高中数学一轮复习考点规范练：第三章 导数及其应用15 Word版含解析

这是一份高中数学一轮复习考点规范练：第三章 导数及其应用15 Word版含解析，共9页。试卷主要包含了函数f=ex的单调递增区间是，已知函数f=ln ax-，设函数f=等内容，欢迎下载使用。
1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )

A.(-∞,2)B.(0,3)
C.(1,4)D.(2,+∞)
2.(2016河北唐山一模改编)已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=( )
A.0B.2C.-4D.-2
3.(2016河南商丘二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为f'(x),若f'(x)0,且2f(x)x恒成立,求a的取值范围.
〚导学号37270301〛
13.(2016天津,理20)设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;
(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.
〚导学号37270302〛
高考预测
14.已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·在区间(t,3)内总不是单调函数,求m的取值范围.
〚导学号37270303〛
参考答案
考点规范练15 导数与函数的
单调性、极值、最值
1.D 解析 函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
2.B 解析 因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f'(x)=3x2-6x+1=0的两根.
由根与系数的关系可知m+n=-=2.
3.A 解析 ∵函数f(x)是偶函数,
∴f(x+1)=f(3-x)=f(x-3),
∴f(x+4)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数.
∵f(2 015)=f(-1)=f(1)=2,
∴f(1)=2.
设g(x)=,
则g'(x)=
=0时,令g'(x)=0,得x=1或x=,若,则由g'(x)>0解得x>1或00解得x>或00;
当x0时,g(x)0时,函数f(x)的定义域为(0,+∞),此时函数f(x)在(0,a)内是减函数,在(a,+∞)内是增函数,
故fmin(x)=f(a)=ln a2,无最大值.
当a0时,令F(x)=,
则F'(x)=0时,F(x)=为减函数.
∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.
在区间(0,1)内,F(x)>0;
在(1, +∞)内,F(x)0,故f(x)在(0,1)内为增函数.
当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,
于是f'(x)=g(x)>0,
故f(x)在(1,+∞)内为增函数.
(2)af(x)-x=-x
=
令h(x)=-ln x(x>0),
则h'(x)=
令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a时h'(x)≥0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为增函数,
若0h(1)=0,
所以af(x)-x=h(x)>0,
所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立,
当00时,令f'(x)=0,解得x=1+,或x=1-
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为
(2)证明 因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a>0,且x0≠1.
由题意,得f'(x0)=3(x0-1)2-a=0,即(x0-1)2=,进而f(x0)=(x0-1)3-ax0-b=-x0--b.
又f(3-2x0)=(2-2x0)3-a(3-2x0)-b=(1-x0)+2ax0-3a-b=-x0--b=f(x0),且3-2x0≠x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=3-2x0.所以x1+2x0=3.
(3)证明 设g(x)在区间[0,2]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:
①当a≥3时,1-0