法向量为.
    设平面的法向量为,
    则,令,得,
    则.
    因为二面角为锐角,
    所以二面角的余弦值为.
    16.答案:(1),;
    (2),是等比数列
    解析:(1),
    (2)因为,所以,
    所以,,…,,
    将以上各式相加得.
    因为,所以,
    又也满足,所以,
    所以,
    所以是等比数列,且首项、公比均为2.
    17.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)由题,
    由正弦定理:,
    所以,
    整理,
    所以,
    或(舍),
    .
    (2)为锐角三角形,
    解得:,所以,

    由(1)问,,
    令,
    则,
    所以
    因为,
    当时,所求的最大值为.
    18.答案:(1);
    (2)见解析
    解析:(1)由题意,设动点P的坐标为,则,
    平方整理得,所以点P的轨迹方程为.
    (2)由题意,设直线的方程为,,,则.
    将代入得,
    所以,,显然,
    所以.
    因为直线的方程为,
    令,则
    ,
    因此,直线过定点.
    19.答案:(1)
    (2)当时,函数在上无零点,
    当时,函数在上有唯一零点,
    当时,函数在上有两个零点.
    (3)
    解析:(1),令,得,
    当时,,函数单调递减,
    当时,,函数单调递增,
    .
    (2) ,
    令得,,
    当时,,无零点,
    当时,令,则,
    令,得,当时,,函数单调递增,
    当时,,函数单调递减,
    ,
    当,即时,,函数在上无零点,
    当,即时,,函数在上有唯一零点,
    当,即时,,又,,
    函数在,上各有一个零点,
    综上,当时,函数在上无零点,
    当时,函数在上有唯一零点,
    当时,函数在上有两个零点.
    (3)由得,,
    ∴,即,
    令,则在上有解,
    令,当时,,不合题意;
    当时,则,令得,
    当时,单调递减,
    当时,单调递增,
    ,
    ,即, ,即a的取值范围为.

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