2022-2023学年四川省南充市南部县建兴中学八年级（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年四川省南充市南部县建兴中学八年级（下）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x≤1D．x≥1
2．（3分）以下列各组数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．6，8，11C．1，1，D．5，12，23
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
4．（3分）点P（2，﹣1）在一次函数y＝kx+1的图象上，则k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．3
5．（3分）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同
D．无法确定谁的成绩更稳定
6．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（﹣3）﹣2＝﹣B．﹣＝﹣
C．a0＝1D．＝﹣2
7．（3分）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（ ）
A．2.5mB．3mC．1.5mD．3.5m
8．（3分）如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．1B．C．1.5D．2
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①④
10．（3分）如图，已知直线AB：分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（ ）
A．（0，）B．（0，5）C．（0，4）D．（0，）
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（3分）甲、乙、丙三名同学在本学期几次数学测验中，三人的平均成绩都是96分同，方差分别为：S甲2＝38，S乙2＝14，S丙2＝29，则三人中成绩最稳定的是 ．
12．（3分）实数p在数轴上的位置如图所示，化简＝ ．
13．（3分）在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为 ．
14．（3分）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间（单价：min）之间的关系如图所示．在第 分钟时该容器内的水恰好为10L．
15．（3分）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
16．（3分）正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径长为 ．
三、解答题（共72分）
17．（6分）计算：
①；
②．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC＝2CD．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证：BD＝MN．
19．（8分）如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10cm，AB＝8cm．
求：（1）FC的长；
（2）EF的长．
20．（8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD＝x，DF＝y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．
22．（10分）某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示：
（1）该同学上学期5次测验成绩的众数为 ，中位数为 ；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为 ；
（3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照2：3：5的比例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为O．
（1）求证：CE＝FG；
（2）如图2，连接OB，若AD＝3DE，∠OBC＝2∠DCE．
①求的值；
②若AD＝3，则OE的长为 （直接写出结果）．
24．（12分）（1）写出图1中函数图象的解析式y1＝ ；
（2）如图2，过直线y＝3上一点P（m，3）作x轴的垂线交y1的图象于点C，交y＝﹣x﹣1于点D．
①当m＞0时，试比较PC与PD的大小，并证明你的结论；
②当CD＜3时，求m的取值范围．
2022-2023学年四川省南充市南部县建兴中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x≤1D．x≥1
【分析】直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于0，进而得出答案．
【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
2．（3分）以下列各组数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．6，8，11C．1，1，D．5，12，23
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、52+42≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、62+82≠112，故不是直角三角形，故此选项错误；
C、12+12＝（）2，故是直角三角形，故此选项正确；
D、52+122≠232，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB＝∠ABE，又由∠BED＝150°，即可求得∠A的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵∠BED＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
4．（3分）点P（2，﹣1）在一次函数y＝kx+1的图象上，则k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．3
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵点P（2，﹣1）在一次函数y＝kx+1的图象上，
∴﹣1＝2k+1，
解得：k＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征代入点的坐标求出k值是解题的关键．
5．（3分）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同
D．无法确定谁的成绩更稳定
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（﹣3）﹣2＝﹣B．﹣＝﹣
C．a0＝1D．＝﹣2
【分析】根据二次根式的性质、整数指数幂的定义对各选项依次进行判断即可解答．
【解答】解：A．（﹣3）﹣2＝，故本选项错误；
B.，正确；
C．a0＝1，此时a≠0，故本选项错误；
D.，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的性质、整数指数幂的定义，熟练掌握上述定义与法则是解答本题的关键．
7．（3分）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（ ）
A．2.5mB．3mC．1.5mD．3.5m
【分析】设BO＝xm，由勾股定理得AB2＝22+x2，CD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，则22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，求出x＝1.5，即可解决问题．
【解答】解：设BO＝xm，
依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m．
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
解得：x＝1.5，
∴AB＝＝2.5（m），
即梯子的长度AB为2.5m，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由AB＝CD得出方程是解题的关键．
8．（3分）如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．1B．C．1.5D．2
【分析】图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴交于点D，则OD也为圆的半径，并且等于对角线的长度．
【解答】解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度为：，
OA为圆的半径，则OD＝，所以数轴上的点D表示的数为．
故选：B．
【点评】本题主要用知识点有勾股定理和圆的性质．正方形对角线长度的平方等于边长平方的2倍（由勾股定理可得），圆上各点到圆点的距离相等都为半径．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①④
【分析】求出BE＝2AE，根据翻折的性质可得PE＝BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE＝30°，然后求出∠AEP＝60°，再根据翻折的性质求出∠BEF＝60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF＝2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF＝PE，判断出②错误；求出BE＝2EQ，EF＝2BE，然后求出FQ＝3EQ，判断出③错误；求出∠PBF＝∠PFB＝60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．
【解答】解：∵AE＝AB，
∴BE＝2AE，
由翻折的性质得，PE＝BE，
∴∠APE＝30°，
∴∠AEP＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BEF＝×（180°﹣∠AEP）＝×（180°﹣60°）＝60°，
∴∠EFB＝90°﹣60°＝30°，
∴EF＝2BE，故①正确；
∵BE＝PE，
∴EF＝2PE，
∵EF＞PF，
∴PF＜2PE，故②错误；
由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ＝∠EFB＝30°，
∴BE＝2EQ，EF＝2BE，
∴FQ＝3EQ，故③错误；
由翻折的性质，∠EFB＝∠EFP＝30°，
∴∠BFP＝30°+30°＝60°，
∵∠PBF＝90°﹣∠EBQ＝90°﹣30°＝60°，
∴∠PBF＝∠PFB＝60°，
∴△PBF是等边三角形，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
10．（3分）如图，已知直线AB：分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（ ）
A．（0，）B．（0，5）C．（0，4）D．（0，）
【分析】首先证明AB＝AC＝8，取点F（3，8），连接CF，EF，BF．由△ECF≌△DAB（SAS），推出BD＝EF，推出BD+BE＝BE+EF，因为BE+EF≥BF，推出BD+BE的最小值为线段BF的长，推出当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，求出直线BF的解析式即可解决问题．
【解答】解：由题意A（0，），B（﹣3，0），C（3，0），
∴AB＝AC＝8，
取点F（3，8），连接CF，EF，BF．
∵C（3，0），
∴CF∥OA，
∴∠ECF＝∠CAO，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠CAO＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠ECF，
在ECF和△DAB中，
，
∴△ECF≌△DAB（SAS），
∴BD＝EF，
∴BD+BE＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，
∴BD+BE的最小值为线段BF的长，
∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，
∵直线BF的解析式为：y＝x+4，
∴H（0，4），
∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、最短问题等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（3分）甲、乙、丙三名同学在本学期几次数学测验中，三人的平均成绩都是96分同，方差分别为：S甲2＝38，S乙2＝14，S丙2＝29，则三人中成绩最稳定的是 乙 ．
【分析】根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵S乙2＜S丙2＜S甲2，
∴三人中成绩最稳定的是乙，
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．（3分）实数p在数轴上的位置如图所示，化简＝ 1 ．
【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．
【解答】解：由数轴可得，1＜p＜2，
∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，
∴＝p﹣1+2﹣p＝1．
【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键．
13．（3分）在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为 12 ．
【分析】如图，根据菱形的性质，已知AC，BD的长，然后根据菱形的面积公式可求解．
【解答】解：读图可知，AC＝4，BD＝6，则该菱形的面积为4×6×＝12．
故答案为12．
【点评】主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，同时也考查了学生的读图能力．
14．（3分）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间（单价：min）之间的关系如图所示．在第 2或17分钟时该容器内的水恰好为10L．
【分析】根据图象求出进水管和出水管的进出水速度，分别计算水量增加到10升和降到10升的时间．
【解答】解：由图象0﹣4分钟，水量每分钟增加5升，则增加到10升需2分钟．在4﹣12分钟，水的体积增加10升，则每分钟增加升．
∵此时，进水和出水管同时打开
∴出水管的出水速度是每分钟5﹣＝升
∴水的体积从30升降到10升用时为＝分
此时时间为第12+＝
故答案为：2或17
【点评】本题是一次函数实际应用问题，考查一次函数图象性质以及比例系数k在实际问题中的意义．
15．（3分）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 2.9 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM＝AM＝4m，再根据勾股定理可得MC2+MB2＝（2MC）2，代入数可得答案．
【解答】解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4（米），
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，勾股定理的应用，关键是掌握锐角三角函数的应用，属于中考常考题型．
16．（3分）正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径长为 2．
【分析】先确定当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为FH的长，根据三角形的中位线定理可得FH的长．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
如图，当P与D重合时，EP的中点为H，
所以当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为FH的长，
△EAG中，∵H是AE的中点，F是EG的中点，
∴FH＝AG＝AC＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的运动轨迹、正方形的性质和三角形的中位线定理，确定点F的运动路径是本题的关键，也是难点．
三、解答题（共72分）
17．（6分）计算：
①；
②．
【分析】①根据二次根式的性质、绝对值的意义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可；
②根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
【解答】解：①
＝
＝；
②
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握这些性质和公式是解题的关键．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC＝2CD．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证：BD＝MN．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，根据MD与NC的关系，可得证明结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，根据三角形外角的性质，可得∠DBC的度数，根据正切函数，可得答案．
【解答】证明：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD＝NC，MD∥NC，
∴MNCD是平行四边形；
（2）如图：连接ND，
∵MNCD是平行四边形，
∴MN＝DC．
∵N是BC的中点，
∴BN＝CN，
∵BC＝2CD，∠C＝60°，
∴△NCD是等边三角形．
∴ND＝NC，∠DNC＝60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB＝∠DNC，
∵DN＝NC＝NB，
∴∠DBN＝∠BDN＝∠DNC＝30°，
∴∠BDC＝90°．
∵tan，
∴DB＝DC＝MN．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．
19．（8分）如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10cm，AB＝8cm．
求：（1）FC的长；
（2）EF的长．
【分析】（1）由于△ADE翻折得到△AEF，所以可得AF＝AD，则在Rt△ABF中，第一问可求解；
（2）由于EF＝DE，可设EF的长为x，进而在Rt△EFC中，利用勾股定理求解直角三角形即可．
【解答】解：（1）由题意可得，AF＝AD＝10cm，
在Rt△ABF中，∵AB＝8，
∴BF＝6cm，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．
（2）由题意可得EF＝DE，可设DE的长为x，
则在Rt△EFC中，（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
即EF的长为5cm．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及翻折的问题，能够熟练运用矩形的性质求解一些简答的问题．
20．（8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD＝x，DF＝y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．
【分析】（1）由已知求出∠C＝30°，列出y与x的函数关系式；
（2）由四边形AEFD为菱形，列出方程y＝60﹣x与y＝x组成方程组求x的值，
（3）由题意可得当△EDF是直角三角形时，分两种情形求解即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30，
∴∠C＝30°，
∵CD＝x，DF＝y．
∴y＝x；
（2）∵四边形AEFD为菱形，
∴AD＝DF，
∴y＝60﹣x
∴方程组，
解得x＝40，
∴当x＝40时，四边形AEFD为菱形；
（3）①当∠EDF＝90°，
∵∠FDE＝90°，FE∥AC，
∴∠EFB＝∠C＝30°，
∵DF⊥BC，
∴∠DEF+∠DFE＝∠EFB+∠DFE，
∴∠DEF＝∠EFB＝30°，
∴EF＝2DF，
∴60﹣x＝2y，
与y＝x，组成方程组，得
解得x＝30．
②当∠DEF＝90°时，
在Rt△ADE中，AD＝60﹣x，∠AED＝90°﹣∠FEB＝90°﹣∠A＝30°，
AE＝2AD＝120﹣2x，
在Rt△EFB中，EF＝AD＝60﹣x，∠EFB＝30°，
∴EB＝EF＝30﹣x，
∵AE+EB＝30，
∴120﹣2x+30﹣x＝30，
∴x＝48．
综上所述，当△DEF是直角三角形时，x的值为30或48．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形与菱形的知识，解本题的关键是找出x与y的关系列方程组．
22．（10分）某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示：
（1）该同学上学期5次测验成绩的众数为 106 ，中位数为 106 ；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为 104 ；
（3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照2：3：5的比例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）．
【分析】（1）将5次测验成绩重新排列后，根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）将平时测验成绩相加后除以3即可得；
（3）根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：（1）将5次测验的成绩重新排列为100、105、106、106、110，
∴该同学上学期5次测验成绩的众数为10（6分）、中位数为10（6分），
故答案为：106、106；
（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为＝104，
故答案为：104；
（3）该同学上学期数学学科的总评成绩为104×0.2+105×0.3+110×0.5＝107.3≈107，即该同学总评成绩约为10（7分）．
【点评】本题主要考查众数、中位数和加权平均数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及加权平均数的计算公式．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为O．
（1）求证：CE＝FG；
（2）如图2，连接OB，若AD＝3DE，∠OBC＝2∠DCE．
①求的值；
②若AD＝3，则OE的长为（直接写出结果）．
【分析】（1）过点B作BM∥FG交CD于M，则四边形FBMG为平行四边形，FG＝BM，再判定△BCM≌△CDE，即可得出CE＝BM＝FG；
（2）过点B作BM∥FG交CD于M，由（1）知△BCM≌△CDE，而∠OBC＝2∠DCE，进而得到BM垂直平分CO，连接MO，则MC＝MO＝MG＝ED，再根据AD＝3DE，即可得到；
（3）判定△COG∽△CDE，即可得到＝，进而得到OC＝，即可得到OE＝CE﹣CO＝．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BM∥FG交CD于M，则四边形FBMG为平行四边形，
∴FG＝BM，
∵FG⊥CE，
∴BM⊥CE，
∴∠CBM+∠BCE＝90°＝∠DCE+∠BCE，
∴∠CBM＝∠DCE，
又∵BC＝CD，∠BCM＝∠CDE＝90°，
∴△BCM≌△CDE，
∴CE＝BM＝FG；
（2）如图2，过点B作BM∥FG交CD于M，
由（1）知△BCM≌△CDE，而∠OBC＝2∠DCE，
∴MC＝ED，∠MBC＝∠DCE＝∠MBO，
由BM∥FG得MB⊥CE，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴BC＝BO，
∴BM垂直平分CO，
如图，连接MO，则MC＝MO，
即MC＝MO＝MG＝ED，
又∵AD＝3DE，
∴；
（3）当AD＝3时，OB＝3＝CD，DE＝1，CE＝，
∴＝，即GC＝2，
由∠D＝∠COG＝90°，∠OCG＝∠DCE，可得△COG∽△CDE，
∴＝，即，
∴OC＝，
∴OE＝CE﹣CO＝．
故答案为：．
解法二：作BM⊥EC，交CE于K，交CD于M，
首先证明BO＝BC，OK＝CK，
利用面积法求出CK，可得OC的长即可解决问题．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形以及全等三角形．
24．（12分）（1）写出图1中函数图象的解析式y1＝；
（2）如图2，过直线y＝3上一点P（m，3）作x轴的垂线交y1的图象于点C，交y＝﹣x﹣1于点D．
①当m＞0时，试比较PC与PD的大小，并证明你的结论；
②当CD＜3时，求m的取值范围．
【分析】（1）应用待定系数法，分类讨论求解析式；
（2）①观察点P运动可以发现随着点P的运动，点C的坐标表示发生变化，因而进行分类讨论求m范围；
②由图象可知，点C在点D上方，分别表示m＞0和m≤0时的CD值分类讨论求m范围．
【解答】解：（1）由图象可知y1＝
故答案为：
（2）①由已知点C坐标为（m，）点D坐标为（m，﹣m﹣1），PD＝3﹣（﹣m﹣1）＝4+m
当点C在直线y＝3下方时或在直线y＝3上时，由图象可知PC＜PD
当点C在直线y＝3上方时，
CP＝﹣3
∴当CP＝PD时，﹣3＝4+m
解得m＝14
当CP＞PD时，﹣3＞4+m
解得m＞14
当CP＜PD时，﹣3＜4+m
解得m＜14
综上当0＜m＜14时，CP＜PD
m＝14时，CP＝PD
m＞14时，CP＞PD
②当m＞0时，点C坐标为（m，），点D坐标为（m，﹣m﹣1）
则CD＝﹣（﹣m﹣1）＝＜3
解得m＜
∴0＜m＜
当m≤0时，点C坐标为（m，﹣），点D坐标为（m，﹣m﹣1）
则CD＝﹣﹣（﹣m﹣1）＝﹣＜3
解得m＞﹣4
∴﹣4＜m≤0
∴当CD＜3时，﹣4＜m＜
【点评】本题为一次函数综合题，考查了待定系数法，应用了数形结合思想和分类讨论思想，书写m范围时，应注意将题目中m范围与所求范围求交集，得到最终答案．
测验类别
平时测验
期中测验
期末测验
第1次
第2次
第3次
成绩
100
106
106
105
110
测验类别
平时测验
期中测验
期末测验
第1次
第2次
第3次
成绩
100
106
106
105
110