高中数学一轮复习考点规范练：第七章　不等式、推理与证明37 Word版含解析

这是一份高中数学一轮复习考点规范练：第七章　不等式、推理与证明37 Word版含解析，共4页。试卷主要包含了欲用数学归纳法证明，由下列不等式，请用数学归纳法证明等内容，欢迎下载使用。
1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于( )

A.1B.2C.3D.4
2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2n>n3,则验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是( )
A.1B.9
C.10D.n>10,且n∈N*
3.在数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an-an-1=2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是( )
A.3n-2B.n2
C.D.4n-3
4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,n∈N*,能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1(k∈N*)时的情况,只需展开( )
A.(k+3)3B.(k+2)3
C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3
5.对于不等式2,……你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.
8.(2016浙江宁波期中)请用数学归纳法证明:1+3+6+…+(n∈N*).
9.设a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.
(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明你的结论.
〚导学号37270345〛
能力提升
10.利用数学归纳法证明不等式1++…+2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,则其一般结论为 .
参考答案
考点规范练37 数学归纳法
1.C 解析 在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.
2.C 解析 210=1 024>103.故选C.
3.B 解析 ∵a1=1,an-an-1=2n-1(n≥2),∴a2=4,a3=9,a4=16.
可猜想an=n2,故选B.
4.A 解析 假设n=k(k∈N*)时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设证明,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选A.
5.D 解析 在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,故推理错误.
6.C 解析 边数增加1,顶点也相应增加1个,它与它不相邻的(n-2)个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加(n-1)条.故选C.
7.解 一般结论:1++…+(n∈N*),证明如下:
(1)当n=1时,由题设条件知命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,
即1++…+
当n=k+1时,1++…++…++…++…+
∴当n=k+1时不等式成立.
根据(1)和(2)可知猜想对任何n∈N*都成立.
8.证明 (1)当n=1时,左边=1,右边==1,等式成立;
(2)假设n=k时,结论成立,即1+3+6+…+,则n=k+1时,等式左边=1+3+6+…+,
故n=k+1时,等式成立.
由(1)(2)可知,1+3+6+…+(n∈N*).
9.(1)解 ∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=;a3=f(a2)=;a4=f(a3)=
猜想an=(n∈N*).
(2)证明 ①易知当n=1时,猜想正确.
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想正确,
即ak=,
则ak+1=f(ak)
=
=
故n=k+1时,猜想正确.
由①②知,对于任何n∈N*,都有an=
10.D 解析 1++…+
=+…+,共增加了2k项.
11.C 解析 由a1=,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(2×2-1)a2,即a1+a2=6a2.
解得a2=,S3=3(2×3-1)a3,即+a3=15a3.
解得a3=
同理可得a4=,故猜想an的表达式为
12.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
解析 ∵f(k)=12+22+…+(2k)2,
∴f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,
∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.
13.证明 (1)当n=1时,21+2·31+5×1-4=25,能被25整除,命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,2k+2·3k+5k-4能被25整除.
则当n=k+1时,原式=2k+3·3k+1+5(k+1)-4
=6×2k+2·3k+5(k+1)-4=6[(2k+2·3k+5k-4)-5k+4]+5(k+1)-4=6(2k+2·3k+5k-4)-30k+24+5k+5-4=6(2k+2·3k+5k-4)-25(k-1).
∵6(2k+2·3k+5k-4)和-25(k-1)都能被25整除,
∴当n=k+1时,命题仍成立.
综上(1)(2)可知,2n+2·3n+5n-4(n∈N*)能被25整除.
14.f(2n)>(n≥2,n∈N*) 解析 因为f(22)>,f(23) >,f(24)>,f(25)>,所以当n≥2时,有f(2n)>故填f(2n)>(n≥2,n∈N*).