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第19章 一次函数 人教版八年级下册上课复习与测试课件
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这是一份第19章 一次函数 人教版八年级下册上课复习与测试课件，共56页。
一次函数综合1.理解正比例函数的概念，能根据所给的条件写出正比例函数的解析式.2.理解一次函数的概念，掌握一次函数的图像和性质，会用待定系数法确定函数解析式.3.初步理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）的内在联系，三者之间可以相互转化、相互渗透.4.运用一次函数知识分析和解决简单的实际问题.学习目标知识回顾题型讲解课堂检测课后作业1 知识回顾函数相关知识链接1.函数的图象的概念:一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函教的图象2.描点法画函数图象的步骤:第一步:列表，第二步:描点，第三步:连线3.函数的表示方法有三种:列表法、图象法和解析式法.4.一元一次方程 只有一个解，解为x＝-b.5.一元一次不等式 >0的解集是x>-b.6.二元一次方程 =22有无数组解，而二元一次方程组只有一组解.知识回顾1. 正比例函数的定义★ 一般地，形如y=k x(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数. 一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数.知识回顾2. 正比例函数的图象和性质正比例函数y=k x（ k≠0 ）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=k x（ k≠0 ）.正比例函数图象的位置和函数值 y 的的增减性完全由比例系数 k 的符号决定，如下表（下页）：知识回顾知识回顾拓展：正比例函数y=k x (k≠0)中，| k | 越大，直线y=k x (k≠0)越靠近 y 轴，即直线与 x 轴正半轴的夹角越大； | k | 越小，直线y=k x (k≠0) 越靠近 x 轴，即直线与x 轴正半轴的夹角越小.知识回顾3.一次函数的定义★一般地，形如 y =k x + b(k , b 是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.例如y=2x-1. 当b=0时，如 y =k x + b 即y =k x ，所以正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数.由此可得，正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.一次函数正比例函数知识回顾4.一次函数的图象和性质一次函数y =k x + b(k , b 是常数，k≠0)的图象是一条直线，我们称它为直线y =k x + b(k≠0) .当 b=0 时，它是过点（0，b)且和直线 y =k x (k≠0) 平行的一条直线.一次函数图象的位置和函数值 y 的增减性完全由 b 和比例系数 k 的符号决定，如下表（下页）：知识回顾b＞0b＜0b＞0b＜0过第一、二、三象限过第一、三、四象限过第一、二、四象限过第二、三、四象限从左向右上升从左向右下降y随x的增大而增大y随x的增大而减小知识回顾拓展：(1)直线y=k x +b 的位置是由k和b的符号决定的. K 决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越缓; b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线交y轴上方,b<0,直线交y轴下方，若两直线的k相同，则两直线互相平行.(2)一次函数y=k x + b(k≠0)的自变量x的取值范围是全体实数.图象是一条直线，因此没有最大值与最小值，但由实际问题得到的一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制，则图象为线段或射线,根据函数的性质，就存在最大值或最小值问题. 知识回顾 5.一次函数图象的平移一次函数y =k x + b(k≠0)的图象是过点（0，b) 且和直线 y =k x 重合或平行的一条直线.直线 y =k x + b 可以看作由直线 y =k x 向上或向下平移|b|个单位长度得到.知识回顾拓展：(1)当直线 与 平行时，则有 ，且 ，反之亦成立.(2)当直线平行于 x 轴且与 y 轴交点的纵坐标为 b 时，这条直线的函教解析式为 y=b .(3)当直线平行于y轴且与x轴交点的横坐标为 a 时，这条直线的函数解析式为 x=a .(4)x轴、y轴分别表示为直线 y=0 、直线 x=0 .综上所述，坐标平面内任意一条直线都可以用函数解析式表示.知识回顾6.用待定系数法确定一次函数解析式★求次函数 y=k x + b (k≠0)的解析式，关健是求出k、b的值.一般可根据条件列出关于k , b的二元一次方程组，求出k、b的值,从而求出函数的解析式.这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.★运用待定系教法求一次函数解析式的步骤：(1)设：设出一次函数的解析式 y=k x + b（k≠0)；(2)代：把已知条件(自变量 与函数的对应值)代人解析式得到关于k , b的二元一次方程组;(3)解:解方程组,求出k ,b 的值;(4) 回代:将求出的 k , b 的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式.知识回顾2 题型讲解例1.（易）如果一次函数 y=k x + (k-1) 的图象经过第一、三、四象限，则 k 的取值范围是 （ ）A．K＞0 B．K＜0C．0＜k＜1 D．K＞1一次函数的图象与性质【答案】 C【解析】由题意可画出图象如右图，可知直线呈上升趋势，∴ k＞0.又 直线与y轴负半轴相交，∴ k – 1＜0，即 k ＜ 1.∴ 0＜k＜1 变式1. （中）已知一次函数 ，求：(1) 满足什么条件时, y 随 x 的增大而增大.(2) 满足什么条件时, 函数的图象与 y 轴的交点在工轴下方.(3) 满足什么条件时, 函数的图象经过原点.【解析】解:(1)∵ y随x的增大而增大，∴ 2m+4 > 0 . 解得m> -2,∴ 当m > -2 ，n为任意实数时，y 随 x 的增大而增大.(2)∵ 函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，∴ 2m+4≠0 且 3-n<0 , 即m≠-2 且 n>3,∴ 当 m≠-2 且 n>3 时，函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方.(m≠一2,(3)∵ 函数的图象经过原点， ∴ 解得∴当m≠-2且n=3时，函数的图象经过原点.例2.（中）已知一次函数 y=k x + b 的图象经过点(3, -3),且与直线 y=4 x-3的交点在x轴上.(1)求这个一次函数的解析式.(2)此函数的图象经过哪几个象限?(3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.一次函数图象围成的有关三角形面积问题【解析】(1)对于一次函数 y=4x-3,当y=0时,x= ，∴ 它与x轴的交点坐标为( ,0)，∴直线y=k x + b 经过点(3,-3)和点( ,0)，∴ 解得 ∴ 这个一次函数的解析式为y=- x+1.(2)∵ ∴ 该一次函数的图象经过第一、二、四象限.(3)∵ 当x=0时,y=1;当y=0时,x=∴ 该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为S=变式2. （难）如图所示，O为原点，四边形ABCD为平行四边形,C为x轴上的一点，点E为对角线AC与BD的交点，且在y轴上，另外,BD与x轴平行.直线AC的解析式为y= ax+3(a为常数),直线DC的解析式为y=-2x+8.(1)求a的值;(2)求平行四边形ABCD的面积是△EOC的面积的多少倍.【解析】(1) 因为直线DC的解析式为y= -2x+8,令y=0得x= 4,即点C的坐标为(4,0).把点C(4,0)代人y=ax+3,得0=4a+3, ∴ a= (2) 由(1)知直线AC的解析式为y= x+3.令x=0得y=3. ∴ 点E的坐标为(0,3)∵ BD与x轴平行 ∴ 即点D的纵坐标为3.令3=-2x+8,得 ∴ DE=由平行四边形的性质得 又 ∴ 平行四边形ABCD的面积是△EOC的面积的 倍.运用一次函数知识解决利润最大问题和调运问题例3 .（难）某服装厂现有甲种布料42 m,乙种布料30 m,现计划用这两种生产M，L两种型号的校服40件. 已知做一件M型号的校服需用甲种布料0.8 m,乙种布料1.1 m, 可获利45元; 做一件L型号的校服需用甲种布料1.2 m. 乙种布料0.5 m, 可获利30元. 该厂生产M型号的校服可否获得最大利润?最大利润是多少?【答案】 可,最大利润为1440元.【解析】设生产M型号校服 x 件, 故需甲种布料0.8x m,乙种布料1.1x m,则生产L型号校服(40-x)件, 需甲种布料1.2(40-x) m.乙种布料0.5(40-x) m,由题意得 解得∵ x为正整数，∴ x可取15,16.设利润为y,则y=45x+ 30(40-x)=15x+1200.∵ y=15x+1 200是一次函数,且k=15>0,∴ y随x的增大而增大，即当x 16时,y取最大值，y=15X16+1200= 1440(元).答:当生产M型号的校服16件时，可获得最大利润，最大利润为1440元.变式3. (中) A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台,D村8台. 已知从A市调运1台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元, 从B市调运1台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元.(1)设从B市运往C村机器x台,求总运费W(元)关于x的函数解析式;(2)若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案;(3)求出总运费最低的调运方案及最低运费.【解析】(1)依题意得W= 300x+500(6-x)+400(10-x)+800[8-(6- x)]= 200x+8600(0≤x≤6且x为整数).∴ W关于x的函数解析式为W=200x+8600(0≤x≤6且x为整数).(2)由W= 200x+8600≤9000,解得x ≤2.又∵x≥0且 x 为整数, ∴ x可以取0,1,2三个数.故共有三种调运方案.(3)∵ W= 200x+8600是一次函数,且k= 200>0,∴ W随x的增大而增大.∴ 当x取最小值时, W最小，即当x=0时,W=200X0+8 600 =8600(元).∴ 当从A市调运10台给C村,调运2台给D村, 从B市调运6台给D村时，总运费最低,最低运费是8600元.分段函数及其应用例4.（中）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现， 如果成人按规定剂量服用，那么服药2 h后血液中含药量最高，达每毫升6 (1 = mg)，接着逐步衰减, 10h后血液中含药量为每毫升3 .当成人按规定剂量服药后，每毫升血液中含药量y ( )随时间x (h)的变化如下图所示.(1)分别求出0≤x≤2和x＞2时,y与x之间的函数解析式;(2)如果每毫升血液中含药量为4 或4 以上时药物对疾病的治疗是有效的,那么这个有效时间是多长?【解析】(1)当0≤x≤2时,设 y 与 x 之间的函数解析式为 .把(2,6)代人 , 得 =3 ∴ 当0≤x≤2时 , y= 3x.当x>2时,设函数的解析式为 把(2,6),(10,3)代人 中，得 解得 ∴当x＞2时，(2)把y=4代人y= 3x,得x= ;把y=4代入 得x=∵ , ∴ 这个有效时间是6 h.变式4.（中）如图所示，是周长为120 cm的圆, 该圆上有固定定的一点A.点P从点A出发，以每秒2 cm的速度在圆周上顺时针转动. 点Q最初也在A的位置上,在点P出发15秒后从A点出发，以每秒5 cm的速度在圆周上顺时针转动. 点P从出发x秒后弧PQ的长度为y cm(定义：弧PQ的长度是以P,Q两点为端点的劣弧或半圆，当P,Q两点重合时，弧PQ的长度为0).回答下面的问题.(1)点P从点A出发3秒后和18秒后的弧PQ的长度为多少厘米?(2)图(2)表示了点P从A点出发,到点Q第一次追上点P的 x 和 y之间的关系，根据该图象，当 x 的取值范围为15≤x≤25时,将y用 x 的关系式表示出来.(3)将Q点从第一次追上P点到第二次追上P点的 x 和 y 的关系图添加在图(2)上.(4)点P从点A出发到点Q第二次遇到点P为止，弧PQ的长度在50 cm以上是在多少秒之间?【解析】(1)点P从点A出发3秒后弧PQ的长度为2X3= 6(cm).点P从点A出发18秒后弧PQ的长度为18X2- 5X(18 - 15)=21(cm). (2)由图知，当15≤x≤25时,图象经过(15, 30)和(25,0)两点.设y与x之间的解析式为y=k x + b,则 即当15≤x≤25时,y与x之间的解析式为y= - 3x+75.(3)根据图象可知,25秒时点Q第一次追上了点P. 第2次追上是在第1次追上120÷(5- 2)= 40(秒)后. 因此，在第1次追上后的40÷2= 20(秒)时点P距离点Q最远, 此时，弧PQ的长度为120÷2= 60(cm).由以上可知，图象如图所示，通过两点(25,0)，(45,60)的直线 (25≤x≤45)，通过两点(45,60),(65,0)的直线(45≤x≤65).(4)通过两点(25,0)，(45,60)的直线的解析式为y=3 x- 75 (25≤x≤45)，通过两点(45,60),(65,0)的直线y=-3x+195(45≤x≤65).将y=50 代入 y=3x-75 可得 x= 将y=50 代人y= -3x+ 195可得x= 因此弧PQ的长度在50 cm以上是在 秒到 秒之间.3 课堂检测1.（中）若k≠0, b＜0, 则y=k x+ b 的图象可能是 （ ）【答案】 B【解析】∵直线y=kx+b(k≠0)与y轴的交点为(0,b)，∴ b的符号决定了直线y=k x+ b(k≠0)与y轴交点的位置，∴ 当b<0时, 交点在y轴的负半轴上，∴ 只有选项B,D符合题意.又∵选项D中,表示k=0, ∴ 只有选项B正确。 2.（中）如图函数 与 的图象相交于点A(m, 2),则关于x的不等式-2x＞ax+3的解集是 ( )A. X＞2 B. x＜2 C. X＞-1 D. X＜-1【答案】 D【解析】∵ 函数 过点A(m,2), ∴-2m=2,解得m=-1,∴A(-1,2).由图象可知,x＜-1时, 的图象在 的图象的上方,∴ 不等式-2x＞ax+3的解集为x＜ -1.3. （中）如图，直线 与两坐标轴分别交于A,B两点,(1)求∠ABO的度数; (2)过A的直线 l 交x轴正半轴于C,AB=AC, 求直线 l 的解析式. 【解析】对于 , 令x=0.则 ∴ A的坐标为(0， )，∴ OA= . 令y=0,则x= -1 ,∴ OB=1. 在 中,由勾股定理,得 ,∴ OB= AB，∴∠BAO=30° ，∠ABO=60°. (2)在△ABC中,AB=AC,又AO⊥BC, ∴BO=CO,∴ C的坐标为(1,0). 设直线 l 的函数解析式为y=k x + b (k , b为常数)，依题意有直线 l 的函数解析式为4.（中）如图，“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游.根据以上信息，解答下列问题(1)设租车时间为x小时, 租用甲公司的车所需费用为 元,租用乙公司的车所需费用为 元，分别求出 关于x的函数解析式;(2)请你帮助小明计算选择哪个出游方案合算.【解析】由图象可知, 且图象过点(1,95)，则有∴ ∴ =15x+80(x≥0). 由题意设 把点(1，30)代人可得30= ， = 30 x (x≥0). 当 时，解得x=当 时, 解得x＜当 时,解得x＞∴ 当租车时间为 小时时,选择甲、乙公司一样合算;当租车时间小于 小时时，选择乙公司合算;当租车时间大于 小时时,选择甲公司合算. （也可求出x= 之后,观察函数图象得到结论)4课后作业1. 一次函数y=k x + b 和y=b x + k 在同一平面直角坐标系下的图象大致是下列选项中的（ ）【答案】 A【解析】由图象可分为以下几种情况：K＞0，b＜0K＞0，b＞0K＜0，b＜0K＜0，b＞0符合图象的答案为 A .2.若一次函数 y= - x + a 与 y= x + b 的图象的交点坐标为（m,8), 则 a + b =_____. 【答案】16 【解析】由题意得，a=m+8,b=-m+8,所以 a + b = 16 . 3.已知函数y=kx+3与y= m x的图象相交于点P(2,1),如图所示.(1)求这两个函数的解析式;(2)求图中阴影部分的面积. 【解析】(1)将点P(2,1)的坐标代人y=kx+3中,得k= -1;将点P(2,1)的坐标代人y =mx中,得m= .故这两个函数的解析式分别为y=-x+3, y=(2)设y=-x+3与 x 轴的交点为B( ,0)，可求得 =3, 所以点B的坐标为(3,0).所以4.在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(h)时,汽车与甲地的距离为y(km),y与x的函数关系如图所示.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车往返的速度是否相同?请说明理由.(2)求返程中y关于x的函数解析式.(3)求这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离.【解析】(1)不同. 理由如下:∵ 往、返的距离相等，去时用了2 h，而返回时用了2.5h,∴ 往、返的速度不同，(2)设返程中y关于x的函数解析式为y=k x + b (k≠0)，则∴ (3)当x=4时，汽车在返程中，∴ y=- 48×4+240= 48.∴ 这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离为48 km.点拨:先从图象中读取有用信息,再用一次函数的有关知识进行解答.5.某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用于绿化校园,甲种树苗每株25元,乙种树苗每株30元，通过调查了解,甲、乙两种树苗成活率分别是90%和95%. (1)若购买这两种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株?(2)要使这批树苗的总成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株?(3)在(2)的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低?并求出最低费用.【解析】设(1)设购买甲种树苗x株,乙种树苗y株.由题意,得购买甲种树苗400株,乙种树苗600株.(2)设购买甲种树苗a株，则购买乙种树苗(1 000 -a)株由题意，得90%a+ 95%(1 000-a)≥92%X1 000，解得a≤600.∴ 甲种树苗最多购买600株.(3)设购买树苗的总费用为W元，由题意((2)中已设购买甲种树苗为a株)，得W=25a+ 30(1000-a)=-5a+ 30 000.∵ k=-5<0, W 随 a 的增大而减小 0＜a≤600,∴ 当a= 600时,W取得最小值为27 000.∴ 购买甲种树苗600株,乙种树苗400株时总费用最低，最低费用为27 000元.
一次函数综合1.理解正比例函数的概念，能根据所给的条件写出正比例函数的解析式.2.理解一次函数的概念，掌握一次函数的图像和性质，会用待定系数法确定函数解析式.3.初步理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）的内在联系，三者之间可以相互转化、相互渗透.4.运用一次函数知识分析和解决简单的实际问题.学习目标知识回顾题型讲解课堂检测课后作业1 知识回顾函数相关知识链接1.函数的图象的概念:一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函教的图象2.描点法画函数图象的步骤:第一步:列表，第二步:描点，第三步:连线3.函数的表示方法有三种:列表法、图象法和解析式法.4.一元一次方程 只有一个解，解为x＝-b.5.一元一次不等式 >0的解集是x>-b.6.二元一次方程 =22有无数组解，而二元一次方程组只有一组解.知识回顾1. 正比例函数的定义★ 一般地，形如y=k x(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数. 一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数.知识回顾2. 正比例函数的图象和性质正比例函数y=k x（ k≠0 ）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=k x（ k≠0 ）.正比例函数图象的位置和函数值 y 的的增减性完全由比例系数 k 的符号决定，如下表（下页）：知识回顾知识回顾拓展：正比例函数y=k x (k≠0)中，| k | 越大，直线y=k x (k≠0)越靠近 y 轴，即直线与 x 轴正半轴的夹角越大； | k | 越小，直线y=k x (k≠0) 越靠近 x 轴，即直线与x 轴正半轴的夹角越小.知识回顾3.一次函数的定义★一般地，形如 y =k x + b(k , b 是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.例如y=2x-1. 当b=0时，如 y =k x + b 即y =k x ，所以正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数.由此可得，正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.一次函数正比例函数知识回顾4.一次函数的图象和性质一次函数y =k x + b(k , b 是常数，k≠0)的图象是一条直线，我们称它为直线y =k x + b(k≠0) .当 b=0 时，它是过点（0，b)且和直线 y =k x (k≠0) 平行的一条直线.一次函数图象的位置和函数值 y 的增减性完全由 b 和比例系数 k 的符号决定，如下表（下页）：知识回顾b＞0b＜0b＞0b＜0过第一、二、三象限过第一、三、四象限过第一、二、四象限过第二、三、四象限从左向右上升从左向右下降y随x的增大而增大y随x的增大而减小知识回顾拓展：(1)直线y=k x +b 的位置是由k和b的符号决定的. K 决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越缓; b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线交y轴上方,b<0,直线交y轴下方，若两直线的k相同，则两直线互相平行.(2)一次函数y=k x + b(k≠0)的自变量x的取值范围是全体实数.图象是一条直线，因此没有最大值与最小值，但由实际问题得到的一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制，则图象为线段或射线,根据函数的性质，就存在最大值或最小值问题. 知识回顾 5.一次函数图象的平移一次函数y =k x + b(k≠0)的图象是过点（0，b) 且和直线 y =k x 重合或平行的一条直线.直线 y =k x + b 可以看作由直线 y =k x 向上或向下平移|b|个单位长度得到.知识回顾拓展：(1)当直线 与 平行时，则有 ，且 ，反之亦成立.(2)当直线平行于 x 轴且与 y 轴交点的纵坐标为 b 时，这条直线的函教解析式为 y=b .(3)当直线平行于y轴且与x轴交点的横坐标为 a 时，这条直线的函数解析式为 x=a .(4)x轴、y轴分别表示为直线 y=0 、直线 x=0 .综上所述，坐标平面内任意一条直线都可以用函数解析式表示.知识回顾6.用待定系数法确定一次函数解析式★求次函数 y=k x + b (k≠0)的解析式，关健是求出k、b的值.一般可根据条件列出关于k , b的二元一次方程组，求出k、b的值,从而求出函数的解析式.这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.★运用待定系教法求一次函数解析式的步骤：(1)设：设出一次函数的解析式 y=k x + b（k≠0)；(2)代：把已知条件(自变量 与函数的对应值)代人解析式得到关于k , b的二元一次方程组;(3)解:解方程组,求出k ,b 的值;(4) 回代:将求出的 k , b 的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式.知识回顾2 题型讲解例1.（易）如果一次函数 y=k x + (k-1) 的图象经过第一、三、四象限，则 k 的取值范围是 （ ）A．K＞0 B．K＜0C．0＜k＜1 D．K＞1一次函数的图象与性质【答案】 C【解析】由题意可画出图象如右图，可知直线呈上升趋势，∴ k＞0.又 直线与y轴负半轴相交，∴ k – 1＜0，即 k ＜ 1.∴ 0＜k＜1 变式1. （中）已知一次函数 ，求：(1) 满足什么条件时, y 随 x 的增大而增大.(2) 满足什么条件时, 函数的图象与 y 轴的交点在工轴下方.(3) 满足什么条件时, 函数的图象经过原点.【解析】解:(1)∵ y随x的增大而增大，∴ 2m+4 > 0 . 解得m> -2,∴ 当m > -2 ，n为任意实数时，y 随 x 的增大而增大.(2)∵ 函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，∴ 2m+4≠0 且 3-n<0 , 即m≠-2 且 n>3,∴ 当 m≠-2 且 n>3 时，函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方.(m≠一2,(3)∵ 函数的图象经过原点， ∴ 解得∴当m≠-2且n=3时，函数的图象经过原点.例2.（中）已知一次函数 y=k x + b 的图象经过点(3, -3),且与直线 y=4 x-3的交点在x轴上.(1)求这个一次函数的解析式.(2)此函数的图象经过哪几个象限?(3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.一次函数图象围成的有关三角形面积问题【解析】(1)对于一次函数 y=4x-3,当y=0时,x= ，∴ 它与x轴的交点坐标为( ,0)，∴直线y=k x + b 经过点(3,-3)和点( ,0)，∴ 解得 ∴ 这个一次函数的解析式为y=- x+1.(2)∵ ∴ 该一次函数的图象经过第一、二、四象限.(3)∵ 当x=0时,y=1;当y=0时,x=∴ 该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为S=变式2. （难）如图所示，O为原点，四边形ABCD为平行四边形,C为x轴上的一点，点E为对角线AC与BD的交点，且在y轴上，另外,BD与x轴平行.直线AC的解析式为y= ax+3(a为常数),直线DC的解析式为y=-2x+8.(1)求a的值;(2)求平行四边形ABCD的面积是△EOC的面积的多少倍.【解析】(1) 因为直线DC的解析式为y= -2x+8,令y=0得x= 4,即点C的坐标为(4,0).把点C(4,0)代人y=ax+3,得0=4a+3, ∴ a= (2) 由(1)知直线AC的解析式为y= x+3.令x=0得y=3. ∴ 点E的坐标为(0,3)∵ BD与x轴平行 ∴ 即点D的纵坐标为3.令3=-2x+8,得 ∴ DE=由平行四边形的性质得 又 ∴ 平行四边形ABCD的面积是△EOC的面积的 倍.运用一次函数知识解决利润最大问题和调运问题例3 .（难）某服装厂现有甲种布料42 m,乙种布料30 m,现计划用这两种生产M，L两种型号的校服40件. 已知做一件M型号的校服需用甲种布料0.8 m,乙种布料1.1 m, 可获利45元; 做一件L型号的校服需用甲种布料1.2 m. 乙种布料0.5 m, 可获利30元. 该厂生产M型号的校服可否获得最大利润?最大利润是多少?【答案】 可,最大利润为1440元.【解析】设生产M型号校服 x 件, 故需甲种布料0.8x m,乙种布料1.1x m,则生产L型号校服(40-x)件, 需甲种布料1.2(40-x) m.乙种布料0.5(40-x) m,由题意得 解得∵ x为正整数，∴ x可取15,16.设利润为y,则y=45x+ 30(40-x)=15x+1200.∵ y=15x+1 200是一次函数,且k=15>0,∴ y随x的增大而增大，即当x 16时,y取最大值，y=15X16+1200= 1440(元).答:当生产M型号的校服16件时，可获得最大利润，最大利润为1440元.变式3. (中) A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台,D村8台. 已知从A市调运1台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元, 从B市调运1台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元.(1)设从B市运往C村机器x台,求总运费W(元)关于x的函数解析式;(2)若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案;(3)求出总运费最低的调运方案及最低运费.【解析】(1)依题意得W= 300x+500(6-x)+400(10-x)+800[8-(6- x)]= 200x+8600(0≤x≤6且x为整数).∴ W关于x的函数解析式为W=200x+8600(0≤x≤6且x为整数).(2)由W= 200x+8600≤9000,解得x ≤2.又∵x≥0且 x 为整数, ∴ x可以取0,1,2三个数.故共有三种调运方案.(3)∵ W= 200x+8600是一次函数,且k= 200>0,∴ W随x的增大而增大.∴ 当x取最小值时, W最小，即当x=0时,W=200X0+8 600 =8600(元).∴ 当从A市调运10台给C村,调运2台给D村, 从B市调运6台给D村时，总运费最低,最低运费是8600元.分段函数及其应用例4.（中）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现， 如果成人按规定剂量服用，那么服药2 h后血液中含药量最高，达每毫升6 (1 = mg)，接着逐步衰减, 10h后血液中含药量为每毫升3 .当成人按规定剂量服药后，每毫升血液中含药量y ( )随时间x (h)的变化如下图所示.(1)分别求出0≤x≤2和x＞2时,y与x之间的函数解析式;(2)如果每毫升血液中含药量为4 或4 以上时药物对疾病的治疗是有效的,那么这个有效时间是多长?【解析】(1)当0≤x≤2时,设 y 与 x 之间的函数解析式为 .把(2,6)代人 , 得 =3 ∴ 当0≤x≤2时 , y= 3x.当x>2时,设函数的解析式为 把(2,6),(10,3)代人 中，得 解得 ∴当x＞2时，(2)把y=4代人y= 3x,得x= ;把y=4代入 得x=∵ , ∴ 这个有效时间是6 h.变式4.（中）如图所示，是周长为120 cm的圆, 该圆上有固定定的一点A.点P从点A出发，以每秒2 cm的速度在圆周上顺时针转动. 点Q最初也在A的位置上,在点P出发15秒后从A点出发，以每秒5 cm的速度在圆周上顺时针转动. 点P从出发x秒后弧PQ的长度为y cm(定义：弧PQ的长度是以P,Q两点为端点的劣弧或半圆，当P,Q两点重合时，弧PQ的长度为0).回答下面的问题.(1)点P从点A出发3秒后和18秒后的弧PQ的长度为多少厘米?(2)图(2)表示了点P从A点出发,到点Q第一次追上点P的 x 和 y之间的关系，根据该图象，当 x 的取值范围为15≤x≤25时,将y用 x 的关系式表示出来.(3)将Q点从第一次追上P点到第二次追上P点的 x 和 y 的关系图添加在图(2)上.(4)点P从点A出发到点Q第二次遇到点P为止，弧PQ的长度在50 cm以上是在多少秒之间?【解析】(1)点P从点A出发3秒后弧PQ的长度为2X3= 6(cm).点P从点A出发18秒后弧PQ的长度为18X2- 5X(18 - 15)=21(cm). (2)由图知，当15≤x≤25时,图象经过(15, 30)和(25,0)两点.设y与x之间的解析式为y=k x + b,则 即当15≤x≤25时,y与x之间的解析式为y= - 3x+75.(3)根据图象可知,25秒时点Q第一次追上了点P. 第2次追上是在第1次追上120÷(5- 2)= 40(秒)后. 因此，在第1次追上后的40÷2= 20(秒)时点P距离点Q最远, 此时，弧PQ的长度为120÷2= 60(cm).由以上可知，图象如图所示，通过两点(25,0)，(45,60)的直线 (25≤x≤45)，通过两点(45,60),(65,0)的直线(45≤x≤65).(4)通过两点(25,0)，(45,60)的直线的解析式为y=3 x- 75 (25≤x≤45)，通过两点(45,60),(65,0)的直线y=-3x+195(45≤x≤65).将y=50 代入 y=3x-75 可得 x= 将y=50 代人y= -3x+ 195可得x= 因此弧PQ的长度在50 cm以上是在 秒到 秒之间.3 课堂检测1.（中）若k≠0, b＜0, 则y=k x+ b 的图象可能是 （ ）【答案】 B【解析】∵直线y=kx+b(k≠0)与y轴的交点为(0,b)，∴ b的符号决定了直线y=k x+ b(k≠0)与y轴交点的位置，∴ 当b<0时, 交点在y轴的负半轴上，∴ 只有选项B,D符合题意.又∵选项D中,表示k=0, ∴ 只有选项B正确。 2.（中）如图函数 与 的图象相交于点A(m, 2),则关于x的不等式-2x＞ax+3的解集是 ( )A. X＞2 B. x＜2 C. X＞-1 D. X＜-1【答案】 D【解析】∵ 函数 过点A(m,2), ∴-2m=2,解得m=-1,∴A(-1,2).由图象可知,x＜-1时, 的图象在 的图象的上方,∴ 不等式-2x＞ax+3的解集为x＜ -1.3. （中）如图，直线 与两坐标轴分别交于A,B两点,(1)求∠ABO的度数; (2)过A的直线 l 交x轴正半轴于C,AB=AC, 求直线 l 的解析式. 【解析】对于 , 令x=0.则 ∴ A的坐标为(0， )，∴ OA= . 令y=0,则x= -1 ,∴ OB=1. 在 中,由勾股定理,得 ,∴ OB= AB，∴∠BAO=30° ，∠ABO=60°. (2)在△ABC中,AB=AC,又AO⊥BC, ∴BO=CO,∴ C的坐标为(1,0). 设直线 l 的函数解析式为y=k x + b (k , b为常数)，依题意有直线 l 的函数解析式为4.（中）如图，“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游.根据以上信息，解答下列问题(1)设租车时间为x小时, 租用甲公司的车所需费用为 元,租用乙公司的车所需费用为 元，分别求出 关于x的函数解析式;(2)请你帮助小明计算选择哪个出游方案合算.【解析】由图象可知, 且图象过点(1,95)，则有∴ ∴ =15x+80(x≥0). 由题意设 把点(1，30)代人可得30= ， = 30 x (x≥0). 当 时，解得x=当 时, 解得x＜当 时,解得x＞∴ 当租车时间为 小时时,选择甲、乙公司一样合算;当租车时间小于 小时时，选择乙公司合算;当租车时间大于 小时时,选择甲公司合算. （也可求出x= 之后,观察函数图象得到结论)4课后作业1. 一次函数y=k x + b 和y=b x + k 在同一平面直角坐标系下的图象大致是下列选项中的（ ）【答案】 A【解析】由图象可分为以下几种情况：K＞0，b＜0K＞0，b＞0K＜0，b＜0K＜0，b＞0符合图象的答案为 A .2.若一次函数 y= - x + a 与 y= x + b 的图象的交点坐标为（m,8), 则 a + b =_____. 【答案】16 【解析】由题意得，a=m+8,b=-m+8,所以 a + b = 16 . 3.已知函数y=kx+3与y= m x的图象相交于点P(2,1),如图所示.(1)求这两个函数的解析式;(2)求图中阴影部分的面积. 【解析】(1)将点P(2,1)的坐标代人y=kx+3中,得k= -1;将点P(2,1)的坐标代人y =mx中,得m= .故这两个函数的解析式分别为y=-x+3, y=(2)设y=-x+3与 x 轴的交点为B( ,0)，可求得 =3, 所以点B的坐标为(3,0).所以4.在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(h)时,汽车与甲地的距离为y(km),y与x的函数关系如图所示.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车往返的速度是否相同?请说明理由.(2)求返程中y关于x的函数解析式.(3)求这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离.【解析】(1)不同. 理由如下:∵ 往、返的距离相等，去时用了2 h，而返回时用了2.5h,∴ 往、返的速度不同，(2)设返程中y关于x的函数解析式为y=k x + b (k≠0)，则∴ (3)当x=4时，汽车在返程中，∴ y=- 48×4+240= 48.∴ 这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离为48 km.点拨:先从图象中读取有用信息,再用一次函数的有关知识进行解答.5.某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用于绿化校园,甲种树苗每株25元,乙种树苗每株30元，通过调查了解,甲、乙两种树苗成活率分别是90%和95%. (1)若购买这两种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株?(2)要使这批树苗的总成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株?(3)在(2)的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低?并求出最低费用.【解析】设(1)设购买甲种树苗x株,乙种树苗y株.由题意,得购买甲种树苗400株,乙种树苗600株.(2)设购买甲种树苗a株，则购买乙种树苗(1 000 -a)株由题意，得90%a+ 95%(1 000-a)≥92%X1 000，解得a≤600.∴ 甲种树苗最多购买600株.(3)设购买树苗的总费用为W元，由题意((2)中已设购买甲种树苗为a株)，得W=25a+ 30(1000-a)=-5a+ 30 000.∵ k=-5<0, W 随 a 的增大而减小 0＜a≤600,∴ 当a= 600时,W取得最小值为27 000.∴ 购买甲种树苗600株,乙种树苗400株时总费用最低，最低费用为27 000元.
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