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2024年山东省东营市利津县中考数学一模试卷（含解析）
展开这是一份2024年山东省东营市利津县中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.16的算术平方根是( )
A. ±4B. ±2C. 4D. −4
2.用计算器计算，按键顺序是2，xy，3，=，显示的结果是( )
A. 23B. 6C. 8D. 9
3.将一副三角板的直角顶点重合按如图方式放置，其中BC//AE，则∠DFC的度数为( )
A. 60°
B. 45°
C. 75°
D. 55°
4.由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知直线m//n，将一块含30°角的直角三角板ABC(∠ABC=30°,∠BAC=60°)按如图方式放置，点A、B分别落在直线m、n上.若∠1=70°，则∠2的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
6.下列说法正确的是( )
A. 一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球(每个球除颜色外都相同)，则从中任意摸出一个球是红球的概率为23
B. 一个抽奖活动的中奖概率为12，则抽奖2次就必有1次中奖
C. 统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：x甲−=x乙−，S甲2>S乙2，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D. 要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
7.化简a2a−b−b2a−b的结果为( )
A. a−bB. a+bC. a+ba−bD. a−ba+b
8.初三(1)班周沫同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是( )
A. 12B. 34C. 1D. 14
9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为( )
A. (0,2)B. (3,1)C. (1,4)D. (−3,−1)
10.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示.即：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……，请你推算21+22+23+24+25+……+22023的个位数字是( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
11.如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A、B分别落在双曲线y=1x、y=4x上，边BC交y=1x于点E，连接AE，则△ABE的面积为( )
A. 94
B. 34
C. 38
D. 98
12.已知A(m,2020)，B(m+n,2020)是抛物线y=−(x−h)2+2036上两点，则正数n=( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
13.如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD=24，AB=15，则线段PE的长等于( )
A. 22B. 20C. 18D. 16
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
14.如图，数轴上点A表示的数为a，化简a+ a2−4a+4= ．
15.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN//BC，分别交AB、AC于点M、N.则△AMN的周长为______．
16.若关于x的方程3x+6x−1=mx+mx2−x无解，则m=______．
17.如图，直线y=x+1与抛物线y=x2−4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB= ．
18.已知⊙O的直径AB为4cm，点C是⊙O上的动点，点D是BC的中点，AD延长线交⊙O于点E，则BE的最大值为______．
三、解答题：本题共9小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
先化简，再求值：a2−6ab+9b2a2−2ab÷(5b2a−2b−a−2b)−1a，其中a，b满足a+b=5a−b=1．
20.(本小题10分)
某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元，
(1)写出售出一个可获得的利润是多少元？(用含x的代数式表示)
(2)商店若准备获得利润6 000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
21.(本小题10分)
已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D、E分别为AC、BC边上的点(不包括端点)，且DCBE=ACBC=m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．
(1)如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m= 22，求证：AE=DF；
(2)如图2，若m=35，求DFAE的值．
22.(本小题10分)
学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率.九年级(1)班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间(单位：min)进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、频率分布表和频数分布扇形图：
请根据图表中的信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为______，表中的a= ______，b= ______，c= ______；
(2)试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；
(3)该校九年级共有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数．
23.(本小题10分)
如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y=kx(x>0)的图象经过点A (3,4)和点M．
(1)求k的值和点M的坐标；
(2)求▱OABC的周长．
24.(本小题10分)
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求出y与x之间的函数表达式；(不需要求自变量x的取值范围)
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
25.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE=2∠E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若tanE=13，BD=1，求AB的长．
26.(本小题4分)
已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．
【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形△ADE，连结CE.可得CE+CD=AC(不需证明)．
【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角△DEF.求证：CE+CD=CF．
【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角△DEF.试探究线段CE，CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
27.(本小题9分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c过A(−4,0)，B(6,0)，C(0,8)三点；点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标是m，且1
(2)过点P作PN//y轴并BC交于点N，作PM//x轴并交抛物线的对称轴于点M，若PM=23PN，求点P的坐标；
(3)当点P运动到使∠PAB=12∠ABC时，请简要求出m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解： 16=4，
∴16的算术平方根是4．
故选：C．
根据算术平方根的含义和求法，求出16的算术平方根是多少即可．
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意得：23=8，
故选：C．
根据题意得出xy=23，求出即可结果．
本题考查了计算器−有理数和有理数的乘方的应用，关键是考查学生的理解能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
3.【答案】C
【解析】解：∵BC//AE，
∴∠BCE=∠E=30°，
∵∠B=45°，
∴∠DFC=∠B+∠BCE=45°+30°=75°．
故选：C．
依据平行线的性质，即可得到∠BCE=∠E=30°，再根据三角形外角的性质得到∠DFC=∠B+∠BCE，计算即可．
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是运用两直线平行，内错角相等．
4.【答案】B
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：B．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】A
【解析】解：因为m//n，∠1=70°，
所以∠1=∠ABD=70°，
因为∠ABC=30°，
所以∠2=∠ABD−∠ABC=40°，
故选：A．
根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．
本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．
6.【答案】D
【解析】解：A、一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球(每个球除颜色外都相同)，则从中任意摸出一个球是红球的概率为25，故原命题错误，不符合题意；
B、一个抽奖活动的中奖概率为12，则抽奖2次可能有1次中奖，也可能不中奖或全中奖，故原命题错误，不符合题意；
C、统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：x甲−=x乙−，S甲2>S乙2，说明甲的数学成绩不如乙的数学成绩稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，正确，符合题意，
故选：D．
根据概率的求法、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
考查了概率的求法、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义等知识，解题的关键是对每个选项进行正确的判断，难度不大．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了分式的加减，能正确根据分式的加减法则进行计算是解此题的关键．根据同分母的分式相加减法则进行计算即可．
【解答】
解：a2a−b−b2a−b
=a2−b2a−b
=(a+b)(a−b)a−b
=a+b，
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：画树状图如图：
共有8个等可能的结果，一次打开教室门的结果有2个，
∴一次打开教室门的概率为：28=14，
故选：D．
画树状图，共有8个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率；树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，
∴点B(−3,1)与点B′关于y轴对称，
∴B′(3,1)，
故选：B．
由折叠的性质可求解．
本题考查了翻折变换，轴对称中的坐标变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10.【答案】C
【解析】解：∵21=2，
∴21的个位数字是2；
∵22=4，
∴22的个位数字是4；
∵23=8，
∴23的个位数字是8；
∵24=16，
∴24的个位数字是6；
∵25=32，
∴22的个位数字是2；
……，
∴2n的个位数字以2，4，6，8，2……4次一循环周期的规律出现，
∵2023÷4=505……3，
∴21+22+23+24+25+……+22023
=(2+4+8+6)+(2+4+8+6)+(2+4+8+6)+……+(2+4+8+6)+(2+4+8)
=20+20+20+……+20+14，
∴21+22+23+24+25+……+22023的个位数字是4，
故选：C．
通过题意归纳出2n个位数字的出现规律，再运用该规律进行求解．
此题考查了数字尾数规律的归纳能力，关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解．
11.【答案】D
【解析】解：∵点B在y=4x上，
∴设点B的坐标为(a,4a)，
∴点A的纵坐标4a，点E的横坐标为a，
∵点A、点E在y=1x上，
∴A(a4,4a)，E(a,1a)，
∴AB=a−a4=34a，BE=4a−1a=3a，
∴S△ABE=12AB⋅BE=12×3a4×3a=98．
故选：D．
首先根据双曲线的解析式设出点B的坐标，然后表示出点A和点E的坐标，求得AB，BE，用三角形的面积公式便可求得结果．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题的关键是正确的用点B的坐标表示出其他点的坐标，从而表示出三角形的面积．
12.【答案】C
【解析】解：∵A(m,2020)，B(m+n,2020)是抛物线y=−(x−h)2+2036上两点，
∴2020=−(x−h)2+2036，
解得x1=h−4，x2=h+4，
∴A(h−4,2020)，B(h+4,2020)，
∵m=h−4，m+n=h+4，
∴n=8，
故选：C．
由A(m,2020)，B(m+n,2020)是抛物线y=−(x−h)2+2036上两点，可得A(h−4,2020)，B(h+4,2020)，即可得到m=h−4，m+n=h+4，进而即可求得n=8．
本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，求得A(h−4,2020)，B(h+4,2020)是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=15，CD=CF=15，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=24−15=9，
在Rt△FNC中，FN= CF2−NC2=12，
∴MF=15−12=3，
在Rt△MEF中，设EF=x，则ME=9−x，由勾股定理得，32+(9−x)2=x2，
解得：x=5，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
∵∠CNF=∠PGF=90°，
∴△FNC∽△PGF，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
∴GN=PH=BH=12−3m，HN=15−(12−3m)=3+3m=PG=4m，
解得：m=3，
∴PF=5m=15，
∴PE=PF+FE=15+5=20，
故选：B．
根据折叠可得ABNM是正方形，CD=CF=15，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为9，12，15，在Rt△MEF中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证△FNC∽△PGF，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG=HN，列方程求出待定系数，进而求出PF的长，然后求PE的长．
本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握 a2=|a|．
根据 a2=|a|进行二次根式化简，再去绝对值合并同类项即可．
【解答】
解：原式=a+|a−2|=a+2−a=2，
故答案为：2．
15.【答案】18
【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠BCO，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，
∴BM=OM，CN=ON，
∴△AMN的周长是：AM+NM+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=10+8=18．
故答案为：18．
由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN//BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．
此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．
16.【答案】3或−3或9
【解析】解：分式方程化简，得
3(x−1)+6x=m(x+1)
整理，得
(9−m)x=3+m
当x=0时，m=−3；
当x=1时，m=3；
当9−m=0时，m=9．
故答案为：3或−3或9．
根据分式方程无解，得分母为0或x的系数为0即可求解．
本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是分式方程化为整式方程后x的系数为0时，原分式方程也无解．
17.【答案】125
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称−最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．
【解答】
解：y=x+1y=x2−4x+5，
解得，x=1y=2或x=4y=5，
∴点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(4,5)，
∴AB= (5−2)2+(4−1)2=3 2，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为(−1,2)，点B的坐标为(4,5)，
设直线A′B的函数解析式为y=kx+b，
−k+b=24k+b=5，得k=35b=135，
∴直线A′B的函数解析式为y=35x+135，
当x=0时，y=135，
即点P的坐标为(0,135)，
将x=0代入直线y=x+1中，得y=1，
∵直线y=x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：(135−1)×sin45°=85× 22=4 25，
∴△PAB的面积是：3 2×4 252=125，
故答案为：125．
18.【答案】43
【解析】解：如图，以OB为直径作⊙K，当直线AE切⊙K于D时，BE的值最大．
∵AE是⊙K的切线，
∴DK⊥AE，
∴∠ADK=90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ADK=∠AEB，
∴DK//BE，
∴DKBE=AKAB，
∴1BE=34，
∴BE=43，
故答案为43．
如图，以OB为直径作⊙K，当直线AE切⊙K于D时，BE的值最大．
本题考查动点问题，圆周角定理，平行线的性质，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：原式=(a−3b)2a(a−2b)÷5b2−(a+2b)(a−2b)a−2b−1a
=(a−3b)2a(a−2b)÷5b2−a2+4b2a−2b−1a
=(a−3b)2a(a−2b)⋅a−2b−(a+3b)(a−3b)−1a
=−a−3ba(a+3b)−1a
=−a−3ba(a+3b)−a+3ba(a+3b)
=−a+3b−a−3ba(a+3b)
=−2aa(a+3b)
=−2a+3b，
方程组a+b=5①a−b=1②，
①+②得：2a=6，
解得：a=3，
①−②得：2b=4，
解得：b=2，
当a=3，b=2时，
原式=−23+6=−29．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后再通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出方程组的解得到a与b的值，代入计算即可求出值．
此题考查了配方法的应用，非负数的性质，分式的化简求值，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则及方程组的解法是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意得：50+x−40=x+10；
(2)由已知得，(x+10)(400−10x)=6000，
整理得：x2−30x+200=0
解得x1=10，x2=20，
∵进货量较少，
∴x=20，
进货量为：400−10x=400−200=200．
答：当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，应用题中求最值需先求函数表达式，再运用函数性质求解．此题的关键在列式表示销售价格和销售量．
(1)根据利润=销售价−进价列关系式；
(2)总利润=每个的利润×销售量，销售量为400−10x，列方程求解，根据题意取舍；
21.【答案】解：(1)①证明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，
∴EH//CA，
∴△BHE∽△BAC，
∴BEBC=HEAC，
∵DCBE=ACBC，
∴BEBC=DCAC，
∴HEAC=DCAC，
∴HE=DC，
∵EH//DC，
∴四边形DHEC是平行四边形；
②∵ACBC= 22，∠BAC=90°，
∴AC=AB，
∵DCBE= 22，HE=DC，
∴HEBE= 22，
∵∠BHE=90°，
∴BH=HE，
∵HE=DC，
∴BH=CD，
∴AH=AD，
∵DM⊥AE，EH⊥AB，
∴∠EHA=∠AMF=90°，
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，
∴∠HEA=∠AFD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴△HEA≌△AFD，
∴AE=DF；
(2)如图2，过点E作EG⊥AB于G，
∵CA⊥AB，
∴EG//CA，
∴△EGB∽△CAB，
∴EGCA=BEBC，
∴EGBE=CABC=35，
∵CDBE=35，
∴EG=CD，
设EG=CD=3x，AC=3y，
∴BE=5x，BC=5y，
∴BG=4x，AB=4y，
∵∠EGA=∠AMF=90°，
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，
∴∠AFM=∠AEG，
∵∠FAD=∠EGA=90°，
∴△FAD∽△EGA，
∴DFAE=ADAG=3y−3x4y−4x=34
【解析】(1)①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE=DC，即可得出结论；
②先判断出AC=AB，BH=HE，再判断出∠HEA=∠AFD，即可得出结论；
(2)先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE=3：5，再判断出∠AFM=∠AEG进而判断出△FAD∽△EGA，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠HEA=∠AFD是解本题的关键．
22.【答案】50 5 24 0.48
【解析】解：(1)16÷0.32=50，a=50×0.1=5，b=50−2−5−16−3=24，c=24÷50=0.48；
故答案为：50，5，24，0.48；
(2)2450×360°=172.8°
答：第4组人数所对应的扇形圆心角的度数为172.8°．
(3)由数据知每天课前预习时间不少于20min的人数的频率为1−250−0.10=0.86，
∴1000×0.86=860(人)．
答：估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数为860人．
(1)根据3组的频数和百分数，即可得到本次调查的样本容量，根据2组的百分比即可得到a的值，进而得到2组的人数，由本次调查的样本容量−其他小组的人数即可得到b，用b÷本次调查的样本容量得到c；
(2)根据4组的人数占总人数的百分比乘上360°，即可得到扇形统计图中“4”区对应的圆心角度数；
(3)根据每天课前预习时间不少于20min的学生人数所占的比例乘上该校九年级总人数，即可得到结果．
本题主要考查了扇形统计图的应用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，用整个圆的面积表示总数(单位1)，用扇形面积表示各部分占总数的百分数．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
23.【答案】解：(1)∵点A(3,4)在y=kx上，
∴k=12，
∴y=12x．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AM=MC，
∴点M的纵坐标为2，
∵点M在y=12x上，
∴M(6,2)．
(2)∵AM=MC，A(3,4)，M(6,2)
∴C(9,0)，
∴OC=9，OA= 32+42=5，
∴平行四边形ABCO的周长为2×(5+9)=28．
【解析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
(1)利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出AM=CM，推出点M的纵坐标为2，即可解答．
(2)求出点C的坐标，得出OA，OC的长即可解决问题．
24.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
60k+b=140065k+b=1300，
解得，k=−20b=2600，
即y与x之间的函数表达式是y=−20x+2600；
(2)(x−50)(−20x+2600)=24000，
解得，x1=70，x2=110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
(3)由题意可得，
w=(x−50)(−20x+2600)=−20(x−90)2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，(x−50)÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x=65时，w取得最大值，此时w=19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
(2)根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
(3)根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
25.【答案】(1)证明：连接OC，
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE，
∴∠BOC=2∠E，
∵∠ABE=2∠E
∴∠ABE=∠BOC，
∴AB//OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∴∠OCE+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠OCE，
∴∠BCD=∠E，
∵∠A=∠E，tanE=13，BD=1，
∴CDAD=BDCD=13，
∴AD=9，
∴AB=8．
【解析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE=∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
(2)连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE=90°，推出∠BCD=∠OCE，得到∠BCD=∠E，根据三角函数的定义得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】【基本图形】证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠DAE−∠CAD=∠BAC−∠CAD，即∠CAE=∠BAD，
在△CAE与△BAD中，
AB=AC∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△CAE≌△BAD (SAS)，
∴CE=BD，
∴CE+CD=BD+CD=BC，
∵AC=BC，
∴CE+CD=AC；
【迁移运用】证明：如图2，过点D作DG//AB，交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠B=60°，
∵DG//AB，
∴∠CGD=∠A=60°，∠CDG=∠B=60°，
∴△CDG为等边三角形，
∴CD=DG=CG，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∵∠CDG−∠EDG=∠EDF−∠EDG，即∠CDE=∠FDG，
在△CDE与△GDF中，
DC=DG∠CDE=∠GDFDE=DF，
∴△CDE≌△GDF(SAS)，
∴CE=GF，
∴CE+CD=GF+CG=CF；
【类比探究】CD+CF=CE，
理由如下：如图3，过点D作DG//AB，交AC于点G，
由前面的证明可知△CDG为等边三角形，
∴CD=DG=CG，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE=DF，∠FDE=60°，
∵∠GDC+∠CDF=∠EDF+∠CDF，即∠GDF=∠CDE，
在△CDE与△GDF中，
DC=DG∠CDE=∠GDFDE=DF，
∴△CDE≌△GDF(SAS)，
∴CE=GF，
∵GF=CF+CG=CF+CD，
∴CD+CF=CE．
【解析】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【基本图形】由等边三角形的性质利用SAS证明△CAE≌△BAD，根据全等三角形的性质得到CE=BD，证明结论；
【迁移运用】过点D作DG//AB，交AC于点G，先证明△CDG为等边三角形，再利用SAS证明△CDE≌△GDF，得到CE=GF，证明结论；
【类比探究】过点D作DG//AC，交AB于点G，仿照【迁移运用】的证明方法证明即可．
27.【答案】解：(1)把A(−4,0)，B(6,0)，C(0,8)代入y=ax2+bx+c得：
16a−4b+c=036a+6b+c=0c=8，
解得a=−13b=23c=8，
∴抛物线的表达式为y=−13x2+23x+8，
∵y=−13x2+23x+8=−13(x−1)2+253，
∴抛物线y=−13x2+23x+8的对称轴为直线x=1，
由B(6,0)，C(0,8)可得直线BC表达式为y=−43x+8；
(2)设P(m,−13m2+23m+8)，则M(1,−13m2+23m+8)，N(m,−43m+8)，
∴PM=m−1，PN=−13m2+23m+8−(−43m+8)=−13m2+2m，
∵PM=23PN，
∴m−1=23(−13m2+2m)，
解得m=3或m=−32，
∵1
∴P的坐标为(3,7)；
(3)作∠ABC的平分线交y轴与D，过D作DE⊥BC于E，设AP交y轴于F，如图：
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DO⊥OB，
∴OD=DE，∠OBD=12∠ABC，
设OD=DE=t，则CD=OC−OD=8−t，
∵B(6,0)，C(0,8)，
∴BC= OB2+OC2=10，
∴DECD=sin∠BCO=OBBC=610，
即t8−t=35，
解得t=3，
∴OD=3，
∴tan∠OBD=ODOB=36=12，
∵∠PAB=12∠ABC，
∴∠PAB=∠OBD，
∴tan∠PAB=tan∠OBD=12，
∴OFOA=12，即OF4=12，
∴OF=2，
∴F(0,2)，
由A(−4,0)，F(0,2)可得直线AF的函数表达式为y=12x+2，
解y=12x+2y=−13x2+23x+8得x=−4y=0或x=92y=174，
∴P(92,174)，
∴点P的横坐标m的值为92．
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的表达式为y=−13x2+23x+8，即知对称轴为直线x=1，由B(6,0)，C(0,8)可得直线BC表达式为y=−43x+8；
(2)设P(m,−13m2+23m+8)，由PM=23PN，可得m−1=23(−13m2+2m)，解方程并根据1
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用放字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．组别
课前预习时间t/min
频数(人数)
频率
1
0≤t<10
2
2
10≤t<20
a
0.10
3
20≤t<30
16
0.32
4
30≤t<40
b
c
5
t≥40
3
售价x(元/件)
60
65
70
销售量y(件)
1400
1300
1200
